Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 Kapitel 5.1 5101, 5102 Exempel som löses i boken 5103 a) Rektangelns omkrets = 2(b + h) Rektangelns area = b · h 3,5 b = 6, 4 cm → h = 3,5 cm Omkretsen är 2(b + h) = 2(6, 4 + 3,5) cm = 19,8 cm 6,4 (cm) Arean är b ⋅ h = 6, 4 ⋅ 3,5 cm 2 = 22, 4 cm 2 Svar: Rektangelns omkrets är 19,8 cm och area är 22 cm2 b) Triangelns omkrets = summan av sidlängderna bh Triangelns area = 2 a = 4,3 cm b = 7, 0 cm → c = 6,3 cm h = 3,8 cm Omkretsen är (4,3 + 6,3 + 7, 0) cm = 17, 6 cm b ⋅ h 7, 0 ⋅ 3,8 Arean är cm 2 = 13,3 cm 2 = 2 2 Svar: Triangelns omkrets är 17,6 cm och area är 13 cm2 5104 (cm) a b Höjden h och basen b måste vara vinkelräta för att areaformeln A= a) Omkretsen är (22,5 + 13,5 + 18,0) cm = 54,0 cm, bh 18, 0 ⋅13,5 2 arean är = cm = 121,5 cm2 ≈ 122 cm2 2 2 b) Omkretsen är (3,5 + 2,0 + 2,3) cm = 7,8 cm, bh 2,3 ⋅1,9 2 = cm = 2,185 cm2 ≈ 2,2 cm2 arean är 2 2 5105 a) Omkretsen är 2(4,1 + 5,6) cm = 19,4 cm, arean är bh = 5, 6 ⋅ 3, 6 cm2 = 20,16 cm2 ≈ 20 cm2 b) Omkretsen är (4,0 + 5,2 + 4,1 + 8,0) cm = 21,3 cm, h(a + b) 3,8(5, 2 + 8, 0) 2 = cm = 25,08 cm2 ≈ 25 cm2 arean är 2 2 © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 c h bh skall gälla 2 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 5106 a) Omkretsen är 4 · 1,9 cm = 7,6 cm, arean är 1,9 · 1,9 cm2 = 3,61 cm2 ≈ 3,6 cm2 b) Omkretsen är 2 · (4,8+9,7) cm = 29 cm, arean är 4,8 · 9,7 cm2 = 46,56 cm2 ≈ 47 cm2 5107 a) Omkretsen är (4,3 + 3,4 + 4,9) cm = 12,6 cm, bh 4,9 ⋅ 2,9 2 arean är = cm = 2,755 cm2 ≈ 2,8 cm2 2 2 b) Omkretsen är (3,6 + 7,4 + 5,2) cm = 16,2 cm, bh 5, 2 ⋅ 3,3 2 = cm = 8,58 cm2 ≈ 8,6 cm2 arean är 2 2 5108 Omkretsen är 2(3,1 + 5,5) cm = 17,2 cm, arean är bh = 5,5 ⋅ 2,8 cm2 = 15,4 cm2 ≈ 15 cm2 5109 Omkretsen är (7,1 + 12,0 + 6,4 + 18,0) cm = 43,5 cm, h(a + b) 6, 0(12, 0 + 18, 0) 2 arean är = cm = 90 cm2 ≈ 90 cm2 2 2 5110 Se facit 5111 Se facit. Kontakta din lärare om du vill diskutera din lösning. 5112 Gräsmattan är kvadratisk Æ Alla fyra sidor är lika långa och alla hörn är vinkelräta. Omkretsen är 72 m. Arean är b · b b 4b = 72 → b = 18 b ⋅ b = 18 ⋅18 = 324 ≈ 320 Svar: Gräsmattans area är 320 m2 b 5113 Beräkna arean för den ”murade” rektangeln och arean av den streckade triangeln var för sig. Husgavelns totala area är summan av rektangelns area och triangelns area. Rektangelns area: 8,2 · 3,7 m2 = 30,34 m2 Triangelns area: 1. triangelns höjd h är (7,8 − 3,7) m = 4,1 m bh 8, 2 ⋅ 4,1 2 2. Arean A = = m = 16,81 m2 2 2 Totala arean: 30,34 m2 + 16,81 m2 = 47,15 m2 ≈ 47 m2. Svar: Husgavelns area är 47 m2 5114 Tak: 2 ⋅1,9 ⋅ 3, 2 m 2 = 12,16 m 2 Sidor: 2 ⋅ 3, 2 ⋅ 0,8 m 2 = 5,12 m 2 2 ⋅ 3, 2 ⋅1,1 2 m = 8,64 m2 Gavlar: 2 ⋅ 3, 2 ⋅ 0,8 m 2 + 2 Totalarea: (12,16 + 5,12 + 8,64) m2 = 25,92 m2 ≈ 26 m2 Svar: Den minsta mängden tyg är 26 m2. © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 5115 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 5116 Se facit. 5117 Tomtens area: 37 · 26 m2 = 962 m2 Husets area: 15 · 6 m2 + 5,5 · 5 m2 = 117,5 m2 117, 5 Huset upptar ≈ 0,12 = 12% av tomten. 962 Svar: 12% av tomten upptas av huset 5118 Flaggans längd L = (60 + 24 + 108) cm = 192 cm Flaggans höjd H = (48 + 24 + 48) cm = 120 cm Flaggans totala area A = 192 · 120 cm2 = 23040 cm2 Korsets area är (24 ⋅120 + 24 ⋅192 − 24 ⋅ 24) cm 2 = 6912 cm 2 (Kan räknas ut på fler sätt) 6912 Korset upptar = 0,30 23040 Svar: Korset upptar 30% av flaggans area. 5119, 5120 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 5121, 5122, Se facit. 5123, 5124 Det är bra att kunna göra enhetsomvandling själv på det sätt som visas i exemplet på sidan 213. 5125 Omvandla så att det blir samma enhet på de areor som skall jämföras med varandra. 5126 Omvandla så att det blir samma enhet på de areor som skall multipliceras med varandra. a) 20 m = 2000 cm Æ Arean = 2000 cm · 2 cm = 4000 cm2 b) 2 cm = 0,02 m Æ Arean = 2 m · 0,02 m = 0,04 m2 5127 a) 1 ha = 100 m · 100 m = 10000 m2 b) Skogsområdet är 1500 m · 350 m = 525000 m2 = 525000 ha = 52,5 ha 10000 5128 Exempel som löses i boken 5129 Cirkelns omkrets är π d där d är cirkelns diameter. OBS! I många formelsamlingar finns formeln 2π r där r är cirkelns radie Cirkelns area är A = π r 2 där r är cirkelns radie. a) Omkretsen är 8π cm ≈ 25 cm Arean är π r 2 = π 42 cm 2 = 16π cm2 ≈ 50 cm2 b) Omkretsen är 10π cm ≈ 31 cm Arean är π r 2 = π 52 cm 2 = 25π cm2 ≈ 79 cm2 © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 5130 a) Arean är hälften av cirkelns area π r 2 π 202 cm 2 = 200π cm 2 ≈ 628 cm 2 ≈ 630 cm 2 → A= = 2 2 Omkretsen är halva cirkelns omkrets plus diametern πd → + d = π r + d = 20π cm + 40 cm ≈ 103 cm 2 Svar: Omkretsen är 103 cm och arean är 630 cm2 . 1 av cirkelns area 4 π r 2 π 252 cm 2 = 156, 25π cm 2 ≈ 491 cm 2 ≈ 490 cm 2 → A= = 4 4 Omkretsen är en fjärdedel av cirkelns omkrets plus diametern πd πr 25π cm + 2 ⋅ 25 cm ≈ 89 cm → +d = + 2r = 4 2 2 Svar: Omkretsen är 89 cm och arean är 490 cm2. b) Arean är 5131 Se facit. Cirkeln omkrets kan också beräknas med formeln 2π r . 5132 Cirkelns omkrets är π d där d är cirkelns diameter. OBS! I många formelsamlingar finns formeln 2π r där r är cirkelns radie Cirkelns area är A = π r 2 där r är cirkelns radie. a) Omkretsen är 10π cm ≈ 31 cm Arean är π r 2 = π 52 cm 2 = 25π cm2 ≈ 79 cm2 b) Omkretsen är 2 ⋅1,5π cm ≈ 9,4 cm Arean är π r 2 = π 1,52 cm 2 = 2, 25π cm2 ≈ 7,1 cm2 5133 Räkna på samma sätt som 5130 a). 5134 Skivan kostar 240 kr/m2. Skivans area är π r 2 = 0, 622 π m 2 ≈ 1, 2076 m 2 . Æ Skivan kostar 1,2076 · 240 kr ≈ 289,8 kr ≈ 290 kr Svar: Skivan kostar 290 kr. 5135 Cykelhjulet är 28 tum i diameter. 1 tum är 2,54 cm Æ Cykelhjulets diameter är 28 ⋅ 2,54π cm ≈ 223,43 cm 1 km = 1000 m = 100000 cm 100000 varv ≈ 447,57 varv på 1 km. 223, 43 Svar: Cykelhjulet surrar 448 varv på 1 km. Cykel hjulet snurrar © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 5136 Gräsmattans ursprungliga area: A = bh = 18 ⋅12 m 2 = 216 m 2 Area för en rabatt: A = π r2 2 2 2 → A = π 3 m = 9π m r = d / 2 = 6, 0 / 2 m = 3, 0 m Rabatternas totala area: 18π m 2 18π Rabatterna upptar ≈ 0, 26 = 26 % av ytan. 216 Svar: Rabatterna upptar 26% av gräsmattans ursprungliga area 5137 a) Kvadratens omkrets: 4 · 4,2 cm = 16,8 cm Cirkelns omkrets: 5π cm ≈ 15, 7 cm Svar: Kvadraten har den största omkretsen b) Kvadratens area: 4,2 · 4,2 cm2 = 17,64 cm2 Cirkelns area: 2,52 π cm 2 ≈ 19, 6 cm2 Svar: Cirkeln har den största arean. 5138 Området kan delas in i flera delområden. Den totala arean är summan av de ingående delarnas areor. Området delas enklast in i en rektangel, 3,6 cm x 2,6 cm, och två halvcirklar med radien 1,3 cm. Rektangelns area är 3, 6 ⋅ 2, 6 cm 2 = 9,36 cm 2 Arean för två halvcirklar är 2 ⋅ π r2 = π r 2 = π ⋅1,32 cm 2 ≈ 5,309 cm 2 2 Sammanlagda arean är 9,36 cm2 + 5,309 cm2 ≈14,67 cm2 ≈ 15 cm2 Svar: Områdets area är 15 cm2 5139, 5140, 5141 Se bokens ledning samt lösningen i facit Kapitel 5.2 5201 Exempel som löses i boken 5202 a) Kubens sidlängd är a. Kubens volym är a 3 = 6, 03 cm3 = 216 cm3 ≈ 220 cm3 Kuben area är 6a 2 = 6 ⋅ 6, 02 cm 2 = 216 cm 2 ≈ 220 cm 2 b) Rätblockets sidlängder är a, b och c. Rätblockets volym är abc = 4,5 ⋅ 3, 4 ⋅ 2, 6 cm3 = 39, 78 cm3 ≈ 40 cm3 Rätblockets area är 2(ab + ac + bc) → 2(4,5 ⋅ 3, 4 + 4,5 ⋅ 2, 6 + 3, 4 ⋅ 2, 6) cm 2 = 71, 68 cm 2 ≈ 72 cm 2 © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 5203 a) V = π r 2 h = π ⋅ 3, 02 ⋅ 7, 0 cm3 ≈ 198 cm3 ≈ 200 cm3 b) A mantel = 2π rh = π dh = π ⋅ 6, 0 ⋅ 7, 0 cm 2 ≈ 131,9 cm 2 ≈ 130 cm 2 c) Totala arean är mantelytans area plus bottenytan plus toppen. A botten = A topp = π r 2 = π ⋅ 3, 02 cm 2 ≈ 28, 27 cm 2 ≈ 30 cm 2 A total = (42π + 9, 0π + 9, 0π ) cm 2 = 60π cm 2 ≈ 188 cm 2 ≈ 190 cm 2 5204 a) I Kubens bottenarea är 8, 02 cm 2 = 64 cm 2 II Rätblockets bottenarea är 9, 0 ⋅ 6,8 cm 2 = 61, 2 cm 2 ≈ 61 cm 2 b) I Kubens volym är 8, 03 cm3 = 512 cm3 ≈ 510 cm3 II Rätblockets volym är 9, 0 ⋅ 6,8 ⋅ 5, 2 cm3 = 318, 24 cm3 ≈ 320 cm3 5205 I Kuben area är 6 ⋅ 8, 02 cm 2 = 384 cm 2 ≈ 380 cm 2 II Rätblockets area är 2(9, 0 ⋅ 6,8 + 9, 0 ⋅ 5, 2 + 6,8 ⋅ 5, 2) cm 2 = 286, 72 cm 2 ≈ 290 cm 2 5206 a) Basytans area är π r 2 = π ⋅ 202 cm 2 ≈ 1256 cm 2 ≈ 1300 cm 2 b) 5207 V = π r 2 h = π ⋅ 202 ⋅ 70 cm3 ≈ 87964 cm3 ≈ 88000 cm3 a) A mantel = 2π rh = π dh = π ⋅ 40 ⋅ 70 cm 2 ≈ 8796 cm 2 ≈ 8800 cm 2 b) Totala arean är mantelytans area plus bottenytan plus toppen. A botten = A topp = π r 2 = π ⋅ 202 cm 2 ≈ 28, 27 cm 2 ≈ 30 cm 2 A total = (2800π + 400π + 400π ) cm 2 = 3600π cm 2 ≈ 11309, 7 cm 2 ≈ 11000 cm 2 5208 V = π r 2 h = π ⋅ 0,152 ⋅180 m3 ≈ 12, 72 m3 ≈ 13 m3 Svar: Röret tar upp 13 m3. 5209 V = π r 2 h = π ⋅ 6, 42 ⋅ 3, 6 m3 ≈ 463, 2 m3 ≈ 460 m3 Svar: Brunnen innehåller 460 m3 gödsel. 5210 Mjölkförpackningen har samma form som ett rätblock. Arean är 2(9,5 ⋅ 6, 4 + 9,5 ⋅16, 4 + 6, 4 ⋅16, 4) cm 2 = 643,12 cm 2 ≈ 640 cm 2 5211 Rummets mått: 19 m × 31 m × 5,0 m Luftens densitet är 1,3 kg/m3. Rummets volym (tomt) är 19 ⋅ 31⋅ 5, 0 m3 = 2945 m3 Luften väger 2945 m3 ⋅1,3 kg/m3 = 3828,5 kg ≈ 3800 kg Svar: Luften i lagerlokalen väger 3800 kg. © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 5212 Låt till exempel den lilla lådan ha måtten a = 1 cm, b = 2 cm och c = 3 cm. Eftersom alla motsvarande sidor på den stora lådan är dubbelt så långa har du A = 2 cm, B = 4 cm, C = 6 cm. a) b a c Lilla lådans area är 2(ab + ac + bc) = 2(1 ⋅ 2 + 1⋅ 3 + 2 ⋅ 3) cm 2 B = 2(2 + 3 + 6) cm 2 = 22 cm 2 Stora lådans area är 2( AB + AC + BC ) = 2(2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 6 + 4 ⋅ 6) cm 2 A C = 2(8 + 12 + 24) cm = 88 cm Svar: Den stora lådans area är fyra gånger så stor som den lilla lådans area. 2 b) 2 Lilla lådans volym är abc = 1⋅ 2 ⋅ 3 cm3 = 6 cm3 Stora lådans volym är ABC = 2 ⋅ 4 ⋅ 6 cm3 = 48 cm3 Svar: Den stora lådans volym är åtta gånger så stor som den lilla lådans volym. Vill man visa detta på ett mer generellt sätt gör man så här: Låt den lilla lådans sidlängder vara a, b, och c → VL = abc, A L = 2(ab + ac + bc) Stora lådans sidlängder är då 2a, 2b och 2c A S = 2(2a ⋅ 2b + 2a ⋅ 2c + 2b ⋅ 2c) = 4 ⋅ 2(ab + ac + bc) = 4 A L → VS = 2a ⋅ 2b ⋅ 2c = 8abc = 8VL a) Den stora lådans area är fyra gånger så stor som den lilla lådans area. b) Den stora lådans volym är åtta gånger så stor som den lilla lådans volym. 5213 Låt cylinder A t ex ha följande mått: r = 4 cm h = 5 cm Då får cylinder B ha följande mått: r = 2 cm h = 10 cm Volymen blir då V = π r 2 h = π ⋅ 42 ⋅ 5 cm3 = 80π cm3 Volymen blir då V = π r 2 h = π ⋅ 22 ⋅10 cm3 = 40π cm3 Svar: Cylinder B har mindre volym än cylinder B. Vill du visa det generellt gör du så här: Cylinder A har radien r och höjden h. Cylinder B har då radien r/2 och höjden 2h. Volymen för cylinder A är VA = π r 2 h . 2 2π r 2 h π r 2 h VA r = = Volymen för cylinder B är VB = π ⋅ 2h = . 4 2 2 2 Æ Cylinder B har hälften så stor volym som cylinder A. © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 5214 Den yta som skall målas är mantelarean (”väggen”) och toppen (taket). Cisternen är 25 m hög och har en radie på 25 m. 1 liter färg täcker 10 m2, man skall måla två lager. Den yta som skall målas är A vägg + A tak = 2π rh + π r 2 = (2π ⋅ 25 ⋅ 25 + π ⋅ 252 ) m 2 ≈ 5890,5 m 2 Eftersom ytan skall målas två gånger måste detta svar fördubblas → 11781 m 2 11781 Färgen skall alltså räcka till 11781 m2 → liter = 1187,1 liter ≈ 1200 liter . 10 Svar: Man behöver 1200 liter färg. 5215 a b h=? c a = 6,5 cm b = 33, 0 cm c = 15, 4 cm r = 9, 0 cm VLÅDA = abc = 6,5 ⋅ 33, 0 ⋅15, 4 cm3 = 3303,3 cm3 VCYL = π r 2 h = π ⋅ 9, 02 h = 81π h r För att vattnet skall rymmas i cylindern måste VLÅDA = VCYL, det vill säga 81π h = 3303,3 cm3 → 3303,3 h= cm ≈ 12,98 cm ≈ 13 cm 81π Svar: Cylinderns höjd måste vara minst 13 cm hög. 5216 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 5217 Stapelns längd är 18 m och dess bredd är 3,0 m. Stapelns medelhöjd är 1,51 + 1, 70 + 1, 49 + 1, 62 + 1, 73 + 1, 68 + 1,56 + 1,57 + 1, 43 + 1,59 m ≈ 1,588 m 10 Stapelns volym är 18 ⋅ 3, 0 ⋅1,588 m3 ≈ 85, 752 m3 ≈ 86 m3 Svar: Vedstapelns volym är ca 86 m3. 5218, 5219 Se bokens ledning samt lösningen i facit 5220, 5221 Se facit. 5222, 5223 5224 Det är bra att kunna göra enhetsomvandling själv på det sätt som visas i exemplet på sidan 213. Omvandla så att alla volymerna har samma enhet, t ex dm3 600 liter = 600 dm3, 0,45 m3 = 450 dm3, 500 000 ml = 500 liter = 500 dm3 Svar: 0,45 m3, 500 000ml, 560 dm3, 600 liter © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 5225 Tankens mått är 16 ⋅ 20 ⋅ 50 cm3 = 1, 6 ⋅ 2, 0 ⋅ 5,0 dm3 = 16 dm3 = 16 liter Svar: Tanken rymmer 16 liter 5226 Tanken rymmer 3,2 m3 = 3200 liter. Förbrukningen är 20 liter per dygn. Innehållet räcker 3200 l = 160 dygn 20 l/dygn Svar: Tankens innehåll räcker 160 dygn. 5227 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 5228, 5229 Exempel som löses i boken. 5230 a) Konens basarea är π r 2 I r = 3, 0 cm → π r 2 = π ⋅ 3, 02 cm 2 ≈ 28 cm 2 II r = 48 cm → π r 2 = π ⋅ 482 cm 2 ≈ 7238 cm 2 ≈ 7200 cm 2 b) Konens volym är π r 2h 3 I r = 3, 0 cm, h = 6, 0 cm → π r 2 h / 3 = π ⋅ 3, 02 ⋅ 6,0/3 cm3 ≈ 57 cm3 II r = 48 cm, h = 90 cm → π r 2 h / 3 = π ⋅ 482 ⋅ 90/3 cm3 ≈ 217147 cm3 ≈ 210000 cm3 5231 r = 13 cm 4π r 3 3 2 Klotets area beräknas med formeln A = 4π r Klotets volym beräknas med formeln V = 4π ⋅133 V= cm3 ≈ 9202,8 cm3 ≈ 9200 cm3 = 9, 2 dm3 3 A = 4π ⋅132 cm 2 ≈ 2123, 7 cm 2 ≈ 2100 cm 2 = 21 cm 2 Svar: Klotets volym är 9200 cm3 och klotets area är 2100 cm2. 5232 r = 16 cm Halvklotets area är ”hälften av klotets area” + ”basytan” (den plana ytan). A klot 4π r 2 + A cirkel = + π r 2 = 3π r 2 = 3π ⋅162 cm 2 ≈ 2413 cm 2 ≈ 24 dm 2 A= 2 2 Svar: Halvklotets area är ca 24 dm2. 5233 Se facit. 5234 a) Konens basarea är π r 2 I r = 8, 0 cm → π r 2 = π ⋅ 8, 02 cm 2 ≈ 201 cm 2 ≈ 200 cm 2 II r = 30 mm → π r 2 = π ⋅ 302 mm 2 ≈ 2827 mm 2 ≈ 28 cm 2 © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 b) Konens volym är π r 2h 3 I r = 8, 0 cm, h = 8, 0 cm → π r 2 h / 3 = π ⋅ 8, 03 /3 cm3 ≈ 536 cm3 ≈ 540 cm3 II r = 30 mm, h = 60 mm → π r 2 h / 3 = π ⋅ 302 ⋅ 60/3 mm3 ≈ 56549 mm3 ≈ 57 cm3 5235 r = 8,0 cm 4π r 3 3 2π r 3 2π ⋅ 8, 03 = = cm3 ≈ 1072 cm3 2 3 3 b) Arean för en cirkel → A = π r 2 = π ⋅ 8, 02 cm 2 ≈ 201 cm 2 ≈ 200 cm 2 a) Hälften av klotets volym → V = 4π r 2 = 2π r 2 = 2π ⋅ 8, 02 cm 2 ≈ 402 cm 2 ≈ 400 cm 2 2 d) Summan av areorna i b) och c) A = π r 2 + 2π r 2 = 3π r 2 = 3π ⋅ 8, 02 cm 2 ≈ 600 cm 2 c) Hälften av klotets area → A = 5236 r = 673 mil Jordklotets area beräknas med formeln A = 4π r 2 A = 4π ⋅ 637 2 mil2 ≈ 5099044 mil2 ≈ 5100000 mil2 = 5,10 ⋅106 mil2 Svar: Jordens area är ca 5,10 miljoner mil2. (OBS! Fel enhet i bokens facit) 5237 Diametern ä 8,4 cm Æ r = 4,2 cm Apelsinens volym beräknas med formeln V = 4π r 3 3 4π ⋅ 4, 23 cm3 ≈ 310 cm3 3 Svar: Klotets volym är 9200 cm3 och klotets area är 2100 cm2. V= 5238 r = 5,2 cm Stålets densitet är 7,8 ton 7,8 ⋅1000 kg 7,8 ⋅1000000 g = = = 7,8 g/cm3 m3 1000000 cm3 1000000 cm3 Kulans volym beräknas med formeln V = 4π r 3 3 4π ⋅ 5, 23 cm3 ≈ 588,997 cm3 3 Multiplicera volymen med densiteten för att beräkna hur mycket kulan väger. 7,8 ⋅ 4π r 3 → ≈ 7,8 ⋅ 588,997 g ≈ 4594 g ≈ 4, 6 kg 3 Svar: Kulan väger 4,6 kg V= 5239 Konens volym är π r 2h 3 r = 4, 0 cm, h = 6, 0 cm → π r 2h 3 = π ⋅ 4, 02 ⋅ 6,0 Svar: Glaset rymmer 10 cl. © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 3 cm3 ≈ 101 cm3 = 101 ml ≈ 10 cl Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 5240 r = 3, 0 cm, h = 10 cm Glassen är sammansatt av en kon och ett halvt klot Konens volym är π r 2h 3 = π ⋅ 3, 02 ⋅10 3 cm3 ≈ 94, 25 cm3 4π r 3 3 2π r 3 2π ⋅ 3, 03 = = cm3 ≈ 56,55 cm3 2 3 3 Totala volymen blir (94,25 + 56,55) cm3 ≈ 150,80 cm3 ≈ 150 cm3. Hälften av klotets volym → V = Svar: Glassens volym är 150 cm3 . 5241 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 5242 Exempel som löses i boken. 5243 Tips: Det är oftast enklast att göra enhetsomvandlingarna före man beräkningarna. Cylinderns mått omvandlas till mm för att få samma volymsenhet som droppen. 1. Cylinderns volym 2. r = 24 mm r = 1,5 mm h = 36 mm Droppens volym 4π ⋅1,53 V= mm3 = 4,5π mm3 3 VCYL = π r h 2 h Droppens volym = π ⋅ 242 ⋅ 36 = 20736π mm3 r 20736π 20736 droppar = droppar = 4608 droppar ≈ 4600 droppar 4,5π 4,5 Svar: Cylindern rymmer 4600 droppar. Cylindern rymmer 5244 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 5245 Rymdkapseln är sammansatt av en kon och ett halvt klot Halvklotets diameter är 4,0 m Æ radien är 2,0 m Æ den koniska delen är (5,0 − 3,0) m = 3,0 m lång. r = 2, 0 m, h = 3, 0 m 12π 3 m = 4π m3 ≈ 12,566 m3 3 3 3 3 4π r 3 2π r 3 2π ⋅ 2, 03 3 16π 3 Hälften av klotets volym → V = = = m = m ≈ 16, 755 m3 2 3 3 3 12π 16π 28π 3 + ) m3 = m ≈ 29,32 m3 ≈ 30 m3 Totala volymen blir ( ( 3 3 3 Svar: Rymdkapselns volym är 30 m3 . Konens volym är π r 2h = π ⋅ 2, 02 ⋅ 3,0 m3 = © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 5246 Konens radie är 60 mm och höjden 90 mm. π r 2 h π ⋅ 602 ⋅ 90 Konens volym är = mm3 = 108000π mm3 . 3 3 Droppens radie är 1,5 mm 4π ⋅1,53 mm3 = 4,5π mm3 3 108000π 108000 droppar = droppar = 24000 droppar Konen rymmer 4,5π 4,5 Svar: Konen rymmer 24000 droppar. Volymen för en droppe är 5247, 5248, 5249 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 5250 Exempel som löses i boken. 5251 a) Prismats basyta är 5, 6 ⋅ 4, 0/2 cm 2 = 11, 2 cm 2 Prismats höjd är 4,8 cm Æ Prismats volym är 11, 2 ⋅ 4,8 cm3 = 53, 76 cm3 ≈ 54 cm3 Svar: Prismats volym är 54 cm3. b) Pyramidens basyta är 15 ⋅16/2 cm 2 = 120 cm 2 Pyramidens höjd är 18 cm Æ Pyramidens volym är 120 ⋅18/3 cm 3 = 720 cm3 Svar: Pyramidenss volym är 54 cm3. 5252 a) Prismats basyta är en triangel med längden 3,6 cm och höjden 2,0 cm. Æ Prismats basyta är 3, 6 ⋅ 2, 0/2 cm 2 = 3, 6 cm 2 Svar: Prismats basyta är 3,6 cm2. b) Prismats höjd är 4,0 cm Æ Prismats volym är 3, 6 ⋅ 4, 0 cm3 = 14, 4 cm3 ≈ 14 cm3 Svar: Prismats volym är 14 cm3. 5253 a) Pyramidens basyta är en rektangel med längden 16 cm och höjden 8 cm. Æ Pyramidens basyta är 16 ⋅ 8 cm 2 = 128 cm 2 ≈ 130 cm 2 Svar: Pyramidens basyta är 130 cm2. b) Höjden är 9 cm Æ Pyramidens volym är 128 ⋅ 9/3 cm3 = 384 cm3 ≈ 380 cm3 Svar: Pyramidens volym är 190 cm3. 5254 Se figuren i facit. Bh , där B är basarean och h är höjden. 3 B = 2,80 ⋅ 2,80 m 2 2,802 ⋅1,80 3 m ≈ 4, 7 m3 → V = 3 h = 1,80 m Tältets volym är V = Svar: Tältets volym är 4,7 m3. © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 5255 Toppens volym är VTOPP = B = 1, 4 ⋅1, 4 dm 2 → VTOPP h = 1,15 dm Bh , där B är basarean och h är höjden. 3 1, 42 ⋅1,15 dm3 = 3 Lådans volym är VLÅDA = 1, 4 ⋅1, 4 ⋅1, 6 m3 Holkens totala volym är 1, 4 ⋅1, 4 ⋅1, 6 dm3 + 1, 42 ⋅1,15/3 dm3 ≈ 3,9 dm3 = 3,9 liter Svar: Holken rymmer (tom) 3,9 liter luft (om givna mått är innermått). 5256, 5257 Se bokens ledning samt lösningen i facit. Kapitel 5.3 5301 Exempel som löses i boken 5302 Vinkelsumman i en triangel är 180D . a) Vinkel C = 180D − 80D − 40D = 60D b) Vinkel E = 180D − 120D − 25D = 35D 5303 Vinkelsumman i en rektangel är 360D a) Vinkel A = 360D − 106D − 2 ⋅ 62D = 130D b) Vinkel M = 360D − 100D − 70D − 110D = 80D 5304 a) 108D + 30D = 138D b) Vinkel B = 180D − 138D = 42D eller vinkel B = 180D − 108D − 30D = 42D a) 2 ⋅114D + 44D = 272D b) Vinkel D = 360D − 272D = 88D eller vinkel D = 360D − 2 ⋅114D − 44D = 88D 5305 5306 x = 180 − 55 − 27 = 98 Svar: Man ser sträckan AB under synvinkeln 98D . 5307 Vinkelsumman i en rektangel är 360D Vinkel A = 360D − 84D − 2 ⋅118D = 40D Svar: Vinkeln vid drakens svans är 40D . 5308 Ta kontakt med din lärare om du vill diskutera din lösning. 5309 En trubbig vinkel är större än 90D . Det betyder att summan av två trubbiga vinklar blir större än 180D . Eftersom en triangel har vinkelsumman 180D kan det bara finnas en trubbig vinkel i en triangel. En rektangel kan ha två trubbiga vinklar, se t ex figurerna i uppgift 5303. 5310 Se bokens ledning samt lösningen i facit © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 5311 Exempel som löses i boken. Vinkeln u ligger utanför triangeln. En vinkel som ligger på detta sätt har en speciell benämning: yttervinkel. Yttervinkeln u är alltid lika stor som summan av vinklarna z och w. w u=z+w z 5312 5313 5314 a) b) a) b) u v = 28D + 22D = 50D v = 105D − 60D = 45D v = 33D + 49D = 82D v = 137D − 25D = 112D x = 47 − 18 = 29 Svar: Båten syns från fönstret under höjdvinkeln 29D OBS! I bilden står det x D , därför tas inte gradtecknet med i uträkningen 5315, 5316 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 5317 Exempel som löses i boken. 5318 Vinkelsumman i en triangel är 180D . a) Vinkel A = 180D − 2 ⋅ 70D = 40D 180D − 38D b) Vinkel E = Vinkel F = = 71D 2 5319 Vinkelsumman i en triangel är 180D . Vinkel M = Vinkel L = 38D → Vinkel K = 180D − 2 ⋅ 38D = 104D 5320 Vinkelsumman i en triangel är 180D . a) Vinkel C = 180D − 90D − 23D = 67D 5321 5322 b) Vinkel K = 180D − 90D − 59,3D = 30, 7D En rätvinklig triangel är likbent om de två andra vinklarna är 180D − 90D = 45D 2 Om vinkeln A är rät i en triangel ABC är vinkelsumman för vinklarna B och C 90D a) 34D + 66D = 100D ≠ 90D c) 42,5D + 48,5D = 91D ≠ 90D Svar: Triangeln är inte rätvinklig Svar: Triangeln är inte rätvinklig b) 17D + 73D = 90D Svar: Triangeln är rätvinklig © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 d) 9,1D + 80,9D = 90D Svar: Triangeln är rätvinklig Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 5323 Vinkelsumman i en triangel är 180D → högst en trubbig vinkel i triangeln. a) 2 ⋅ 25D + 130D = 180D c) 2 ⋅ 35D + 115D = 185D ≠ 180D Svar: Triangeln är likbent Svar: Triangeln är inte likbent b) 2 ⋅ 45D + 80D = 170D ≠ 180D 2 ⋅ 80D + 45D = 205D ≠ 180D Svar: Triangeln kan inte vara likbent. 5324 d) 2 ⋅ 38D + 104D = 180D Svar: Triangeln är likbent 180D − 24D a) Basvinklarna är = 78D 2 b) Basvinklarna minskar med totalt 6D . För att triangeln skall fortsätta vara likbent måste ändringen vara lika stor för båda vinklarna, dvs 6D / 2 = 3D c) Om de två basvinklarna ökar 6D vardera blir den totala ökningen 12D . Därför måste toppvinkeln minska 12D eftersom triangelns vinkelsumma är konstant. 5325 Se facit. 5326 Vinkelsumman i en triangel är 180D . Låt vinkeln vid triangelns spetsvara u D . En basvinkel är då u D + 9D Vi har alltså u + 2(u + 9) = 180 3u + 18 = 180 u = 54 → u + 9 = 63 Svar: Triangelns vinklar är 54D , 63D och 63D 5327 Vinkelsumman i en triangel är 180D . a) Basvinkeln är 180D − 115D = 65D x = 180D − 2 ⋅ 65D = 50D Svar: Vinkeln är 50D b) Med hjälp vad vi vet om yttervinkeln från detta facit till uppgift 5311 ser vi att 2 x = 110D → x = 55D Svar: Vinkeln är 55D 5328, 5329 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 5330 Exempel som löses i boken. 5331 Ett halvt varv är 180D . a) x + 2 x = 180D b) x + x + 42D = 180D 3x = 180D 2 x = 138D x = 60D → 2 x = 120D Svar: Vinklarna är 60D och 120D x = 69D → x + 42D = 111D Svar: Vinklarna är 69D och 111D © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 5332 Vinkelsumman i en triangel är 180D . a) x + x + 16D + 58D = 180D b) 2 x = 180D − 58D − 16D 5 x = 180D x = 53D x = 36D → x + 16D = 69D Svar: Vinklarna är 53D , 58D och 69D 5333 Svar: Vinklarna är 36D , 72D och 72D 100D + 108D + 2 x = 360D b) 2 x = 300D x = 76D → x − 80D = 70D och x − 20D = 130D b) x + 4 x = 180D x = 36D x + x + 26D = 180D 2 x + 26D = 180D → 4 x = 144D x = 77D Svar: Vinklarna är 36D och 144D → x + 26D = 103D Svar: Vinklarna är 77D och 103D Vinkelsumman i en triangel är 180D . a) x + 80D + 45D = 180D b) x + 90D + 35D = 180D x = 180D − 125D x = 180D − 125D x = 55D x = 55D Svar: Vinkeln x är 55D Svar: Vinkeln x är 55D Vinkelsumman i en triangel är 180D . a) 5337 → x = 150D Svar: 70D , 70D , 90D och 130D 5 x = 180D 5336 x − 80D + 70D + x − 20D + 90D = 360D 2 x = 152D Svar: 76D , 76D , 100D och 108D Ett halvt varv är 180D . a) 5335 → x = 72D Vinkelsumman i en rektangel är 360D a) 5334 x + 2 x + 2 x = 180D x + x + 20D + 50D = 180D b) x + 2 x + 93D = 180D 2 x = 180D − 50D − 20D 3x = 180D − 93D = 87D x = 55D → x + 20D = 75D x = 29D → 2 x = 58D Svar: Vinklarna är 50D , 55D och 75D Svar: Vinklarna är 29D , 58D och 93D Vinkelsumman i en rektangel är 360D a) x + 105D + 115D + x + 10D = 360D b) x + 82D + x + 58D = 360D 2 x = 360D − 230D = 130D 2 x = 360D − 82D − 58D = 220D x = 65D x = 110D Svar: 65D , 75D , 105D och 115D Svar: 58D , 82D , 110D och 110D © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 5338 Vinkelsumman i en triangel är 180D . a) 5339 5340 b) x + 3 x + x + 15D = 180D x + x = 124D 5 x = 180D − 15D = 165D 2 x = 124D x = 33D x = 62D Svar: Vinkeln x är 33D Svar: Vinkeln x är 62D Vinkelsumman i en triangel är 180D . a) Se även uppgift 5311 Se även uppgift 5311 Vinkel B är 2x. x + 2 x = 75D b) Vinkel B är x. 94D + x = 3 x 3x = 75D 2 x = 94D x = 25D → 2 x = 50D x = 47D Svar: Vinkeln B är 50D Svar: Vinkeln B är 47D Låt den vinkeln vid triangelns topp vara x. Basvinkeln är då 2x. x + 2 x + 2 x = 180D 5 x = 180D x = 36D → 2x = 72D Svar: Triangeln vinklar är 36D , 72D och 72D . Se figuren i facit. 5341 4 x + 5 x + 6 x = 180D 15 x = 180D → 4x = 48D x = 12D Svar: Triangelns minsta vinkel är 48D . Se figuren i facit. 5342, 5343 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 5344 a) x + 40D = 110D → x = 50D b) x + 30D = 3 x → 2x = 30D → x = 15D 5345 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 5346 Exempel som löses i boken. 5347 Bågen är 50 5 = av omkretsen., omkretsen är 2π r , r = 2,5 cm 360 36 5 10π r 25π ⋅ 2π r = = Bågens längd är cm ≈ 2,18 cm. 36 36 36 Svar: Bågens längd är 2,2 cm © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 50 5 = av arean., arean är A = π r 2 , r = 2,5 cm 360 36 5 5π ⋅ 2,52 Sektorns area är ⋅π r 2 = cm 2 ≈ 2,73 cm 2 . 36 36 Svar: Sektorns area är 2,8 cm2. b) Sektorn är 5348 72 1 = av hela cirkeln., 360 5 Omkretsen för en cirkel är 2π r , Arean för en cirkel är A = π r 2 , r = 12 cm 1 2π r 24π = cm = 4,8π cm ≈ 15,08 cm. Bågens längd är ⋅ 2π r = 5 5 5 Sektorns omkrets är (12 + 12 + 4,8π ) cm ≈ 39, 08 cm ≈ 39 cm Sektorn är 1 π ⋅122 ⋅π r 2 = cm 2 ≈ 90,48 cm 2 . 5 5 Svar: Sektorns omkrets är 39 cm och sektorns area är 90 cm2. Sektorns area är 5349 38 av omkretsen., omkretsen är 2π r , r = 6,2 cm 360 38 76π r 76π ⋅ 6, 2 ⋅ 2π r = = Bågens längd är cm ≈ 4,11 cm. 360 360 360 Svar: Bågens längd är 4,1 cm a) Bågen är 38 av arean., arean är A = π r 2 , r = 6,2 cm 360 38 38π ⋅ 6, 22 Sektorns area är ⋅π r 2 = cm 2 ≈ 12,75 cm 2 . 360 360 Svar: Sektorns area är 13 cm2. b) Sektorn är 5350 a) v ⋅ 2π r = 4,5 4,5 ⋅ 360D D → = ≈ 52D v 360 π ⋅ 2 5, 0 r = 5, 0 Svar: Medelpunktsvinkeln är 52D b) 1620D 4,5r 10π ≈ 11 cm 2 → A= 2 v A= ⋅π r 2 D 360 v= Svar: Cirkelsektorns area är 11 cm2. 5351, 5352, 5353 Se bokens ledning samt lösningen i facit. © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 Kapitel 5.4 5401, 5402, 5403 Exempel som löses i boken 5404 Skalan uttrycks som Se facit. a) Exempel: bild : verklighet 1 ⋅1 cm = 0, 02 cm = 0, 2 mm på bilden. 50 1 Ett föremål som är 20 m i verkligheten är ⋅ 20 m = 0, 4 m på bilden. 50 Ett föremål som är 1 cm i verkligheten är b) Exempel: Ett föremål som är 1 cm i verkligheten är 8 ⋅1 cm på bilden. Ett föremål som är 52 mm i verkligheten är 8 ⋅ 52 mm = 416 mm ≈ 42 cm på bilden. om x > y → förstoring x Æ om x < y → förminskning y 5405 Se facit. 5406 a) Eiffeltornsmodellen blir 1 ⋅ 300 m = 3 m hög. 100 b) Eiffeltornsmodellen blir 1 ⋅ 300 m = 0, 6 m hög. 500 5407 x : y kan tolkas 1 av verklighetens skottkärra, 40 dvs den riktiga skottkärran är 40 gånger större än modellen. Skottkärremodellen är 40 ⋅ 4,5 cm = 180 cm = 1,8 m Svar: Skottkärran är 1,8 m i verkligheten 5408 Se facit och uppgift 5405. 5409 Racketen är 17 gånger större i verkligheten än på bilden a) 17 ⋅ 4 cm b) 17 ⋅ 4 cm = 68 cm Svar: Racketen är 68 cm i verkligheten. 5410 Se facit. 5411 Skala 2:1 betyder att bilden är 2 gånger större än verkligheten. Verklighetens tärning är hälften så stor som bildens, dvs 1,5 cm/2 = 0,75 cm. Svar: Tärningssidan är i verkligheten 0,75 cm. © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 5412 1 av verklighetens längd. 5 Verklighetens boll är fem gånger så stor som bildens, dvs 5 ⋅ 4,9 cm = 24,5 cm . Skala 1:5 betyder att bildens längd är Svar: Bollens diameter är i verkligheten 24,5 cm. 5413 Se facit. 5414, 5415 Exempel som löses i boken. 5416 Till skalor används endast heltal Längd i verkligheten: 24 mm Skala är bild : verklighet a) Längd i bild: 12 mm 12 1 12 : 24 = = = 1: 2 24 2 Svar: Skalan är 1:2 5417 Längd i verkligheten: 8,5 mm Skala är bild : verklighet a) Längd i bild: 34 mm 34 4 34 : 8,5 = = = 4 :1 8,5 1 Svar: Skalan är 4:1 5418 Skala är bild : verklighet Längd i bild: 5 cm Längd i verkligheten: 175 cm 5 1 5 :175 = = = 1: 35 175 35 Svar: Skalan är 1:35. 5419 b) Längd i bild: 48 mm 48 2 48 : 24 = = = 2 :1 24 1 Svar: Skalan är 2:1 b) Längd i bild: 1,7 mm 1, 7 1 1, 7 : 8,5 = = = 1: 5 8,5 5 Svar: Skalan är 1:5 Det måste vara samma längdenhet för bilden och verkligheten för att man skall få rätt skala. Skala är bild : verklighet Längd i bild: 76 mm Längd i verkligheten: 19 mil = 190 km = 190 000 m = 190 000 000 mm 76 1 76 :190 000 000 = = = 1: 2 500 000 190 000 000 2 500 000 Svar: Skalan är 1:2 500 000 5420, 5421 Exempel som löses i boken. 5422 50000 ⋅ 35 mm = 1750000 mm = 1750 m = 1, 75 km ≈ 1,8 km Svar: Det är 1,8 km mellan Björkudden och Granbo. © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 5423 1 ⋅ 2400 m = 0, 048 m = 4,8 cm 50000 Svar: På kartan är det 4,8 cm mellan Enbacken och Granbo. 5424 200000 ⋅ 6,5 cm = 1300000 cm = 13000 m = 13 km Svar: Dagsetappen var 13 km. 5425 I verkligheten är detaljen 3 ⋅ 72 mm = 216 mm . 1 På den andra ritningen är detaljen ⋅ 216 mm = 54 mm 4 Svar: Detaljen är 54 mm på en ritning i skala 1:4. 5426 Höjden mäts på bilden till 25 mm. Skalan är 1:30. Räcket skall vara minst 1000 mm högt i verkligheten. I verkligheten är räcket 30 ⋅ 25 mm = 750 mm 750 mm < 1000 mm 5427 Svar: Räcket är inte tillräckligt högt eftersom det är lägre än 1000 mm. Se bokens ledning samt lösningen i facit. 5428 Exempel som löses i boken. 5429 a) Sidan DE b) c) Sidan EF 8 = 2 Svar: 2 gångers förstoring. 4 d) x = 2 ⋅ 2 = 4 5430 a) x 6 2 = = 15 9 3 2 ⋅15 x= = 10 3 Svar: x = 10 b) x 30 5 = = 12 18 3 5 ⋅12 = 20 x= 3 Svar: x = 20 5431 a) x 10 5 = = 12 8 4 5 ⋅12 x= = 15 4 Svar: Sidan är 15 cm. b) x 30 5 = = 18 24 4 5 ⋅18 x= = 22,5 4 Svar: Sidan är 22,5 cm. 5432 x 20 2 y 30 3 = = = = 15 30 3 17 20 2 2 ⋅15 3 ⋅17 x= = 10 y= = 25,5 ≈ 26 3 2 Svar: Sidan x = 10 cm och sidan y ≈ 26 cm. © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 c) x 5 = 8 4 5⋅8 = 10 x= 4 Svar: x = 10 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 5433 x 21,1 = 0, 7 0,82 21,1 ⋅ 0, 7 x= ≈ 18 0,82 Svar: Flaggstången är 18 m hög. 5434, 5435 Se bokens ledning samt lösningen i facit. Till skalor används heltal 5436, 5437 Exempel som löses i boken. 5438 a) längdskalan är 2:3 (bild : verklighet) 2 22 4 2 b) areaskalan = längdskalan Æ = 2 = = 4 : 9 Æ Areaskalan är 4:9 3 9 3 2 3 3 8 2 2 c) volymskalan = längdskalan Æ = 3 = = 8 : 27 Æ Volymskalan är 8:27 27 3 3 3 5439 12, 0 = 3 gånger större än den lilla triangelns bas, 4, 0 det vill säga längdskalan är 3:1 a) Den stora triangelns bas är 2 3 9 Æ areaskalan = längdskalan2 = = = 9 :1 1 1 Arean i den stora triangeln är 9 ⋅ 5, 0 cm 2 = 45 cm 2 Svar: Den stora triangelns area är 45 cm2. 2, 0 = 0, 4 av den lilla triangelns bas, 5, 0 det vill säga längdskalan är 2:5 b) Den lilla rektangelns bas är 2 4 2 Æ areaskalan = längdskalan = = = 0,16 25 5 Arean i den lilla rektangeln är 0,16 ⋅10, 0 cm 2 = 1, 6 cm 2 Svar: Den lilla rektangelns area är 1,6 cm2. 2 5440 Samma typ av uppgift 5439a). T2 är avbildningen. Den längsta sidan i T2 är 15/45 = 1/3 av motsvarande sida i T1. Längdskalan är 1:3 Æ areaskalan är 1:9 Arean för T2 är 756 cm2/9 = 84 cm2. Svar: Arean av T2 är 84 cm2. © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 5441 8, 0 = 2 gånger större än det lilla rätblockets 4, 0 motsvarande kant, det vill säga längdskalan är 2:1 a) Det stora rätblockets kant är 3 2 2⋅2⋅2 Æ volymskalan = längdskalan = = = 8 :1 1 ⋅1 ⋅1 1 Volymen för det stora rätblocket är 8 ⋅ 20, 0 cm3 = 160 cm3 3 Svar: Det stora rätblockets volym är 160 cm3. 3, 0 1, 0 = = 0, 25 av det stora prismats 12, 0 4, 0 motsvarande kant, det vill säga längdskalan är 1:4 b) Det lilla prismats kant är 3 1 ⋅1 ⋅1 1 Æ volymskalan = längdskalan3 = = = 1: 64 4 4⋅4⋅4 1 Volymen för det stora prismat är ⋅ 320, 0 cm3 = 5, 0 cm3 64 Svar: Det stora prismats volym är 5,0 cm3. 5442 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 5443 Det stora prismats kant är 12 4 = gånger så stort det lilla prismats 9 3 motsvarande kant, det vill säga längdskalan är 4:3 3 4 4⋅4⋅4 Æ volymskalan = längdskalan = = = 64 : 27 3⋅3⋅3 3 64 Volymen för det stora kärlet är ⋅1, 08 liter = 2,56 liter ≈ 2,6 liter 27 3 Svar: Det stora kärlets volym är 2,6 liter. 5444 Se bokens ledning samt lösningen i facit. Kapitel 5.5 Om du har en miniräknare med x2-knapp trycker du 5501, 5502 Exempel som löses i boken. 5,7 x2 5503 för att beräkna 5,72 a) kvadraten på 5,7 skrivs 5, 7 2 . Beräkningen är 5, 7 ⋅ 5, 7 . 5, 7 2 = 32, 49 b) kvadraten på 0,41 skrivs 0, 412 . Beräkningen som skall göras är 0, 41 ⋅ 0, 41 . 0, 412 = 0,1681 © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 5504 5505 a) 352 + 462 = (1225 + 2116) = 3341 När du räknar med miniräknare behöver du inte ta med det led som står inom parentes. c) 942 − 27 2 = (8836 − 729) = 8107 b) 862 + 57 2 = 10645 d) 3452 − 1452 = 98000 Hypotenusan i kvadrat är 502 = 2500 Summan av kvadraterna på kateterna är 482 + 142 = 2500 Eftersom hypotenusan i kvadrat är lika med summan av kvadraterna på kateterna stämmer Pythagoras sats. 5506 Hypotenusan i kvadrat är 102 = 100 Summan av kvadraterna på kateterna är 82 + 62 = 100 Pythagoras sats stämmer. 5507 a) 5508 a) 52 = 5 ⋅ 5 = 25 c) 12,52 = 12,5 ⋅12,5 = 156, 25 b) 7,12 = 7,1 ⋅ 7,1 = 50, 41 d) 0,552 = 0,55 ⋅ 0,55 = 0,3025 52 + 62 = 61 61 ≠ 64 → 82 = 64 Triangeln är inte rätvinklig. b) 52 + 122 = 169 169 = 169 → 132 = 169 Triangeln är rätvinklig. 5509 a) 17 2 = 17 ⋅17 = 289 b) 132 = 13 ⋅13 = 169 c) 17 2 + 132 = 289 + 169 = 458 5510 Se facit och lösningen till uppgift 5504. Kontakta din lärare om du behöver hjälp. 5511 a) 112 + 252 = 746 746 < 841 292 = 841 c) 152 + 282 = 1009 412 = 1681 b) 962 − 702 = 4316 132 = 3364 d) 1342 − 392 = 16435 1202 = 14400 a) Hypotenusan i kvadrat är 152 = 225 . Summan av kvadraterna på kateterna är 92 + 122 = 225 . Pythagoras sats stämmer. c) Hypotenusan i kvadrat är 292 = 841 . Summan av kvadraterna på kateterna är 202 + 212 = 841 . Pythagoras sats stämmer. 5512 4316 > 3364 © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 1009 < 1681 16435 > 14400 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 5513 5514 b) Hypotenusan i kvadrat är 12,52 = 156, 25 . Summan av kvadraterna på kateterna är 12, 02 + 3,52 = 156, 25 . Pythagoras sats stämmer. d) Hypotenusan i kvadrat är 20,82 = 432, 64 . Summan av kvadraterna på kateterna är 19, 22 + 8, 02 = 432, 64 . Pythagoras sats stämmer. a) 7 2 + 192 = 410 410 ≠ 441 → 212 = 441 Triangeln är inte rätvinklig. c) 92 + 402 = 1681 1681 = 1681 → 412 = 1681 Triangeln är rätvinklig. b) 122 + 162 = 400 400 = 400 → 202 = 400 Triangeln är rätvinklig. d) 22 + 22 = 8 8 ≠ 9 → Triangeln är 32 = 9 inte rätvinklig. Triangeln är rätvinklig. Det betyder att Pythagoras sats gäller. Hypotenusan i kvadrat är 1602 = 25600 Lisas resultat ger 1012 + 1282 = 26585 Tommys resultat ger 942 + 1282 = 25220 Anns resultat ger 962 + 1282 = 25600 vilket är lika med hypotenusan i kvadrat. Svar: Ann har bestämt avståndet korrekt. 5515 Detta kan även visas generellt. Triangeln är rätvinklig, då gäller att a 2 + b 2 = c 2 . I uppgiften är a = 4 x, b = 3 x och c = 5 x . Kvadraten på hypotenusan är c 2 = (5 x) 2 = 5 x ⋅ 5 x = 25 x 2 . c a Summan av kvadraterna på kateterna är a 2 + b 2 = (4 x) 2 + (3x) 2 = 16 x 2 + 9 x 2 = 25 x 2 . b Vi har alltså att 25 x = 25 x . Det är sant för alla värden på x. 2 2 5516, 5517 Exempel som löses i boken. 5518, 5519, 5520, 5521 Se exemplen 5516 och 5517. 5522, 5523, 5524, 5525 Kontakta din lärare om du 5526, 5527, 5528 behöver mer hjälp med detta. 5529 a) x 2 + 8 = 17 b) På de flesta moderna miniräknare trycker man först -knappen, sedan matar man in det tal man skall bestämma kvadratroten till. x 2 − 24 = 25 x 2 = 17 − 8 = 9 x 2 = 25 + 24 = 49 x2 = 9 x=3 x 2 = 49 x=7 © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 5530 5531 a) a) 15 = x 2 − 10 x 2 = 100 − 64 = 36 x 2 = 25 x=5 x 2 = 36 x=6 x 2 = 6 2 + 82 17 2 = 82 + x 2 x 2 = 17 2 − 82 = 225 x 2 = 100 x = 10 x 2 = 225 x = 15 5533 a) x 2 − 1 = 49 b) 86 = x 2 − 4 x 2 = 49 + 1 = 50 x 2 = 86 + 4 = 90 x 2 = 50 x ≈ 7, 07 x 2 = 90 x ≈ 9, 47 a) Kvadrater på följande heltal ligger mellan 100 och 200: 11 (112 = 121) , 12 (122 = 144) , 13 (132 = 169) och 14 (142 = 196) . b) Kvadratrötterna av följande heltal ligger mellan 10 och 20: 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324 och 361. Löses enklast med miniräknare men man kan lösa det genom lite tankearbete. Eftersom 8 ⋅ 8 = 64 < 73 och 9 ⋅ 9 = 81 > 73 måste roten ur 73 vara större än 8 men mindre än 9. Svar: 5536 b) x 2 = 36 + 64 = 100 Se facit. 5535 100 = x 2 + 64 x 2 = 15 + 10 = 25 5532 5534 b) 73 ligger mellan 8 och 9. Sätt in värdet på x i formeln för y. y = 14 x → y = 14 31 ≈ 77,95 ≈ 78 x = 31 Svar: Bilens hastighet var 78 km/h. 5537 a) Arean är x2 cm2. x 2 = 47,5 x ≈ 6,892 Svar: Sidan är 6,89 cm lång. b) Omkretsen är 4x cm. 4 x = 4 47,5 ≈ 27,57 Svar: Omkretsen är 27,6 cm. 5538, 5539, 5540 Se bokens ledning samt lösningen i facit. © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 Arean 47,5 cm2 x x Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 5541, 5542 Exempel som löses i boken. 5543 Trianglarna är rätvinkliga. Därför kan Pythagoras sats användas för att lösa uppgifterna. c) x 2 = 3,12 + 9, 7 2 a) x 2 = 202 + 152 x 2 = 9, 61 + 94, 09 = 103, 7 x 2 = 400 + 225 = 625 x 2 = 103, 7 x 2 = 625 x = 25 b) x 2 = 12, 02 + 13, 02 x ≈ 10, 2 d) x 2 = 104, 04 + 104, 04 = 208, 08 x 2 = 144 + 168 = 313 x 2 = 208, 08 x 2 = 313 x ≈ 17, 7 5544 Se facit. 5545 x 2 = 20, 02 + 21, 02 x 2 = 10, 22 + 10, 22 x ≈ 14, 4 x 2 = 400 + 441 = 841 x 2 = 841 x = 29 Svar: Hypotenusan är 29 m lång. 5546 a) d 2 = 1502 + 802 x 2 = 22500 + 1600 = 28900 x 2 = 28900 x = 170 Svar: Diagonalen är 170 cm lång. b) x 2 = 4,12 + 6, 7 2 x 2 = 16,81 + 44,89 = 61, 70 x 2 = 61, 70 x ≈ 7,854 Svar: Diagonalen är 7,9 dm lång. 5547 Se facit. Man går 7 rutor (motsvarar 7 cm) i sidled och 3 rutor vinkelrätt i höjdled för att komma från A till B. 5548 Det är 90D vinkel mellan rakt norrut och rakt österut. Avståndet mellan Britta och Anders är x m. x 2 = 852 + 922 = 15689 x 2 = 15689 x ≈ 125 Svar: Avståndet mellan Britta och Anders är 125 m. © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 5549 Fågelvägen är det x m till toppen. x 2 = 12502 + 4202 = 1738900 x 2 = 1738900 x ≈ 1318, 7 ≈ 1320 Svar: Fågelvägen till toppen är 1320 m. 5550 Exempel som löses i boken 5551 a) b) 5552 x 2 + 4 2 = 52 Det sparar tid och knapptryckningar på miniräknaren att direkt kunna beräkna till exempel 7,52 − 2, 7 2 utan att först räkna ut vad 7,52 − 2, 7 2 är. För att det skall bli rätt räknat behövs parenteser runt uttrycket under rottecknet Tryck alltså ( 7,5 x 2 − 2, 7 x 2 ) c) x 2 + 122 = 132 x 2 = 52 − 4 2 x 2 = 132 − 122 x = 52 − 4 2 x=3 x = 132 − 122 x=5 Svar: Kateten är 3 cm. Svar: Kateten är 5 cm. x 2 + 62 = 102 d) x 2 + 242 = 252 x 2 = 102 − 62 x 2 = 252 − 242 x = 102 − 62 x=8 x = 252 − 242 x=7 Svar: Kateten är 8 mm. Svar: Kateten är 3 m. Sträckan BC är x m. x 2 + 7202 = 8402 x 2 = 8402 − 7202 x = 8402 − 7202 x ≈ 432, 7 ≈ 430 Svar: Det är 430 m mellan B och C. 5553 Se facit. I en rätvinklig triangel måste det finnas en vinkel som är 90D . 5554 Den okända kateten är x cm. x 2 + 10 = 26 x = 26 − 10 x=4 Svar: Kateten är 4 cm. © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 5555 Kortaste vägen mellan två punkter (i ett plan) är en rät linje (fågelvägen), i detta fall hypotenusan i en rätvinklig triangel med katetlängderna 120 m respektive 40 m. Tillbakavägen är x m. Totalt simmar hon (120 + 40 + x) m . x 2 = 1202 + 402 x = 1202 + 402 → 120 + 40 + x ≈ 287 ≈ 290 x ≈ 127 Svar: Ingrid simmar 290 m. 5556 Se bokens ledning samt lösningen i facit 5557 Den del av stammen fällts motsvaras av hypotenusan i en rätvinklig triangel med katetlängderna 1,4 m respektive 14,5 m. Denna del av stammen är x m lång. Trädet totala höjd var (1, 4 + x) m. x 2 = 1, 42 + 14,52 x = 1, 42 + 14,52 → 1, 4 + 14,57 ≈ 16 x ≈ 14,57 Svar: Trädet var 16 m högt. 5558, 5559, 5560 Se bokens ledning samt lösningen i facit. Kapitel 5.6 Att ha en bra strategi för att lösa problem är viktigt och det gäller inte bara inom matematikens område. Tag för vana att använda denna stegmetod i så stor utsträckning som möjligt, det vinner du på i längden. 1. Förstå problemet 2. Gör upp en plan 3. Följ din plan Kontrollera ditt svar (är det orimligt börjar du om vid steg 2) 5601 Exempel som löses i boken. 5602 Förstå problemet: Vad frågar man efter? Vilka fakta finns? Uppskatta burkens volym: Burkens volym efterfrågas. Burkens höjd och burkens rymddiagonal. 30 cm hög och 34 cm rymddiagonal är som en liten hink, ca 5-8 liter © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 Gör upp en plan: Tänk: Det finns en formel för en cylinders volym V = π r 2 h . Skriv: Volymen V: ? cm3 Eftersom burkens radie inte finns given i problemet måste den bestämmas på något sätt. Höjden h: 30,0 cm Diagonalen D: 34,0 cm Diametern d: ? cm Med hjälp av Pythagoras sats kan diametern räknas ut och därmed även radien (som ju är hälften av diametern). D 2 = d 2 + h2 d = D2 − h2 r= d = 2 Rita: D h d D 2 − h2 2 När radien har räknats ut kan volymen beräknas. Följ din plan: Beräkna radien: Beräkna volymen: 342 − 302 r= cm = 8 cm 2 V = π r 2 h = π ⋅ 82 ⋅ 30 cm3 ≈ 6032 cm3 ≈ 6, 0 dm3 Kontrollera svaret: Volymen uppskattades till mellan 5 och 8 liter och beräknades till 6,0 liter. Eftersom det var god överensstämmelse mellan det uppskattade (förväntade) resultatet och det beräknade är vi nöjda och behöver inte göra någon ny plan. 5603 Förstå problemet: Områdets area skall beräknas. Uppskatta svaret: Halvcirkeln ser ut att vara något mindre än triangeln. Totalarean bör därför vara mer än för en triangel men mindre än arean för två trianglar. Gör upp en plan: Området kan delas in i två delar: en triangel och en halvcirkel . bh π r2 A TOTAL = A TRIANGEL + A HALVCIRKEL där A TRIANGEL = och A HALVCIRKEL = 2 2 För att använda formlerna för triangelns area måste man veta basens och höjdens längd, för att använda formel för halvcirkelns area måste man veta radien eller diametern. Triangelns höjd h är lika med halvcirkelns diameter, fås med hjälp av Pythagoras sats. Följ din plan: bh 15 ⋅ 8 A TRIANGEL = cm 2 = 60 cm 2 = 2 2 h = 17 2 − 152 cm = 8 cm → 2 π r π ⋅ 42 A cm 2 ≈ 25 cm 2 = = HALVCIRKEL 2 2 A TOTAL = A TRIANGEL + A HALVCIRKEL ≈ 85 cm 2 © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 Kontrollera ditt svar: Den beräknade arean ligger i intervallet 60-120 cm2 som vi förväntade oss. 5604 Förstå problemet: Beräkna totala arean. Arean kan delas in enligt figuren till höger. Resultatuppskattning: Arean är mellan 15h och 25h. 15 (cm) 13 Gör upp en plan: Det finns en formel för parallelltrapetsets area. ( a + b) h där a = 15 cm och b = 25 cm (5+15+5)cm A= 2 Höjden h cm kan beräknas med Pythagoras sats. 13 h 5 15 5 132 = h 2 + 52 → h = 132 − 52 Följ din plan: h = 132 − 52 cm = 12 cm (15 + 25) ⋅12 → A= cm 2 = 240 cm 2 2 Kontrollera ditt svar: 15h = 180 < 240 < 25h = 300. Svaret ligger i det intervall vi förväntade oss. 5605 Förstå problemet: Räkna ut hur lång tid det tar att gå runt fältet. Camilla går med hastigheten 75 m/min. Uppskattning av resultatet: Omkretsen är ca 1 km vilket tar ca en kvart 405 Gör upp en plan: 1. Räkna ut den sneda sidan x med hjälp av Pythagoras sats. 2. Räkna ut figurens omkrets (summan av sidlängderna). s 3. Räkna ut tiden med formeln t = v där t är tid, s är sträcka och v är hastigheten. Följ din plan: 1. ”Överhänget” på fältets övre kant = triangelns bas = 80 m. x 2 = 1502 + 802 → x = 1502 + 802 = 170 . 2. 3. Omkretsen är (150 + 405 + 170 + 325) m = 1050 m . s 1050 min = 14 min t= = 75 v Kontrollera ditt svar: Svaret 14 min stämmer väl med uppskattningen. 5606 Se bokens ledning samt lösningen i facit © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 h 150 325 (m) x Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 5607 Sökt: Burkens volym Känt: d = 3,00 dm Mantelarea = 18,0 dm2 Användbara formler: A MANTEL = 2π rh = π dh 2 π d h VCYLINDER = π r 2 h = 4 h Kombinera ihop formlerna ovan A d 18, 0 ⋅ 3, 00 dm3 = 13,5 dm3 → VCYLINDER = MANTEL = 4 4 d Svar: Burkens volym är 13,5 dm3. 5608 Den höga, smala burken har radien r och höjden 2h → VHÖG = π r 2 ⋅ 2h = 2π r 2 h . Den låga, breda burken har radien 2r och höjden h → V LÅG = π (2r ) 2 h = 4π r 2 h . 4π r 2 h är dubbelt så mycket som 2π r 2 h det vill säga den låga burken rymmer dubbelt så mycket sylt som den höga burken. 5609, 5610 Se förklaringen i bokens facit. Kontakta din lärare om du vill ha mer hjälp. 5611, 5612, 5613, 5614, Se bokens ledning samt lösningen i facit 5615, 5616, 5617 Kapitel 5.7 5701 Exempel som löses i boken 5702, 5703, 5704, 5705, 5706, Se facit. Kontakta din lärare om du behöver hjälp. 5707 a) H, M, O, T, U, V, W, X, Y, Å, Ä, Ö (och A) b) C, D, E, H, I, K, X (och B) 5708, 5709, 5710, 5711, 5712, 5713, 5714 Se facit. Kontakta din lärare om du behöver hjälp. 5715 5716 a) 47 ≈ 3, 615 13 c) 55 ≈ 0, 618 89 b) 68 ≈ 0,883 77 d) 89 ≈ 1, 618 55 I en gyllene rektangel är förhållandet mellan långsidan och kortsidan 1,618:1 29, 6 1, 618 ≈ = 1, 618 :1 . Förhållandet mellan Parthenons långsida och kortsida är 18,3 1 © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 5717 5718 a) BC 15 1, 25 = = = 1, 25 :1 1 AB 12 Æ Ej gyllene rektangel c) BC 93 = ≈ 1,899 :1 AB 49 Æ Ej gyllene rektangel b) BC 55 1, 618 = ≈ = 1, 618 :1 1 AB 34 Æ Gyllene rektangel d) BC 144 = ≈ 1, 618 :1 AB 89 Æ Gyllene rektangel AB är 1,0 längdenhet. BM = MF som är 0,5 längdenhet MP är lika lång som MC P A D Triangeln MFP är rätvinklig, därför kan Pythagoras sats användas r 2 = 1, 02 + 0,52 = 1, 25 B M F C r = 1, 25 Sträckan MC är 1, 25 längdenheter. Sträckan BC är 0,5 + 1, 25 längdenheter BC 0,5 + 1, 25 = ≈ 1, 618 :1 AB 1 dvs det gyllene snittets proportioner. 5719 297 ≈ 1, 414 :1 . 210 För att få förhållandet 1,618:1 måste kortsidan bli mindre (eftersom långsidan inte kan öka i detta fall). Förhållandet mellan ett A4-arks långsida och kortsida är Antag att kortsidan skall vara x mm. Då får vi följande ekvation att lösa 297 1, 618 1, 618 = → x= ≈ 184 x 1 297 Eftersom kortsidan är 210 mm från början måste man klippa bort (210−184) mm = 26 mm längs med långsidan. 5720, 5721 Se facit. Kontakta din lärare om du vill diskutera dina resultat. © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 Tema: Trigonometri Vinklar kan mätas med olika enheter. I denna kurs används bara den enhet som innebär att det är 360D på ett varv. Den typ av miniräknare som används när man räknar trigonometri kan ställas in för att kunna användas för olika vinkelenheter. För att få rätt svar när du räknar de följande uppgifterna är det viktigt att din räknare är rätt inställd. Du kan testa detta genom att undersöka vad sin 90D blir. Får du resultatet sin 90° = 1 är din räknare rätt inställd. 1 2 a) sin v = motstående katet 35 = ≈ 0,574 hypotenusa 61 b) cos v = närliggande katet 50 = ≈ 0,820 hypotenusa 61 c) tan v = motstående katet 35 = = 0, 70 närliggande katet 50 Se facit. På de flesta moderna miniräknare beräknas sin 35D genom att man 1. först trycker på [sin]-knappen, 2. sedan matar man in 35, 3. därefter trycker man 4. 3 [EXE] (Casio) eller [ENTER] (Texas) eller [=]. Vinkeln v och närliggande katet AB är kända och man frågar efter höjden BC som är en motstående katet. Problemet löses med hjälp av tangens (tan). tan v = motstående katet BC = närliggande katet AB → BC = AB ⋅ tan v = 18, 2 ⋅ tan 40D ≈ 15,3 Svar: Flaggstången är 15,3 m hög. 4 Vinkeln v och hypotenusan AB är kända och man frågar efter avståndet AC som är en närliggande katet. Problemet löses med hjälp av cosinus (cos). närliggande katet AC cos v = = → hypotenusan AB AC = AB ⋅ cos v = 625 ⋅ cos 27D ≈ 557 Svar: Avståndet över viken är 557 m. © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5 5 Vinkeln v och hypotenusan AB är kända och man frågar efter avståndet BC som är en motståendende katet. Problemet löses med hjälp av sinus (sin). motstående katet BC sin v = = → hypotenusan AB BC = AB ⋅ sin v = 29 ⋅ sin 32D ≈ 15 Svar: Masten är 15 m hög. 6 Se facit Om du skall bestämma vinkeln v är då tan v = 7 13 gör du så här 19 Casio (de flesta nya modeller): Tryck [SHIFT][tan](13/19)[EXE] Texas (de flesta nya modeller): Tryck [2nd][tan](13/19)[ENTER] 8 Vill man beräkna hur stor en vinkel v är och man vet hur lång den motstående kateten och närliggande katet används inversfunktionen arctan v. På miniräknaren betecknas detta tan-1, hur man gör beskrivs ovan. tan v = motstående katet 1,8 = → v = arctan (1,8 / 4, 7) ≈ 21D ` närliggande katet 4, 7 Svar: Vinkeln v är 21D 9 a) Ledning: sin v = 56 / 70 b) Ledning: tan v = 45 / 72 10 a) Ledning: tan v = 20 / 32 b) Ledning: cos v = 28 / 36 © NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002