Uppvärmningsproblem
1. Hur kan man ”se” på ett heltal om det är delbart med 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
respektive 11? Varför?
2. (a) Tänk på ett tresiffrigt tal abc, a 6= 0. Bilda abcabc genom att skriva
talet två gånger efter varandra. Jag påstår att det så bildade talet
blir delbart med 7, 11 och 13. Varför är det så?
(b) Vilka primtal kommer talet abcdabcd att bli jämnt delbara med?
3. (a) Vad är definitionen av primtal?
(b) Skriv upp de 20 första primtalen.
4. Bestäm alla trippler n − 2, n, n + 2 av heltal som samtliga är primtal.
5. Skriv upp additions- och multiplikationstabellen för räkning modulo 4.
6. Bevisa att det finns oändligt många primtal (ett av matematikens klassiska resultat).
1
Från Skolornas matematiktävling
1. Är det möjligt att något av heltalen x och y är delbart med 3 om x2 −y 2 =
1995? (k1/1995)
2. Bestäm de två sista siffrorna i 31000 . (k2/1977)
3. Antag att det femsiffriga talet ABCDE är delbart med 271. Visa att då
även BCDEA (erhålls genom att första siffran flyttas sist) är delbart med
271. (k2/1975)
4. Bestäm heltalet t och hundratalssiffran a så att (3(230 + t))2 = 492a04.
(k1/1989)
p
5. Visa att 1 + n(n + 1)(n + 2)(n + 3) är ett heltal för varje heltal n.
(k2/1991)
6. För vilka heltal a, b och c, där a ≤ b ≤ c, gäller att abc = 84 och
(a + 1)(b + 1)(c + 1) = 180? (k2/2000)
7. Bestäm alla positiva heltal x och y sådana att x2 −3xy = 2002. (k2/2002)
8. Visa att om p är ett primtal, p ≥ 5, så är p2 +2 inte ett primtal. (k3/1977)
9. Man bildar talet 1980! = 1 · 2 · 3 · . . . · 1979 · 1980. Med hur många nollor
slutar detta tal? (k2/1980)
10. Visa att om n är ett udda tal så är n12 − n8 − n4 + 1 delbart med 29 .
(k2/1984)
11. Vilka sexsiffriga tal av formen abccba är jämnt delbara med 33? (k2/1990)
12. Försök finna en snabb metod för att beräkna 9999999993 och utför beräkningen.
(k2/1961)
13. Visa att för varje primtal p ≥ 5 är p2 −1 jämnt delbart med 24. (k2/1963)
14. Vilken rest ger talet 1234567 + 891011 vid division med 12? (f3/1963)
15. Talen a1 , a2 , . . . , an är talen 1, 2, 3, . . . , n skrivna i annan ordning. Visa
att om n är udda så är (a1 − 1)(a2 − 2) · . . . · (an − n) jämnt. (k2/1964)
16. Summan av ett visst antal på varandra följande naturliga tal n, n +
1, . . . , n + m är 1000. Bestäm alla möjliga sådana följder. (f2/1964)
17. Bestäm alla par av naturliga tal x och y sådana att x3 − y 3 = 999.
(f2/1965)
2
18. Visa att det inte finns fyra heltal x, y, z och k sådana att x2 + y 2 + z 2 =
8k + 7. (f3/1966-67)
19. I ett fyrsiffrigt positivt heltal är entalssiffran och tiotalssiffran inbördes
lika medan hundratalssiffran är densamma som tusentalssiffran. Talet är
dessutom en jämn kvadrat. Bestäm talet. (k2/1996)
20. Primtalet 1997 minskat med 1 ger ett tal som är delbart med 4. Enligt en
sats av Fermat kan då 1997 skrivas som en summa av två heltalskvadrater. Bestäm alla positiva heltal x och y sådana att 1997 = x2 + y 2 .
(k2/1997)
21. Visa att den näst sista siffran i talet 3n , där n är ett positivt heltal ≥ 3,
alltid är jämn. (k2/1998)
22. Bestäm alla positiva heltal m och n sådana att
1
1
2
1
+ −
= .
m n mn
5
(f1/1991)
23. Är (1992 − 9129 )/90 ett naturligt tal? (f1/1992)
24. Heltalet x är sådant att 3x har samma siffersumma som x. Visa att talet
x är delbart med 9. (f1/1993)
25. Bestäm alla naturliga tal x, y, z sådana att
(8x − 5y)2 + (3y − 2z)2 + (3z − 7x)2 = 2.
(f1/1998)
26. Lös ekvationen 5x + 6y + 7z + 11u = 1999 i icke-negativa heltal x, y, z, u.
(f3/1999)
27. Finns det heltal n och m sådana att n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = m2 ?
(f3/2000)
28. I ett land finns mynt av valörerna 1, 2, 3, 4 och 5. Nisse har valt ett par
skor. När han ska betala berättar han för försäljaren att han har en påse
med 100 mynt, men att han inte vet exakt hur många han har av varje
valör.
- Vad bra, då har du jämna pengar, säger försäljaren.
Hur mycket kostade skorna, och hur kunde försäljaren vara säker på att
Nisse hade jämna pengar? (f2/2004)
3
29. Bestäm det minsta heltal ≥ 3 med egenskapen att man kan välja två av
talen 1, 2, . . . , n på ett sådant sätt att deras produkt är lika med summan
av övriga n − 2 talen. Vilka är de två talen? (f2/2008)
30. Bestäm alla positiva heltalslösningar till
1 1
1
+ =
.
x y
101
(k4/2009)
31. Dela in de elva talen 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 och 73 i två
grupper så att summan av talen i den ena gruppen är jämnt delbar med
summan i den andra. (k2/2003)
32. Visa att n4 + n2 + 1 inte kan vara kvadrat på ett heltal om n är ett heltal
och n 6= 0. (k1/1972)
33. Idag är det onsdagen 17 oktober 1962. På vilken veckodag infaller den
17 oktober år 3000? Skottår inträffar om årtalet är jämnt delbart med
4 med det undantaget att år som är jämnt delbara med 100 endast är
skottår om de är jämnt delbara med 400. (k2/1962)
34. Visa att varje heltal n ≥ 0 på precis ett sätt kan framställas på formen
n = a1 · 1! + a2 · 2! + a3 · 3! + . . . där a1 , a2 , a3 , . . . är heltal som uppfyller
0 ≤ a1 ≤ 1, 0 ≤ a2 ≤ 2, 0 ≤ a3 ≤ 3, osv. (k2/1967)
35. Låt n vara ett positivt heltal. Visa att talen n2 (n2 + 2)2 och n4 (n2 + 2)2 i
basen n2 + 1 skrivs med samma siffror fast i motsatt ordning. (f1/1989)
36. Antag att de positiva heltalen a och b har 99 respektive 101 olika positiva
delare (1 och talet självt inräknade). Kan produkten ab ha 150 olika
positiva delare? (f1/2006)
37. Finns det ett positivt heltal vars kub har formen ababab1 i talsystemet
med basen 10, där siffran a är skild från 0? (k6/2001)
38. Visa att bland 18 konsekutiva (dvs på varandra följande) tresiffriga tal
finns ett som är delbart med sin siffersumma. (k5/1999)
39. Bestäm alla par (x, y) av heltal x och y som satisfierar ekvationen y 2 −
3xy + x − y = 0. (f3/1962)
40. Visa att det endast finns ändligt många uppsättningar (x, y, z) av positiva heltal som satisfierar
1
1 1 1
+ + =
.
x y z
1000
(f3/1967)
4
41. Visapatt man för varje heltal n kan finna positiva heltal x och y sådana
att x2 + nxy + y 2 är ett heltal. (k6/1988)
42. Talen a1 , a2 , . . . , an är vardera lika med 1 eller −1. Vidare gäller a1 a2 +
a2 a3 + . . . + an a1 = 0. Visa att n måste vara delbart med 4. (k4/1997)
43. För vilka positiva heltal n är n3 −18n2 +115n−391 kuben på ett positivt
heltal? (f3/1989)
44. Antag att a och b är heltal. Visa att ekvationen a2 + b2 + x2 = y 2 har
heltalslösning x, y om och endast om produkten ab är jämn. (f3/1993)
45. Bestäm alla par (x, y) av heltal som satisfierar ekvationen 2y 3 − x3 =
xy 2 + 11. (f4/1994)
46. Bestäm det minsta naturliga talet sådant att om talets första siffra (talet
är skrivet i decimalform) placeras sist, så blir det nya talet 7/2 gånger
större än det ursprungliga talet. (f3/1985)
47. Låt k och n vara naturliga tal 1 < k < n. Givet är n tal sådana att
medelvärdet av k av dem, vilka som helst, är ett heltal. Visa att alla n
talen är heltal. (k4/2004)
48. Bestäm alla heltalslösningar x och y till ekvationen (x + y 2 )(x2 + y) =
(x + y)3 . (f1/2005)
49. Bestäm alla positiva heltal a, b och c sådana att
c
ab = (ba )c .
(f6/2006) (Tips: den enda lösningen jag kunde komma på blandar in
derivator. Finns elementärare lösning?)
50. Bestäm alla heltalslösningar till ekvationen x + x3 = 5y 2 . (f4/2009)
5
