Rikard Bögvad Tentamensskrivning i Logik pk, 100107

MATEMATISKA INSTITUTIONEN
STOCKHOLMS UNIVERSITET
Avd. Matematik
Examinator: Rikard Bögvad
Tentamensskrivning i
Logik pk, 100107
7,5 hp
Inga hjälpmedel tillåtna. Motivera samtliga lösningar noga.
Basdel
1. I den initiala Booleska algebran (alltså den med bara elementen 0, 1) beräkna:
(0 → 1) → (¬(¬0 ∧ 1) ∨ 1).
2p
2. Förklara med ord vad f beräknar om f definierats rekursivt (i ett satslogiskt språk) genom
f (Pi ) =0
(1)
f (⊤) =0
(2)
f (⊥) =0
(3)
f (θ ∧ ψ) =f (θ) + f (ψ) + 1
(4)
f (θ ∨ ψ) =f (θ) + f (ψ) + 1.
(5)
2p
3. Utför substitutionerna:
(P1 (x0 , x1 ) ∧ ∃x0 P1 (x0 , x1 ))[x0 /x1 ] respektive (P1 (x0 , x1 ) ∧ ∃x0 P1 (x0 , x1 ))[x1 /x0 ].
2p
4. Avgör om (P ∧ (Q ∧ R)) ⇐⇒ ((P → Q) ∧ R) är en tautologi.
2p
5. Definiera Γ ⊢ ϕ respektive Γ |= ϕ. Vad finns det för relation?
2p
6. Definiera vad en modell av ett predikatlogiskt språk är.
2p
7. Ange en formel i ett predikatlogiskt språk, som i en lämplig tolkning av språket har betydelsen
”alla kontinuerliga funktioner på ett kompakt intervall har ett största värde.” Visa också att
det finns en tolkning av samma sats där betydelsen istället blir ”till varje tallrik fisksoppa finns
det ett vin som är bäst”.
2p
8. Som vilket påstående tolkas ∃x0 ∀x1 P1 (x0 , f1 (x1 )) i strukturen med individområdet de positiva
naturliga talen, P1 (a, b) som att a delar b, och f1 (a) som 2a2 +4a+18. Vad är [∃x0 ∀x1 P1 (x0 , f1 (x1 ))]?
2p
9. Låt Γ vara en mängd av formler i en viss ställighetstyp. a) Om Γ är konsistent har den då alltid
en modell? b) Om Γ är inkonsistent har den då nödvändigtvis en motmodell ? c) Vad kan du
säga om Γ:s egenskaper om den både har en modell och en motmodell?
2p
Problemdel
10. I ett språk med endast två av vardera tvåställiga, och enställiga funktionssymboler samt en
nollställig funktionssymbol samt en tvåställig och en enställig predikatsymbol finn en formel
som i en lämplig tolkning får innebörden: för varje tal ϵ > 0 finns det ett heltal n så att
| cos n − 1| ≤ ϵ.
4p
11. (I ett satslogiskt språk med satsvariabler po , p1 , ...) a) Bevisa att {p0 , p1 , p2 , ¬p0 ∧ p2 }är inkonsistent. b)Är mängden av alla formler som inte innehåller någon negation (utan bara variabler,
samt ∧, ∨) maximalt konsistent?Konsistent?
4p
12. Ge fullständiga härledningar i naturlig deduktion av följande formler:
a) ((ϕ → ψ) → ψ) ⇐⇒ (¬ϕ → ψ)
1p
b) ∀x0 ∃x1 P1 (x0 , x1 ) → ∀x2 ∃x3 P1 (x2 , x3 )
1p
c) ∃x0 ∀x1 P1 (x0 , x1 ) → ∀x1 ∃x0 P1 (x0 , x1 )
2p
13. Avgör med valfri metod om var och en av följande formler är härledbar i naturlig deduktion
(förutsatt rätt ställighetstyp)
a) ∀x1 ∃x0 P1 (x0 , x1 ) → ∃x0 ∀x1 P1 (x0 , x1 )
2p
b) (x0 = x1 ) → ∀x0 (x2 = x0 → x2 = x1 )
2p
14. Låt Γ = {P1 (x0 , x1 ), P1 (x1 , x2 ), ¬P1 (x0 , x2 )}. Anta att Γ∗ är en maximalt konsistent utvidgning
av Γ.
a) Ange en formel som är med i Γ∗ men inte i Γ. Motivera!
1p
b) Ange en konsistent mängd av formler som inte är en delmängd av Γ∗ . Motivera!
1p
c) Låt Γ◦ vara en annan maximalt konsistent utvidgning av Γ. Visa att Γ◦ ∩ Γ∗ är en oändlig,
konsistent, mängd och att Γ◦ ∪ Γ∗ är inkonsistent.
2p
Skrivningsåterlämning torsdagen den 14/1 kl 12.15 utanför sal 15, därefter i rum 208, hus 6.