Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, miljö och samhälle
Magisteruppsats
30 hp
Bedömningsmatriser och kamratbedömning i
matematik: aktionsforskning i gymnasiet.
Rubrics and peer assessment in mathematics: action research in upper
secondary school.
Anna-Stina Bengtsson
Magisterkurs i utbildningsvetenskap inom matematik, 60 hp Examinator: Arne Engström
Datum för slutseminarium: 2008-09-11
Handledare: Tine Wedege
2
FÖRORD
Stort tack till min handledare Tine Wedege som har gett mig konstruktiv kritik och som,
trots att jag ibland har tvekat, hela tiden har trott att projektet skulle vara möjligt för mig
att genomföra. Tack till min ”magisterkompis” Lena Andersson som jag under alla
utbildningens kursträffar har haft givande diskussioner med. Tack också till mina elever
vars synpunkter och tankar jag har fått ta del av genom samtal och enkäter.
Anna-Stina Bengtsson, Klippan, oktober 2008.
3
SAMMANFATTNING
Jag har i flera år känt mig missnöjd med resultaten av min undervisning på gymnasiets
A-kurs i matematik. Mötet med bedömningsmatriser blev den impuls som på allvar fick
mig att försöka, tillsammans med mina elever, skapa ett didaktiskt kontrakt med inslag
av formativ bedömning. I ett aktionsforskningsprojekt har jag minskat andelen
färdighetsträning och i stället låtit eleverna under lektionstid arbeta med lite större och
öppnare inlämningsuppgifter med hjälp av bedömningsmatriser och kamratbedömning.
Enkäter, observationer och samtal visar att eleverna anser att de har nytta av matriser
både för att tolka uppgifterna och för att bedöma redovisningarnas kvalitet.
Inställningen till kamratbedömning är mer varierande. En förutsättning för att den ska
fungera är att den ingår i den planerade lektionsverksamheten, att den görs i direkt
anslutning till inlämningsuppgiften och att eleverna inte känner sig alltför osäkra inför
varandra.
Nyckelord: aktionsforskning, bedömningsmatriser, didaktiskt kontrakt, feedback,
formativ bedömning, kamratbedömning.
ABSTRACT
For several years, I have felt displeased with the results of my teaching in the A-course
in mathematics at upper secondary school. The acquaintance of rubrics was the impulse
that made me try, together with my students, to develop a didactical contract with a
component of formative assessment. In an action research project, I have reduced the
amount of proficiency training and instead permitted the pupils during lessons to work
with longer and more open tasks to be submitted. In this process rubrics and peer
assessment are used.
Questionnaires, observations and discussions show that the pupils find the rubrics
useful for interpreting and judging the quality of the submitted reports. Their attitudes
towards peer assessment show more variation. A prerequisite condition for peer
assessment to work is that it is a part of the planned lesson, that it is done together with
the submitted task and that the pupils feel confident with each other.
4
Keywords: action research, rubrics, didactical contract, feedback, formative assessment,
peer assessment.
5
INNEHÅLLSFÖRTECKNING
Sammanfattning............................................................................................. 3
Abstract ......................................................................................................... 4
1. Inledning.................................................................................................... 8
1.1. Syfte och frågeställningar ................................................................ 10
2. Bedömning, didaktiskt kontrakt och matriser ......................................... 11
2.1. Formativ bedömning och feedback.................................................. 11
2.2. Didaktiskt kontrakt........................................................................... 13
2.3. Traditionell bedömning och reformbedömning ............................... 15
2.4. Feedbackens betydelse för lärandet ................................................. 16
2.5. Kamratbedömning............................................................................ 18
2.6. Matriser ............................................................................................ 19
2.7. Vad krävs för att det ska bli en förändring?..................................... 23
3. Aktionsforskning i utbildningsvetenskap ............................................... 27
3.1. En aktionsforskningmodell .............................................................. 28
4. Studiens design........................................................................................ 31
4.1. Pilotundersökningens design............................................................ 31
4.2. Undersökningens design .................................................................. 32
4.3. Etiska överväganden ........................................................................ 33
5. Pilotundersökningen – den första fasen .................................................. 35
5.1. AS1 – den aktuella situationen inför pilotundersökningen .............. 35
5.2. TS1 – den tänkta situationen............................................................. 35
5.3. PF1 – pedagogiska föreställningar.................................................... 35
5.4. PO1 – praktisk organisering av undervisningen............................... 36
5.5. FS1 – den förändrade situationen ..................................................... 37
5.6. KR1 – kritiska reflektioner om pilotundersökningen ....................... 37
6. Undersökningen – den andra fasen ......................................................... 39
6.1. AS2 – den aktuella situationen inför undersökningen...................... 39
6.2. TS2 – en modifierad tänkt situation.................................................. 39
6.3. PF2 – pedagogiska föreställningar.................................................... 39
6
6.4. PO2 – praktisk organisering av undervisningen............................... 40
6.5. FS2 – den förändrade situationen ..................................................... 43
7. Kritiska reflektioner om undersökningen (KR2)..................................... 45
7.1. Elevernas inställning till matriser..................................................... 45
7.2. Elevernas inställning till kamratbedömning .................................... 45
7.3. Elevernas inställning till inlämningsuppgifterna ............................. 48
7.4. Varför var eleverna i undersökningen mer positiva? ....................... 48
7.5. Hur tolkar jag elevernas resultat?..................................................... 49
7.6. Validitet ............................................................................................ 52
8. Slutsatser och framtidsperspektiv ........................................................... 55
Referenser.................................................................................................... 59
BILAGOR
Bilaga 1. Uppgift med matris: Kaninburen ............................................. 64
Bilaga 2. Gensvarsprotokoll.................................................................... 65
Bilaga 3. Enkät med resultat, pilotundersökningen: Kaninburen ........... 66
Bilaga 4. Enkät inför A-kursen ............................................................... 68
Bilaga 5. Uppgift med matris: Egna statistiska undersökningar............. 69
Bilaga 6. Enkät med resultat: Egna statistiska undersökningar .............. 70
Bilaga 7. Uppgift med matris: Dagisavgifter i Ankeborg....................... 72
Bilaga 8. Enkät med resultat: Dagisavgifter i Ankeborg ........................ 73
Bilaga 9. Uppgift med matris: Blomalgebra ........................................... 75
Bilaga 10. Enkät med resultat, undersökningen: Kaninburen................. 76
7
1. INLEDNING
Under mina år som verksam lärare har synen på kunskap och därmed också synen på
bedömning av elevers kunskap förändrats. När jag började arbeta var lärarens roll att
förmedla kunskaper, och bedömningen syftade till att mäta hur mycket eleven hade lärt
sig. Numera talar man om att eleven formar sin egen kunskap tillsammans med andra
och med stöd av läraren, och bedömningen ska fokusera mer på vilka kvaliteter eleven
kan visa i sina kunskaper (Kjellström, 2005).
Bedömning är en viktig del av lärarens uppdrag och därmed också ett kärnområde inom
den didaktiska forskningen. Enligt Niss (2001) är syftet med matematisk didaktisk
verksamhet, förutom att specificera och beskriva ett tillfredsställande lärande och att
tänka ut och utforma en effektiv matematikundervisning, även att hitta sätt att bedöma
resultaten av undervisningen och lärandet i matematik. Han anser att det behövs flera
olika metoder om man ska kunna bedöma på vilket sätt elever uppnår de mål som man
strävar efter i den moderna matematikundervisningen. Han skriver:
Vi ska dessutom studera egenskaper hos och effekter av de bedömningsformer som kommer
till användning i matematikundervisningen, framför allt när det gäller vilka hållbara
kunskaper de kan ge oss om vad elever och studenter vet, förstår och kan – och vi ska i detta
syfte utveckla och undersöka nya sådan former (Niss, 2001, s. 29).
Det har gjorts nationella och internationella undersökningar som visar att svenska
elevers kunskaper i och intresse för matematik sjunker i förhållande till en del andra
länder (SOU, 2004). I ”Att lyfta matematiken” (SOU, 2004) står att matematik har blivit
skolans tystaste ämne trots att kursplanerna betonar problemlösning, kommunikation
och argumentation. Man poängterar vikten av variation och menar att olika arbetssätt
och arbetsformer krävs om man ska göra matematiken mer begriplig och meningsfull.
Man skriver också att en varierande undervisning kräver en allsidig utvärdering och att
det krävs fler verktyg än skriftliga prov om man ska lyfta fram olika kvaliteter i elevers
kunnande.
En större allsidighet i bedömningens innehåll och form ökar möjligheten att också fånga upp
och stimulera värdefulla matematiska kompetenser och förmågor som ofta formuleras i
kursernas mål att sträva mot (SOU, 2004, s. 72).
Vi har gått från ett normrelaterat till ett kriterierelaterat betygssystem som ställer större
krav på lärare, att för elever och föräldrar i förväg synliggöra och kommunicera de
bedömningsgrunder som man arbetar efter. Selghed (2004) har i en doktorsavhandling
påvisat att detta inte fungerar i praktiken. Enligt honom bedömer matematiklärare inte
enligt kursmål och betygskriterier utan så som de alltid har gjort. Han menar dock att
8
det inte är lärarnas fel eftersom de inte har fått den hjälp och det stöd som krävs för så
omvälvande förändringar.
Ett nytt bedömningssystem kräver nya redskap och bedömningsmatriser kan vara ett
sådant redskap. En bedömningsmatris är ett dokument som beskriver olika
kvalitetsnivåer på de kriterier som en elevs prestationer bedöms efter. När jag våren
2005 introducerades för matriser reagerade jag så positivt som Andrade (1997)
beskriver att lärare ofta gör. Jag konstruerade matriser till ett par lite större
inlämningsuppgifter i matematik (se exempel på matriser i bilagorna 1, 5, 7 och 9) som
jag tidigare hade låtit elever arbeta med, och jag upplevde att lösningarnas kvalitet
förbättrades och att elevernas reaktioner var positiva. Jag hade fått tillgång till ett
hjälpmedel som jag förstod att jag skulle kunna ha nytta av. Matriser är inte användbara
på de rutinuppgifter som finns i läroboken. Det är dock uppenbart att
matematikundervisning inte bara ska innebära en träning i att lösa rutinuppgifter. I
Skolverkets beskrivning av ämnet matematik i gymnasieskolan står att:
Utbildningen syftar även till att eleverna skall uppleva glädjen i att utveckla sin matematiska
kreativitet och förmåga att lösa problem samt få erfara något av matematikens skönhet och
logik (Skolverket, 2000a).
Flera av de kompetenser som nämns i kursmålen (Skolverket, 2000b) som att lösa
problem, genomföra resonemang och pröva tankar är svåra att bedöma med
konventionella prov. När jag inför matriser är jag tvungen att ändra min undervisning,
vilket kanske kan innebära att mina elever på ett bättre sätt kommer att kunna uppnå
kursmålen.
Mötet med matriser blev den impuls som på allvar fick mig att börja fundera över hur
jag bedömer och om jag verkligen bedömer det som jag tycker är viktigt, vilket i sin tur
ledde till en reflektion över undervisningens innehåll. Jag har i flera år känt mig
missnöjd med resultaten av min undervisning framför allt på gymnasiets A-kurs. Det är
en repetitionskurs av grundskolans matematik, som alla elever oavsett program läser,
och jag har upplevt att eleverna inte lär sig särskilt mycket. Det är min frustration över
att eleverna varken blir kunnigare eller mer intresserade som är anledningen till att jag
försöker förändra både min undervisning och mitt sätt att bedöma och att jag har infört
matriser som ett hjälpmedel för bedömning och som ett pedagogiskt hjälpmedel. I en
pilotundersökning våren 2007 provade jag dessutom, inspirerad av lärare på en
gymnasieskola i Stockholm (Freccero, m.fl., 2005; Wohlin, 2004), att låta eleverna få
arbeta med kamratbedömning. Resultatet av den undersökningen var så pass positiv att
jag kände att jag ville fortsätta det påbörjade förändringsarbetet.
9
1.1. Syfte och frågeställningar
Syftet med min studie är att utifrån tidigare forskning planera, dokumentera och
reflektera över den förändringsprocess av min matematikundervisning och mitt sätt att
bedöma som jag är mitt uppe i. Mina frågeställningar är därför: Hur förändras det
didaktiska kontraktet i matematik när man arbetar med lite större inlämningsuppgifter,
bedömningsmatriser och kamratbedömning? Hur uppfattar eleverna arbetet med
inlämningsuppgifterna? Hur använder de matriserna? Hur upplever de arbetet med
kamratbedömning?
Kursplaner i matematik betonar kompetenser som problemlösning, kommunikation och
argumentation. Lärare uppmanas att variera sin undervisning, vilket kräver en mer
allsidig utvärdering än vad som varit brukligt. Att undersöka effekterna av att man ökar
inslagen av formativ bedömning i matematikundervisningen med hjälp av matriser och
kamratbedömning är ett aktuellt utbildningsvetenskapligt forskningsområde som inte
finns dokumenterat sedan tidigare. Jag anser att mina erfarenheter kan vara av intresse
även för andra.
I kapitel 2 ger jag en beskrivning av tidigare forskning och teori om bedömning och
kamratbedömning, didaktiska kontrakt och matriser. Därefter beskriver jag i kapitel 3
den aktionsforskningsmodell som jag har valt att använda och i kapitel 4 mitt urval, min
metod och de etiska överväganden som jag gjort. Kapitel 5 är en detaljerad redogörelse
av pilotundersökningen och kapitel 6 är motsvarande beskrivning av själva
undersökningen. I kapitel 7 reflekterar jag över resultatet. Slutligen i kapitel 8
sammanfattar jag mina resultat och utpekar perspektiv för framtiden.
10
2. BEDÖMNING, DIDAKTISKT KONTRAKT OCH
MATRISER
Det finns ingen tidigare forskning som beskriver hur man kan arbeta med matriser och
kamratbedömning i matematik. Det finns dock gott om forskning och teorier om olika
typer av bedömning och kamratbedömning som jag redogör för i detta kapitel. Jag
presenterar termen didaktiskt kontrakt som en metafor för de aktiviteter och det
klassrumsklimat som utvecklas medan matematikundervisningen pågår i en viss
undervisningsgrupp. Jag beskriver dessutom bedömningsmatriser som ett hjälpmedel
för att synliggöra bedömningskriterier och som ett pedagogiskt hjälpmedel.
2.1. Formativ bedömning och feedback
I och med att synen på vad lärande och kunskap är har blivit mer komplex har även
forskningen om bedömning ändrats. Numera diskuterar man vilken typ av slutsatser
man är intresserad av att kunna dra (Korp, 2003). Korp anser att man grovt kan skilja
mellan summativ bedömning som ska resultera i ett omdöme och formativ bedömning
som har ett pedagogiskt syfte. Wiliam (1998) poängterar dock att termerna inte är
beskrivningar av hur bedömningen går till, eftersom samma bedömning kan användas
både summativt och formativt, utan termerna talar om hur bedömningen används.
Sadler (1989) skriver att summativa bedömningar görs i slutet av ett moment eller en
kurs och har vanligen ingen effekt på lärandet. Summativa bedömningar kan dock ha
stor betydelse för de beslut elever kommer att fatta om till exempel fortsatta studier.
Den formativa bedömningen görs under pågående utbildning och syftar till att hjälpa
eleven att förbättra sitt lärande. Enligt Selghed (2006) är bedömning en process som
ständigt pågår i lärarens arbete. Han anser att bedömningsforskningen har omorienterats
så att den formativa bedömningen betonas allt mer. Han skriver:
Lärandet som process har fått en mer framträdande roll än kunskap som en produkt av
lärandet. Bedömningsarbetet blir en integrerad del av lärares arbete från planering till
utvärdering. I detta arbete tilldelas eleven en annan roll. Från att enbart ha varit den som blir
bedömd engageras eleven som en aktiv part för att kunna bidra till att utveckla sina
lärstrategier. Kravet på kommunikation mellan lärare och elev blir avgörande. Innehållet i
den feedback som läraren ger till eleven blir viktig. Eleven måste få reda på sina styrkor och
svagheter för att kunna förbättra sina prestationer (Selghed, 2006, s. 206).
Även i läroplanen betonas elevens egna engagemang. I Lpf 94 kan man läsa att:
Skolan skall sträva mot att varje elev
•
tar ansvar för sitt lärande och sina studieresultat och
11
•
kan bedöma sina studieresultat och utvecklingsbehov i förhållande till kraven i
kursplanerna (Lpf 94, s. 15).
Black och Wiliam (1998a) påstår att begreppen formativ bedömning och feedback ofta
överlappar varandra. Enligt dem användes termen feedback ursprungligen av tekniker
för att beskriva återkoppling i samband med reglering av olika processer. I undervisningssammanhang innebär feedback att man på något sätt ger elever information om
på vilken nivå deras prestationer befinner sig jämfört med en referensnivå. Om
feedbacken ska vara formativ måste eleverna också använda den för att minska
skillnaden mellan den aktuella och den önskvärda nivån. Wiliam skriver:
…feedback is not the same as formative assessment. Feedback is a necessary first step, but
feedback is formative only if the information fed back to the learner is used by the learner in
improving performance. If the information fed back to the learner is intended to be helpful,
but cannot be used by the learner in improving her own performance it is not formative. It is
rather like telling an unsuccessful comedian to “be funnier” (Wiliam, 1999, s. 10).
I forskningslitteratur finns olika definitioner av formativ bedömning och feedback. I
detta arbete använder jag begreppet formativ bedömning för den utvärdering som sker
under pågående kurser och som syftar till att hjälpa eleven att förbättra sitt lärande och
att ge läraren indikationer på om undervisningen bör förändras, och begreppet feedback
för den återkoppling som i detta sammanhang ges från lärare till elev, från elev till
lärare eller från elev till elev.
Black och Wiliam (1998a) har gjort en stor metaanalys av 40 studier där man har
försökt utveckla den formativa bedömningen i olika årskurser och i olika ämnen bland
annat matematik. De kunde konstatera att det är stora vinster med att göra det. De går så
långt att de skriver:
There is a body of firm evidence that formative assessment is an essential component of
classroom work and that its development can raise standards of achievement. We know of no
other way of raising standards for which such a strong prima facie case can be made (Black
och Wiliam 1998b, s. 149).
och
…changing the kinds of feedback we use in mathematics classrooms could have more effect
than all the government initiatives put together (Wiliam, 1999, s. 11).
Av deras undersökning framgår att formativ bedömning kan göra att elevernas
genomsnittliga studieresultat förbättras och att förbättringen är störst hos de svagast
presterande grupperna (Black och Wiliam, 1998a).
12
2.2. Didaktiskt kontrakt
Wedege och Skott (2006) använder begreppet ”views” för lärares och elevers syn på
matematik som omfattar både uppfattningar och attityder. Enligt dem är människors
uppfattning om matematik tämligen stabil men möjlig att förändra. De skriver att
människors relation till matematik utvecklas i olika sammanhang, men att det som sker i
klassrummet har störst påverkan.
Det finns undersökningar som visar att en stor del av undervisningen i matematik i
svenska skolor är traditionell och starkt styrd av läromedel med små variationer i
arbetssätt (SOU 2004), det vill säga enligt följande beskrivning som är Alrø och
Skovsmoses (2006): Läraren går igenom ett nytt begrepp eller en algoritm på ungefär
samma sätt som görs i lärobokens exempel. Därefter arbetar eleverna självständigt eller
tillsammans med lärobokens uppgifter. Läraren går runt och hjälper till när de kör fast.
Eleverna kontrollerar svaren i facit där det finns ett korrekt svar till varje uppgift. Till
nästa lektionstillfälle får de ytterligare uppgifter av samma typ i läxa. Alrø och
Skovsmose benämner detta sätt att arbeta för ett uppgiftsparadigm. De menar att det är
ett kommunikationsmönster mellan lärare och elever som går ut på att läraren ställer
frågor som han eller hon redan vet svaret på. Det gör att eleverna ofta ger minimal
respons på frågorna.
Jag anser att uppgiftsparadigmet (Alrø och Skovsmose, 2006) kan leda till det som
Skemp (1976) kallar instrumentell förståelse av matematik. Elever som arbetar med
rutinuppgifter enligt en viss metod tycker att de förstår vad de gör, och de känner sig
nöjda eftersom de snabbt hittar rätt svar. Problemet är att de ofta lär sig ett antal regler
utan att se några inbördes sammanhang mellan dem. Det gör att de inte vet hur de ska
göra, om de plötsligt förväntas använda sina kunskaper i ett annat sammanhang. De har
lärt sig det som Skemp kallar instrumentell matematik. Han förordar att man istället
undervisar om relationell matematik som leder till att eleverna utvecklar en relationell
förståelse för matematiska begrepp och procedurer. De lär sig då se sammanhang,
strukturer och mönster som gör att det är lättare att både komma ihåg dem och att
anpassa dem till nya situationer. Även Black m.fl. (2003) tar upp de problem som kan
uppstå när elever lär sig strategier som bara passar i ett sammanhang, men inte inser att
de inte fungerar i andra. Om eleverna har uppnått instrumentell eller relationell
förståelse för matematik beror enligt både dem och Skemp på lärarens syn på
matematik. Skemp skriver att det kan bli konflikter om elever som är vana vid och vill
lära sig instrumentell matematik möter en lärare som undervisar om relationell
matematik eftersom han anser att skillnaden mellan dem är så stor att det skulle kunna
handla om olika ämnen.
13
Sfard (1991) argumenterar också för olika typer av förståelse. Hon använder begreppen
operationella föreställningar när det gäller processer, algoritmer och handlingar, och
strukturella föreställningar när man behandlar matematiska begrepp som om de vore
abstrakta objekt. Till skillnad från Skemp (1976) menar Sfard att begreppen är två sidor
av samma sak och att djupare matematisk förståelse innebär förmåga att se ett begrepp
både som en process och som ett objekt. Hon anser att den operationella förställningen
nästan alltid kommer före den strukturella när en begreppsbildning sker. Sfard beskriver
hur begreppsutvecklingen hos en individ går i cykler från en operationell till en
strukturell förståelse som sedan leder till en ny operationell förståelse. Jag tolkar det
som att arbete med rutinuppgifter, det som Skemp kallar instrumentell matematik, kan
vara av värde för att utveckla en mer relationell förståelse, men att elever också måste få
arbeta med uppgifter som kräver andra kompetenser.
Winsløw (2006) beskriver klassrumssituationen som ett didaktiskt spel som följer vissa
regler och som helst ska leda till att eleverna lär sig. Det betyder i så fall vinst för både
lärare och elever. En förutsättning för detta är att eleverna faktiskt deltar i spelet och
följer reglerna. Regler som Winsløw anser kan liknas vid ett mer eller mindre uttalat
didaktiskt kontrakt mellan lärare och elever, som styr de ömsesidiga förpliktelser som
man förväntar sig ska uppfyllas. I detta ingår att eleverna accepterar och förstår den
didaktiska miljö som läraren försöker skapa, och att de tar del av och engagerar sig i de
presenterade problemen. Lärarens ansvar är att skapa och om det krävs modifiera
lärandesituationer, som gör det möjligt för eleverna att lära sig det som de ska. Wedege
och Skott (2006) använder didaktiskt kontrakt som en metafor för att beskriva de
förväntningar som elever och lärare har på varandra och som leder fram till en viss
klassrumspraktik. De skriver:
…we use the term didactical contract as a methaphor for the set of implicit and explicit rules
of social and mathematical interaction in a particular classroom. The didactical contract,
then, in our terminology constitutes the rules of the game in that classroom, rules that on the
one hand frame the practices that emerge and on the other are regenerated and transformed
by those very same practices (Wedege och Skott, 2006, s. 41).
Jaworski (2000) skriver att det är lärare och elever tillsammans som skapar klassrumsklimatet, men att det är lärarens ansvar att tydliggöra normerna. Hon beskriver det
didaktiska kontraktet som ett erkännande av gruppens normer. Även hon använder
termen som ett uttryck för förväntningarna mellan lärare och elever som kan vara
uttalade eller underförstådda. Vissa saker kan vara klart uttalade, men det är inte alltid
så tydligt hur det har blivit så. Ibland sker utvecklingen av det didaktiska kontraktet
14
utan att vare sig lärare eller elever är medvetna om processen. Oavsett om normerna
utvecklas öppet eller implicit så betonar Jaworski att det didaktiska kontraktet är:
an evolving co-construction by all participants in a classroom (Jaworski, 2000, s. 47).
Jag använder termen didaktiskt kontrakt för de mer eller mindre uttalade normer som
ständigt utvecklas och förändras i samspel mellan mig och mina elever i en viss
undervisningsgrupp i matematik och som hänger ihop med en viss syn på matematik.
2.3. Traditionell bedömning och reformbedömning
Webb (2004) betonar att det är lärarens uppfattning om vad matematik är som påverkar
synen på vad det är han eller hon anser vara viktigt att kunna, vilket i sin tur påverkar
vilka uppgifter eleverna får arbeta med. Läraren bestämmer också vilka uppgifter som
ska bedömas och hur elevernas resultat ska tolkas och användas. Beslut som Webb
anser har stor betydelse för elevers syn på matematik. Bedömningens utformning ligger
till grund för elevers uppfattning om skolmatematik och därmed också om ämnet
matematik. Taflin (2007) skriver att om man enbart låter elever arbeta med uppgifter
som det bara finns ett sätt att lösa uteblir den matematiska diskussionen kring olika
elevers sätt att tänka. Hon anser att lektionernas innehåll då mest blir en information
och förtydligande av lärarens egna idéer. Efter sådana lektioner har lärarens kunskaper
om elevernas matematiska idéer och resonemang inte ökat.
Even (2004) skiljer mellan traditionell bedömning (traditional assessment) och
reformbedömning (reform assessment). Han menar att de skiljer sig åt genom graden av
integration mellan bedömning och undervisning, genom de metoder och verktyg man
använder vid bedömningen och genom syftet med bedömningen. Vid traditionell
bedömning bedöms elever i matematik genom en speciell aktivitet som är konstruerad
för just detta ändamål. Undervisning och bedömning är två helt skilda aktiviteter.
Bedömningen grundas till största delen på skriftliga prov som består av korta
standarduppgifter med slutna frågor till vilka det bara finns ett korrekt svar. Enligt
Jönsson och Svingby (2007b) är dessutom själva provsituationen standardiserad. Proven
utförs av alla elever samtidigt i slutet av ett delmoment eller en kurs. De har begränsad
tillgång till hjälpmedel och de förutsätts arbeta ensamma. Syftet är att kontrollera deras
kunskaper i förhållande till uppsatta mål eller att rangordna dem sinsemellan. Jönsson
och Svingby anser att proven också kan användas i disciplinsyfte och för att få eleverna
att anstränga sig mer. Resultaten anges oftast i någon form av meritvärde så som antal
poäng eller betyg. Meritvärdet ger ingen upplysning om varken kunskaper eller
kunskapsbrister vilket gör det nästan omöjligt för elever att lära sig något av provresultatet. Jönsson och Svingby refererar till olika forskarrapporter som visar att den här
15
typen av prov, förutom att de inte bidrar till lärandet, inte mäter flera av de kvaliteter
som betonas i kursplaner och att de lätt kan ge upphov till stress och bidra till minskat
självförtroende och motivation för elever som inte lyckas så bra.
Den andra typen av bedömning, som Even (2004) kallar reformbedömning, är en del av
den ordinarie verksamheten. Läraren väljer arbetssätt och arbetsuppgifter som gör att
han eller hon får mycket information om elevernas kunskaper och färdigheter under
matematiklektionerna. Eleverna får arbeta med uppgifter både för att de ska lära sig och
för att läraren ska kunna se vad de kan. Det gör att läraren får en mera allsidig bild av
elevernas kunskaper eftersom flera olika bedömningsmetoder naturligt kan användas.
Bedömningen används formativt för att öka elevernas lärande och för att ge läraren
information som kan användas för att planera hur man ska arbeta vidare. Enligt Jönsson
och Svingby (2007b) är bedömningens huvudsyfte nu inte att kontrollera i vilken grad
eleverna har nått kursmålen, utan att ge upplysning om på vilka sätt eleven klarar olika
delar av målen. Den ska ge både eleven och läraren information om vad som är elevens
styrkor och svagheter och vad som behöver förbättras. Eleven ska få relevant feedback
utifrån sina prestationer. Det här sättet att arbeta gör att man kan skapa mer autentiska
situationer där elevens kunskaper ska tillämpas, och där eleven kan få använda sig av
olika hjälpmedel och till och med samarbeta med andra.
Boesen (2006) har i en doktorsavhandling jämfört de nationella proven i matematik med
lärarnas egna prov på gymnasiet. Han konstaterar att de flesta lärare väljer uppgifter
som kan lösas med hjälp av standardresonemang, medan de nationella proven i högre
grad kräver ett kreativt matematiskt resonerande. Lärarnas egna prov fokuserar på
algoritmiska färdigheter och ger eleverna klara signaler om att det är sådant som är
viktigt att lära sig. Det gör att eleverna i första hand söker efter standardlösningar och
att det är få elever som använder ett mer kreativt resonemang än vad uppgifterna kräver.
Konsekvensen blir att många elever är dåligt förberedda för de nationella proven. Enligt
Boesen finns det dock en klar skillnad mellan proven i gymnasiets olika kurser. I lärares
A-kursprov kan man se fler uppgifter som kräver ett kreativt resonemang än i deras
prov i de övriga kurserna. Han menar att en trolig orsak till detta är att A-kursen är en
repetitionskurs, medan de övriga innehåller många nya begrepp och att kursplanerna är
så innehållsrika att det är svårt att hinna med att arbeta med annat än rutinuppgifter.
2.4. Feedbackens betydelse för lärandet
Om elever bara får reda på att de har presterat bra eller dåligt så påverkar det deras
självbild men stimulerar inte till ytterligare engagemang (Black m.fl., 2003). Pettersson
(2005) skriver att om bedömning används så att den stödjer och stimulerar lärandet
16
genom att analysera och värdera elevens kunnande så kommer eleven att utvecklas i sitt
lärande och känna tilltro till sin förmåga. Black m.fl. (2003) anser att feedback som
fokuserar på vad som behöver göras kan uppmuntra alla elever att tro att de kan prestera
bättre. En feedback som fokuserar på vad som är bra och vad som kan göras bättre, gör
att eleverna så småningom kommer att bli medvetna om när de lär sig och när de inte
gör det, vilket de menar är den stora vinsten med formativ bedömning.
Det finns undersökningar som visar att elever lär sig mer om de får adekvat skriftlig
feedback utan poäng eller betyg på sina arbeten (Black och Wiliam, 1998a). Om man
kombinerar kommentarer med betyg blir effekten lika liten som om man bara ger betyg.
Även Sadler (1989) anser att bedömningar där man jämför elevers resultat inte leder till
något lärande. Sadler skriver:
…all methods of grading which emphasize rankings or comparisons among students are
irrelevant for formative purposes (Sadler, 1989, s. 127).
När man frågar eleverna om hur de vill ha de skriftliga kommentarerna säger de, enligt
Black m. fl. (2003), förutom att läraren inte ska fördärva deras arbeten genom att
använda röd penna och att läraren ska skriva läsligt och använda ord som eleverna
förstår, att det är viktigt att det står vad som är bra och vad man ska göra annorlunda
nästa gång. Elever som har fått vänja sig vid att få skriftlig feedback inser alltså att de
har nytta av kommentarerna.
I traditionell bedömning är relationen mellan lärare och elev hierarkisk (Gipps, 2001).
Läraren gör uppgifter och bestämmer hur de ska lösas och bedömas. I nyare typer av
bedömning vill lärare att elever ska vara involverade i bedömningsprocessen så att de
kan uppmuntras att kontrollera och reflektera över sina egna prestationer. Black och
Wiliam (1998a) konstaterar att detta har goda effekter på lärandet eftersom det påverkar
både deras motivation och självvärdering. Läraren delar alltså med sig av sin makt till
eleverna (Gipps, 2001). Det innebär dock inte, anser Gipps, att läraren ger upp ansvaret
för elevernas lärande utan att man involverar dem som samarbetspartners. Läraren har
inte längre makt över utan makt med eleverna. Elevers roll i lärandet betonas och man
uppmuntrar elever att bedöma sitt eget lärande.
Teachers, in this approach, were involving the learner in the process of assessment as well as
demonstrating power with, rather than power over them (Gipps, 2001, s. 51).
En förutsättning för att elever ska kunna bedöma sig själva är att de har en klar
uppfattning om undervisningsmålen, det vill säga att det är tydligt vad som ska bedömas
och vilka kriterier som ska användas (Black och Wiliam, 1998a). Morgan (2000)
konstaterar att även om lärare i matematik har klart för sig vad som är bra och vad som
17
är mindre bra när de bedömer elevers rapporter från matematiska undersökningar, så har
de ofta svårt att verbalisera bedömningskriterierna. Hon menar att det ibland är en större
utmaning för elever att försöka lära sig hur de ska redovisa så att det framgår att de kan
och förstår, än att lära sig själva matematiken.
2.5. Kamratbedömning
Som ett led i att träna sig i att bedöma sin egen insats kan man arbeta med kamratbedömning (Black m.fl., 2003). Toppings (2003) definition av kamratbedömning lyder:
...an arrangement for learners and/or workers to consider and specify the level, value or
quality of a product or performance of other equal-status learners and/or workers (Topping,
2003, s. 65).
I skolan är det elever som går i samma matematikgrupp som studerar varandras
redovisningar och försöker ge varandra konstruktiv kritik. Kamratbedömning har visat
sig vara värdefull av flera skäl (Black m.fl., 2003). Om en elev vet att en kamrat ska
bedöma arbetet är det i sig något som ökar elevens motivation att anstränga sig. När
elever kommunicerar med varandra använder de ett för dem naturligt språk, vilket kan
öka förståelsen. Det är dessutom så att elever ibland har lättare att ta till sig kritik från
en kamrat än från en lärare. Topping (2003) skriver att både den som ska bedöma och
den som blir bedömd kan känna sig lite ängsliga i inledningsskedet. Kamratbedömning
involverar dock eleverna i lärandet och kan skapa en känsla av personligt ansvar och
motivation. Att börja med positiv feedback minskar oron för bedömningen och kan även
öka acceptansen för den negativa feedbacken. Black m.fl. (2003) poängterar dock att
kamratbedömning inte uppstår spontant utan utvecklas bara om läraren organiserar
arbetet och på så sätt hjälper eleverna att utveckla denna färdighet. De menar att ett sätt
att betona vikten av kamratbedömning är att använda lektionstid för detta och att låta
dem få lov att förbättra sina arbeten med hjälp av kamraternas feedback. De skriver:
Another key feature of all these classrooms is that all the teachers made lesson time available
for the students to work on improvement (rather than consigning this to a homework
activity), which not only showed how the teacher valued such work, but also allowed
students to discuss any continuing uncertainties with their peers or the teacher (Black m.fl.,
2003, s. 66)
Tanken med kamratbedömning är att eleverna ska bli medvetna om vad som utmärker
ett bra arbete så att de sedan ska kunna känna igen dessa kvaliteter i sina egna alster.
Black (1998) skriver att om elever ska bli effektiva i sitt lärande måste de ha goda
kunskaper om sig själva som tänkare och lärande. Effektivt lärande kräver att eleverna
18
tar allt mer ansvar och blir involverade i sin egen bedömning. Topping (2003) definierar
självvärdering som:
an arrangement for learners and/or workers to consider and specify the level, value or quality
of their own products or performances (Topping, 2003, s. 58).
Enligt Black m.fl. (2002) ger kamrat- och självvärdering lärandeeffekter som inte kan
uppnås på annat sätt.
Jag använder begreppet kamratbedömning i matematik när elever i en undervisningsgrupp får ta del av varandras redovisningar. Syftet är att de dels ska lära sig av att se hur
en eller flera andra kamrater har löst uppgiften, dels ska träna sig i att ge konstruktiv
feedback. Meningen är att denna process ska leda till att eleverna blir medvetna om
vilka kvaliteter som kännetecknar en bra redovisning och därmed ge dem
förutsättningar för att kunna göra en effektiv självvärdering.
2.6. Matriser
Ett av de hjälpmedel som nämns i samband med formativ bedömning och framför allt
när det gäller att tydliggöra undervisningsmål och betygskriterier för både lärare och
elever är bedömningsmatriser (eng. rubrics), som jag i fortsättningen bara benämner
matriser. Enligt Wiggins (1998) kan ordet ”rubrics” härledas från latinets ”ruber” som
betyder röd. Under medeltiden var rubrics instruktioner eller kommentarer skrivna med
röd färg till lagar eller gudstjänstordningar. I undervisningssammanhang är matriser
dokument som innehåller ett antal riktlinjer för hur man bedömer elevprestationer av
olika slag. Andrade (2000) definierar en matris som ett
....document that describes varying levels of quality, from excellent to poor, for a specific
assignment, (Andrade, 2000, s. 13).
Arter och McTighe (2001) skriver:
The best rubrics are worded in a way that covers the essence of what we, as teachers, look
for when we´re judging quality, and they reflect the best thinking in the field as to what
constitutes good performance, (Arter och McTighe, 2001, s. 8).
Formatet kan variera men enligt Andrade (2000) består alla matriser av en lista av
kriterier som en viss uppgift ska bedömas efter och en gradering av olika kvalitetsnivåer
för dessa kriterier. Det är detta mönster som jag har utgått från när jag har konstruerat
mina matriser. Jag använder alltså termen matris för ett dokument som elever får
tillsammans med en arbetsuppgift som beskriver olika kvalitetsnivåer på de kriterier
som uppgiften bedöms efter.
19
Det finns olika sorters matriser (Arter och McTigh, 2001, Wiggins, 1998). En holistisk
matris innehåller bara en sammanfattande beskrivning av prestationen i sin helhet och
passar därför bäst vid en summativ bedömning. Den kombinerar alla väsentliga
ingredienser till ett övergripande kvalitetsomdöme. En analytisk matris tar upp varje
kriterium för sig och rekommenderas därför när bedömningen är formativ och det
behövs specificerad vägledning om hur en förbättring av uppgiften, men även av
lärandet och undervisningen kan ske. Den ger alltså en analys av hur väl man har
lyckats med varje dimension av uppgiften. Mullen (2003) tilläger att holistiska matriser
ofta är produktorienterade medan de analytiska är mer processorienterade. Därefter kan
man skilja mellan generella och uppgiftsspecifika matriser (Arter och McTigh, 2001
och Wiggins, 1998). Generella matriser kan användas för bedömning av olika uppgifter
av liknande slag. Man kan till exempel använda samma matris för att bedöma alla öppna
matematiska problem. Uppgiftsspecifika matriser däremot kan bara användas för just de
uppgifter som de är konstruerade för. Det gör att de är obegripliga när de är lösryckta ur
sitt sammanhang. Wiggins (1998) anser att det kan finnas en risk att man glömmer det
övergripande målet och koncentrerar sig på detaljer om man väljer att arbeta med
uppgiftsspecifika matriser. Freccero, m.fl. (2005) skriver att det har visat sig att elever i
ett inledningsskede ofta har problem med att använda en generell matris. De tycker att
beskrivningarna är för allmänna och de förstår inte innebörden av de olika kvalitetsnivåerna. De anser att elever behöver arbeta med uppgiftsspecifika matriser först och
sedan successivt övergå till att använda generella matriser.
Det tar lite tid att tillverka en matris. Andrade (2000) rekommenderar att man börjar
med att studera exempel på bra och mindre bra elevarbeten för att göra klart för sig
vilka kriterier som kännetecknar en god prestation. Lindström (2005) poängterar att en
matris bör innehålla både produkt- och processinriktade kriterier som ska motsvara det
som är väsentligt i den aktuella uppgiften och alltså inte förväxlas med betygskriterier.
Därefter, skriver Andrade (2000), gör man beskrivningar av olika kvalitetsnivåer för
varje kriterium. Enligt Wiggins (1998) kan en sådan beskrivning även innehålla
konkreta exempel som kan indikera på vilket sätt kriterierna är uppfyllda. Han anser att
det är viktigt att man undviker ett komparativt språk för att skilja de olika
kvalitetsnivåerna. Man ska undvika ord och uttryck som sämre eller mindre tydlig och
istället verkligen sträva efter att beskriva varje nivå för sig. Enligt Andrade (2000) är
det en god idé att göra detta arbete i samråd med sina elever. Det är nyttigt för dem att
diskutera vad god kvalitet innebär, de kommer att lära sig mycket under tiden och de
kan hjälpa till att formulera kvalitetsnivåerna på ett för dem begripligt sätt. Det är sedan
nödvändigt, anser Wiggins (1998), att komplettera matriserna med bedömda elevarbeten
20
för att försäkra sig om att olika personer tolkar texten i matrisen på likartat sätt. Sadler
(1989) poängterar också att det behövs både beskrivningar av kriterier och typexempel.
Han skriver:
Two approaches to specifying standards are through descriptive statements and exemplars.
While neither of these is sufficient in itself, a combination of verbal descriptions and
associated exemplars provides a practical and efficient means of externalizing a reference
level (Sadler, 1989, s. 127).
Sadler anser att man ska ge elever typexempel som visar vad som skiljer hög kvalitet
från låg. Man ska dessutom välja elevarbeten som visar att god kvalitet kan komma till
uttryck på olika sätt för att uppmuntra elever att göra sina egna tolkningar av
uppgifterna.
Wohlin (2004) skriver att en bra matris visar på de misstag som elever ofta gör och
vägleder dem i deras förbättringsarbete. Den synliggör och förtydligar lärarens
förväntningar och krav och ökar förståelsen för vad det är som betygsätts och vad det är
som kännetecknar ett bra arbete. Andrade (2000) menar att lärare ofta förutsätter att
elever vet hur ett bra arbete ser ut, vilket långt ifrån alltid är fallet. Wiggins (1998)
betonar dock att matrisen inte ska fungera som ett recept som det är meningen att man
ska följa. Den ska hjälpa till att synliggöra kvaliteter men inte dämpa kreativitet,
fantasifullhet och nytänkande. Arter och McTigh (2001) anser att det är viktigt att
eleverna har tillgång till matrisen redan när de får uppgiften. Då behöver de inte gissa
vad som är viktigt eller hur deras prestationer kommer att bedömas. Morrell-Ackley
(1999) skriver:
…rubrics or scoring guides remove much of the guesswork in completing a learning activity
(from the student´s viewpoint) and remove much of the guesswork in grading a student´s
product (from the teacher´s viewpoint) (Morrell-Ackley, 1999, s. 2).
Matrisen hjälper till att förtydliga uppgiften. Andrade ( 2000) anser att en bra matris
fungerar som ett pedagogiskt hjälpmedel som suddar ut skillnaden mellan undervisning
och bedömning. Den ger informativ feedback om elevernas styrkor och svagheter och
stödjer på så sätt lärandet.
Tydliga kriterier, menar Wohlin (2004), gör att elever kan bedöma både egna och
andras arbeten. Det gör att bedömningen inte upplevs som något hemligt, mystiskt och
subjektivt som bara lärare kan utföra. Arter och McTigh (2001) skriver:
When we share performance criteria and scoring guides with students, we offer them the
opportunity to self-assess and improve their work along the way. Through this approach to
21
the use of performance criteria and scoring guides, we can enhance the quality of students
learning and performance, not simply evaluate it (Arter och McTigh, 2001, s. 12).
Andrade och Du (2005) har gjort en undersökning som bekräftar Wohlins åsikter. Deras
elever uttrycker tydligt att de uppskattar att matriserna talar om för dem vad som
förväntas istället för den ”gissningslek” som de annars upplever att det är, att försöka
förstå vad läraren vill att de ska göra. Eleverna ansåg också att matriserna synliggjorde
styrkor och svagheter i deras arbeten, och just att man i förväg visste vad som skulle
bedömas gjorde att betygen upplevdes som rättvisa.
Morrell och Ackley (1999) beskriver hur man har arbetat med matriser i en lärarutbildning. Lärarstudenterna har fått matriser till sina uppgifter, de har fått delta i
arbetet med att ta fram matriser och de har även uppmanats att arbeta med matriser ute i
sin praktik. De menar att såväl studenter som lärare är nöjda och anser att matriser är
användbara bedömningsverktyg som gör studenterna mer delaktiga i verksamheten och
gör betygsättningsprocessen rättvis och öppen. Lärarna anser att deras undervisning har
förbättrats i och med att de har varit tvungna att tänka igenom varför de ger en viss
uppgift och vad som ska bedömas.
The use of scoring guides has been a positive experience for us. It has been a win-win
situation for both instructors and students (Morrell och Ackley, 1999, s. 7-8).
Jönsson och Svingby (2007a) har gjort en översikt över rapporter om användande av
matriser i olika undervisningssammanhang. Även de konstaterar att huvudorsaken till
att matriser tycks fungera som hjälpmedel för att förbättra elevernas lärande är, att de
tydliggör lärarnas förväntningar och bedömningskriterier. De anser att även om det
finns få undersökningar gjorda, så kan man dra slutsatsen att matriser kan vara
användbara för elever vid själv- och kamratbedömning. Också Kjellström (2005) anser
att matriser kan vara ett bra hjälpmedel för att öva elever i att värdera och reflektera
över sitt eget lärande, inte minst i ett ämne som matematik. Hon skriver att bedömning
av matematiska kunskaper av tradition har gjorts nästan uteslutande med stöd av
skriftliga prov där svaren har varit antingen rätt eller fel. I den nuvarande kursplanen
betonas förståelse, analys av hela lösningsproceduren och kritisk granskning av resultat
och förmåga att dra slutsatser. Om vi vill att eleverna ska utveckla sådana kunskaper
och kompetenser måste vi också använda bedömningsmetoder som prövar detta. Såväl
Kjellström som Jönsson och Svingby (2007a) poängterar dock att elever måste tränas i
dessa processer och att det tar tid och kräver stöd. Jönsson och Svingby konstaterar
också att även om det inte går att visa att elever lär sig bättre genom att använda
matriser så upplever de själva att det är så.
22
2.7. Vad krävs för att det ska bli en förändring?
Att förändra en matematikundervisning innebär att det didaktiska kontraktet måste
omförhandlas (Wedege och Skott, 2006). Det räcker inte att läraren plötsligt bestämmer
sig för att arbeta på ett annat sätt än tidigare.
Change is a matter of teachers and students engaging differently in the activities that
mutually constrain and support each other so as to constantly regenerate and further develop
the practices of the classroom (Wedege och Skott, 2006, s. 45).
Det kan vara besvärligt att få eleverna med sig i en omförhandling av det didaktiska
kontraktet. Därför är det oftast lättare att påbörja ett förändringsprojekt i början av ett
läsår, eftersom det då blir en naturlig nystart (Black m.fl., 2003). Black, m.fl. (2003)
skriver att många elever är misstänksamma till förändringar om de tror att de kan
innebära mer arbete eller helt enkelt av osäkerhet eller rädsla. Black m.fl. (2002) är
dock tydliga i att elever måste förändras från passiva mottagare av den kunskap som
lärare erbjuder till att bli aktiva lärande som kan ta ansvar för och driva sitt eget lärande.
Läraren måste dela med sig av sitt ansvar för klassens lärande till eleverna. Det innebär
att allas förväntningar, det vill säga vad lärare och elever anser det innebära att vara
lärare och elev, måste förändras.
Trots att flera undersökningar visar att det är stora vinster med att införa formativ
bedömning i undervisningen är det svårt att få lärare att övergå till detta sätt att arbeta.
Webb (2004) har i en longitudinell studie visat att även om lärare har förändrat sin
undervisning i matematik så tar det lång tid innan de förändrar sitt sätt att bedöma. Han
skriver:
…change in teachers´ assessment practices has more to do with change in teachers´
conceptions about how mathematics should be assessed rather than change in teachers´
conceptions of teaching and learning (Webb, 2004, s. 6).
Webb (2004) skriver att trots att lärarnas lektionsplanering visade att de hade en
konstruktivistisk syn på elevers lärande så visade det sig inte i valet av provuppgifter i
matematik. Proven innehåller inte uppgifter som skulle kunna uppmuntra till
resonemang, kommunikation och icke-rutinlösningar. Boesen (2006) har också visat att
lärarnas egna prov till stor del fokuserar på fakta och algoritmer. Han konstaterar att
även om de nationella proven kan betraktas som goda modeller, eftersom de i högre
grad kräver ett kreativt resonerande, så tycks de inte ha haft någon större effekt på
utvecklingen av lärarnas egna prov. Han anser att lärare behöver ytterligare stöd i att
konstruera prov om det ska bli en förändring. Han skriver:
23
...they need support if they are to carry out the very difficult task to developing tests that at
the same time can assess students´ different mathematical competences, and serve as a
ground for the development of more sustainable mathematical abilities” (Boesen, 2006,
s.52).
Webb (2004) anser att lärare, som fortsätter att använda konventionella provuppgifter
samtidigt som de försöker implementera ett mera undersökande arbetssätt, har svårt att
analysera skillnaden mellan sina personliga bedömningar av elevernas kunskaper under
lektionstid och de resultat de uppvisar under traditionella prov. Han menar att om man
kan få lärare att inse möjligheterna i att kunna skapa sig en uppfattning om elevernas
kunskaper och färdigheter under lektionstid, så skulle de inse fördelarna med att
utveckla en formativ bedömning. Han skriver:
If teachers come to recognize what their students know based on the students´ responses to
tasks and questions posed during instructional activities – at least as much, or even more,
than the evidence gathered from student responses to quizzes or tests – teachers´
instructional practices must be considered as opportunities for assessment (Webb, 2004, s. 78).
Even (2004) konstaterar att trots att lärare i större utsträckning än tidigare uppmanar
elever att redovisa sina tankar och att lärare därmed får en bättre bild av både elevernas
kunskaper och felföreställningar i matematik, så använder sig inte lärarna av denna
vetskap formativt. Enligt Bodin (1993) fokuserar man i bedömning i matematik för
mycket på de rätta svaren. Han anser att även felaktiga och uteblivna svar är värda att
analysera och att man borde studera vilka procedurer eleverna använder när de försöker
lösa uppgifterna.
Webb (2004) anser att om man ska få till stånd en varaktig förändring av det sätt som
lärare bedömer elever så måste lärare samarbeta med varandra. Att lärare är motsträviga
till att ta till sig andra bedömningsmetoder beror ofta på att det är svårt att göra
annorlunda än kollegorna. Webb skriver:
The sharing of concerns and solutions tends to “spread out the risk” that teachers undertake
when attempting to engage in unfamiliar classroom practices (Webb, 2004, s.16)
Enligt Black m.fl. (2002) innebär det till en början mer arbete när lärare försöker
utveckla den formativa bedömningen genom att skriva allt mer omfattande
kommentarer. Det är därför viktigt att lärare delar med sig av de sätt att kommentera
som visar sig vara verksamma i elevernas förbättringsprocess.
Black m. fl. (2003) anser att det är nödvändigt att förse lärare med konkreta exempel att
arbeta med i klassrummet om de ska komma igång med ett förändringsarbetet. Stedøy
24
(2006) har i ett forskningsprojekt kunnat visa att lärare som under många år undervisat
på ett traditionellt sätt kan lära sig att undervisa på vad hon kallar ett högkvalitativt sätt.
I förutsättningarna ingick att forskaren ägnade ett år åt att ta fram ett speciellt anpassat
läromedel.
Syftet med formativ bedömning är att vara den feedback som dels ska ge signaler om
elevens nivå på kunskaper och färdigheter och föra dem vidare, dels ska kunna
användas för att förändra undervisningen. Formativ bedömning kan därför inte bara
läggas in som ett nytt och ytterligare moment i en redan existerande verksamhet. Den
måste redan från början ingå som en naturlig del i undervisningsplaneringen som
därmed blir mer flexibel och komplex (Black, 1998). Eftersom den formativa
bedömningen är en väsentlig del av lärandet i klassrummet behövs det även djupgående
förändringar av både lärarens uppfattning om sin funktion i förhållande till eleverna och
av arbetssättet i klassrummet (Black m.fl., 2003). Om man väljer att se bedömning som
en aktivitet vars mål är att eleverna ska producera arbeten av hög kvalitet så kommer
detta synsätt att på ett naturligt sätt sudda ut gränserna mellan undervisning och
bedömning (Wiggins, 1998).
Wiggins (1998) anser att målet i matematiklärarens kursplanering måste vara att först
hjälpa eleverna att se att kunskap är en viktig förutsättning för deras prestationer och att
till synes isolerade fakta och färdigheter kan samverka. Webb (2004) skriver att läraren
måste uppmuntra till samarbete och delaktighet bland eleverna. Läraren måste skapa ett
klassrumsklimat som gör att eleverna känner sig så trygga att de är villiga att delge sina
kamrater sina tankeprocesser kring matematik. Om man ska kunna skapa en sådan miljö
måste läraren vara lyhörd för elevernas känslor och uppmuntra och bevara trygga och
produktiva relationer mellan eleverna.
Gipps (2001) menar att lärare måste diskutera kunskapsmål och kriterier med eleverna.
Black (1998) skriver att om elever ska kunna bedöma sig själv måste de ha förstått både
syftet med uppgiften och de kriterier som bedömningen görs efter. Målen måste skrivas
så att eleverna förstår dem. Man måste också se till att de kortsiktiga målen är
realistiska för eleven. Om det är för stort avstånd mellan målet och den nivå eleven
befinner sig på måste man sätta upp delmål. Eleven måste dessutom förstå skillnaden
mellan sin egen nivå och målet för att kunna nå dit. Sadler (1989) urskiljer tre
nödvändiga villkor som han anser bör uppfyllas samtidigt om processen ska bli
lyckosam. Förutom att ha förstått målen, måste eleven också kunna jämföra sin
prestation med målen och aktivt agera för att förbättra den. Sadler skriver:
25
...the learner has to (a) possess a concept of the standard (or goal, or reference level) being
aimed for, (b) compare the actual (or current) level of performance with the standard, and (c)
engage in appropriate action which leads to some closure of the gap (Sadler, 1989, s. 121).
Det tar tid för elever att förändras från att passivt ta emot till att aktivt ta ansvar för sitt
lärande (Black m.fl. 2003). Det går inte av sig själv utan eleverna måste tränas i att ta
kontroll över sitt lärande. Ett led i detta är att införa kamratbedömning som ett sätt att
vänja eleven vid att bedöma först andras och sedan sina egna insatser. Om man ska
kunna ge varandra effektiv feedback, måste man, precis som vid självvärdering, ha
förstått både uppgiften och bedömningskriterierna (Black m.fl. 2003). En utveckling av
en undervisning som innehåller ett större inslag av formativ bedömning och där matriser
används som ett hjälpmedel i den processen leder förhoppningsvis till att elevernas
självvärderingsförmåga utvecklas. Det är något som Black och Wiliam anser är
nödvändigt inför framtiden. De skriver:
…the future professional will need all of the skills necessary for life-long learning, and selfevaluation must be one of these (Black och Wiliam, 1998a, s. 21).
Black m.fl. (2002) poängterar vikten av att avsätta lektionstid till att eleverna ska få
omarbeta sina redovisningar. Det innebär att man verkligen betonar att feedbacken ska
vara ett hjälpmedel för lärandet. Uppföljning av uppgifter ska vara en planerad del av
lärandeprocessen och därmed ingå som en självklar del av klassrumsverksamheten.
Att förändra ett didaktiskt kontrakt i matematik är en genomgripande process som
omfattar både undervisning och bedömning. Eleverna måste uppmuntras att reflektera
över sina prestationer. Ett sätt att öka elevernas förmåga till självvärdering är att låta
dem arbeta med kamratbedömning. Det kräver att eleverna har förstått syftet med
uppgifterna och de kriterier som de bedöms efter.
26
3. AKTIONSFORSKNING I UTBILDNINGSVETENSKAP
Jag har valt att genomföra min studie i mina egna undervisningsgrupper eftersom det är
min undervisning och mitt sätt att bedöma som jag vill förändra. Det innebär att jag är
starkt involverad i verksamheten. I detta kapitel beskriver jag den aktionsforskningsmodell som jag har valt att använda.
Enligt Mattsson (2006) är praxisnära forskning en vetenskaplig tradition som omfattar
både vetenskaplig kunskap och praktiskt förändringsarbete. Grundtanken är att
människan påverkar sin omvärld vilket gör att även människan förändras. Praxisnära
forskning är handlingsorienterad. Man vill åstadkomma en förändring. Ny kunskap
uppstår genom att man genomför en förändring och reflekterar över processen och
resultatet. Enligt Lorentz (2004) har man i Sverige sedan 1950-talet använt begreppet
aktionsforskning för en forskning där det finns nära samband mellan den som initierar
och utför ett förändringsarbete och den som analyserar effekterna av denna
förändringsprocess. Lorentz skriver att begreppet aktionsforskning kan betyda olika
saker för olika personer beroende på i vilket sammanhang man verkar. Kosnik och Beck
(2000) visar också att det finns meningsskiljaktigheter om den exakta betydelsen av
begreppet. De använder aktionsforskning för en process som innebär att en lärare
identifierar ett problem i sin verksamhet och utarbetar en förändringsplan med stöd av
tidigare forskning. Läraren genomför sedan förändringen och med hjälp av
observationer och insamlande av data dokumenterar och reflekterar över resultatet samt
publicerar och diskuterar det. Läraren forskar alltså på sin egen verksamhet. Enligt
Nationalencyklopedin (1995) har det förts mycket diskussioner om huruvida ett så nära
engagemang i planerings- och genomförandearbetet leder till att läraren/forskaren har
svårt att objektivt beskriva och värdera förändringsprocessen och dess effekter. Många
forskare är därför kritiska mot aktionsforskning, medan andra anser att en aktionsforskare bättre än någon annan kan se vad som händer eftersom han eller hon är väl
insatt i verksamheten.
Mertens (2005) delar in den utbildningsvetenskapliga forskningen i fyra olika paradigm,
det postpositivistiska, det konstruktivistiska, det transformativa och det pragmatiska.
Enligt henne är ett paradigm ”a way of looking at the world” (Mertens, 2005, s. 7).
Aktionsforskning ligger inom det transformativa paradigmet, som utgår från att
människors bild av verkligheten formas av olika faktorer som kan vara sociala,
politiska, kulturella, etiska med mera. Forskningen ska leda till en förändring som
innebär någon form av “empowerment”, det vill säga stärkande av deltagarna. I det
transformativa pardigmet finns ofta ett interaktivt samspel mellan forskaren och
27
deltagarna. Dialogen betonas, men olika kvalitativa och kvantitativa metoder kan
användas.
I min studie planerar och genomför jag, utifrån tidigare forskning, förändringar av min
klassrumsverksamhet och reflekterar över dem (se syfte och frågeställningar i avsnitt
1.1). Jag är lärare och forskare och arbetar på det sätt som Kosnik och Beck beskriver
(Kosnik och Beck, 2000). Jag har dessutom haft stöd av en annan forskare, min
handledare, både i processen och i tolkningen av mina resultat. Det övergripande syftet
är att förändra min undervisning så att mina elever uppfattar matematiken mer
meningsfull och begriplig, vilket förhoppningsvis leder till ett ökat självförtroende i
matematik. Verksamheten innehåller inslag av ”empowerment”, dels för mina elever
men också för min egen del, eftersom jag stärks av att tidigare forskning stödjer mina
förändringstankar. Studien kan därför placeras inom det transformativa paradigmet.
3.1. En aktionsforskningmodell
Skovsmose och Borba (2000) har gjort en aktionsforskningsmodell i matematik som jag
har valt att använda för att beskriva förändringsprocessen i min studie. Jag använder
mina översättningar av deras begrepp i texten. Utgångsläget i det som de benämner
kritisk undervisningsforskning (critical educational research) är att man konstaterar att
något skulle kunna vara annorlunda. Ett sådant konstaterande bygger dels på hur något
faktiskt är, dels på hur man anser att det istället skulle kunna vara. En kritisk
undervisningsforskning innebär att man studerar det som sker när man genomför
förändringar i en aktuell verksamhet. Skovsmose och Borba beskriver denna
förändringsprocess med hjälp av ett antal begrepp som placeras in i en triangel där
triangelns hörn symboliserar tre olika situationer (Figur 1).
Figur 1. Modell som visar sambanden mellan den aktuella situationen (AS), den tänkta
situationen (TS) och den förändrade situationen (FS). (Skovsmose och Borba, 2000, s. 11,
min översättning).
AS – den aktuella situationen (the current situation - CS) är en beskrivning av hur
undervisningen ser ut innan försöket påbörjas. TS – en tänkt situation (the imagined
situation - IS) beskriver ett annorlunda mer önskvärt tillstånd än det pågående och FS –
den förändrade situationen (the arranged situation - AS) beskriver hur klassrums-
28
situationen ser ut efter att man vidtagit förändringar. Den förändrade situationen är
annorlunda än den ursprungliga, men den har i regel inte blivit riktigt som den
önskvärda, även om den tillkommit med denna som vision.
För att visa att det finns samband mellan dessa tre situationer placerar Skovsmose och
Borba in begrepp på triangelns sidor (Figur 2).
Figur 2. Modell som visar sambanden mellan pedagogiska förställningar (PF), praktisk
organisering (PO) och kritisk reflektion (KR) i förhållande till den aktuella situationen (AS),
den tänkta situationen (TS) och den förändrade situationen (FS). (Skovsmose och Borba,
2000, s. 12, min översättning).
PF – pedagogiska föreställningar (pedagogical imagination - PI) är de åtgärder som
skulle kunna leda till att en tänkt situation uppnås. PO – praktisk organisering (practical
organisation - PO) är det som faktiskt sker, de åtgärder som görs och som leder fram till
den nya förändrade situationen. Därefter krävs en kritisk reflektion - KR (critical
reasoning - CR) kring varför den förändrade situationen inte blev riktigt så som man
från början hade önskat.
Figur 3. Modell som visar att den kritiska undervisningsforskningen är en pågående process.
(Skovsmose och Borba, 2000, s.19, min översättning).
Det troliga är att man har lärt sig en del under processen, vilket innebär att man nu kan
utgå från en något annorlunda aktuell situation - AS2. Förmodligen har även den tänkta
situationen förändrats en del - TS2. Pedagogiska ideal är inte fixa utan förändras under
29
processen. Det gör att de pedagogiska föreställningarna modifieras - PF2, vilket leder
till att man faktiskt gör en annan pedagogisk organisation – PO2. Processen är i ständig
förändring, och bilden med tre faser vill visa att pedagogiska ideal inte är statiska utan
utvecklas i ett samspel mellan lärare och elever medan den kritiska undervisningsforskningen pågår (Figur 3).
30
4. STUDIENS DESIGN
Min studie består av en pilotundersökning och en större undersökning. I detta kapitel
beskriver jag min metod, mitt urval och de etiska överväganden som jag har gjort. I
kapitel 5 beskriver jag mer ingående hur jag gick till väga i pilotundersökningen och
reflekterar över resultatet. I kapitel 6 och 7 finns motsvarande beskrivning av själva
undersökningen.
4.1. Pilotundersökningens design
Pilotundersökningen genomfördes våren 2007 med en grupp gymnasieelever i årskurs 1
som nästan hade läst färdigt kursen Matematik A. Gruppen bestod av 25 elever varav 16
gick samhällsvetarprogrammet och 9 idrottsprogrammet. Eleverna läste många kurser
tillsammans och fungerade som en klass. De var 11 pojkar och 14 flickor. Eleverna
hade arbetat dels med färdighetsträning i läroboken dels med några lite större öppnare
inlämningsuppgifter till vilka de hade haft tillgång till uppgiftsspecifika bedömningsmatriser. I pilotundersökningen var det första gången eleverna arbetade med kamratbedömning. De fick studera och kommentera ett par kamraters redovisningar och sedan
fick de möjlighet att arbeta om sina egna redovisningar med hjälp av kamraternas
kommentarer.
För att få struktur på kamratbedömningen fick eleverna använda ett gensvarsprotokoll
(bilaga 2). Enligt Wohlin blir bedömningarna då mer nyanserade och balanserade än om
man låter eleverna kommentera fritt. De ombads att peka på otydligheter, lyfta fram
styrkor och svagheter samt ge förslag till förbättringar.
För att jag skulle få en uppfattning om elevernas inställning och attityd till att arbeta
med matriser och kamratbedömning fick de slutligen besvara en enkät (bilaga 3). Jag
valde att skriva ett antal påståenden som eleverna bedömde enligt en Likert-skala, vilket
innebär att de tar ställning till i vilken grad de instämmer eller inte instämmer i de olika
påståendena (Mertens, 2005). Av undersökningar som jag hade gjort tidigare hade jag
lärt mig, att mina elever är välvilligt inställda till att hjälpa till i mina projekt, men att de
inte alltid läser texten så noga. Jag valde därför att skriva enbart positiva påståenden och
jag hoppades, att det skulle öka sannolikheten för att eleverna visste vad de svarade. För
att underlätta och tydliggöra grupperade jag påståendena under rubriker. Vid utdelandet
beskrev jag Likert-skalan och tog ett par av påståendena som exempel. Jag gav
dessutom eleverna möjlighet att kommentera arbetsprocessen i slutet av enkäten och jag
uppmanade dem att försöka skriva ner sådant som de hade tänkt på, undrat över, funnit
oklart, uppskattat och så vidare. Jag betonade att jag verkligen ville veta och att syftet
31
var att förbättra min undervisning. Av erfarenheter från kursutvärderingar vet jag att
elever i årskurs 1 sällan brukar skriva några övriga kommentarer. Mertens varnar för att
placera viktiga frågor sist och kanske kan placeringen bidra till att utfallet ofta blir
torftigt. Jag trodde att mina övriga frågor skulle omfatta det jag ville få reda på, men jag
tyckte ändå att det var viktigt att eleverna gavs möjlighet att skriva ner sina synpunkter.
Eleverna skrev namn på sina enkäter. Man kan fundera över om svaren skulle bli
ärligare och mer rättvisande om man gör undersökningen anonymt. Även om jag kan
tycka att jag var tydlig med att jag var intresserad av såväl negativa som positiva
synpunkter, så finns det alltid en spänning mellan lärare och elev, om inte annat så
beroende på att det är läraren som sätter elevernas betyg. Jag tror dock att det kan finnas
ett samband mellan hur lösningarna ser ut, det vill säga hur mycket energi eleverna har
lagt ner på att försöka lösa uppgiften och deras inställning till matriser. Det fanns elever
som helt uppenbart hade kopierat en kamrats lösning. Det fanns också ett par elever
som hade lämnat mycket genomarbetade, tydliga och kloka redovisningar, som
förmodligen inte hade haft så stor nytta av sina kamraters kommentarer i just denna
uppgift. Att det finns namn på enkäterna gör också att jag, om jag finner det befogat,
kan be om att få intervjua några elever.
Innan man delar ut en enkät bör man testa den i en pilotundersökning (Mertens, 2005).
Jag konsulterade min handledare om påståendenas formuleringar och antal, men gjorde
därutöver ingen test av frågorna. Just i denna undersökning var det inte möjligt eftersom
det på min skola inte fanns några andra elever som hade arbetat på samma sätt. Min
undersökning var dessutom en pilotundersökning i sig, och syftet var att jag skulle lära
mig inför en eventuell undersökning om vidareutvecklingen av detta arbetssätt.
4.2. Undersökningens design
Den större undersökningen pågår under ett helt läsår. I augusti 2007 tar jag emot en ny
grupp elever i åk 1 på samhällsvetarprogrammet. När terminen startar består gruppen av
28 elever men efter några veckor slutar tre av dem. Under resten av läsåret består
gruppen av 25 elever; 15 flickor och 10 pojkar. Efter cirka två veckor berättar jag att jag
går en utbildning, och jag frågar dem om de kan tänka sig att delta i en vetenskaplig
undersökning om deras matematikundervisning. Det skulle innebära att de kommer att
få besvara några enkäter och att jag kanske kommer att intervjua några av dem.
Den första enkäten genomförs anonymt eftersom jag ännu inte har hunnit bygga några
relationer till eleverna och jag vill att de ska kunna framföra sina tankar fritt utan rädsla
för att det ska kunna påverka min bedömning av dem. Eleverna får skriva ner sina
förväntningar på kursen, sina förväntningar på läraren och sina förväntningar på sig
32
själva (bilaga 4). De får också besvara några korta frågor om sin bakgrund och framtida
studieplaner. Därefter har jag ett kort samtal med var och en om hur deras matematikundervisning har sett ut tidigare.
Matematikundervisningen under läsåret består av traditionell färdighetsträning i lärobok
varvat dels med mindre diskussionsuppgifter dels med fem lite större öppnare
inlämningsuppgifter med tillhörande matriser. Vid tre tillfällen organiserar jag
kamratbedömning med hjälp av gensvarsprotokoll. Eleverna får besvara liknande
enkäter som den jag använde i pilotundersökningen efter första inlämningsuppgiften,
efter första kamratbedömningen och efter den sista inlämningsuppgiften (bilagor 6, 8
och 10). Jag modifierar dock frågorna så att de passar till de aktuella undersökningarna.
Under läsåret har jag dessutom tre kurssamtal med varje elev då jag samtalar med dem
om deras resultat men också om hur de upplever de olika arbetssätt som vi använder.
4.3. Etiska överväganden
Anledningen till att jag startade mitt förändringsprojekt var att jag var missnöjd med
resultaten av min undervisning i matematik framför allt på A-kursen. Min frustration
över att ungdomarna varken har blivit kunnigare eller mer intresserade av matematik
under kursens gång har blivit allt starkare. Mertens (2005) skriver att man måste
överväga forskningens konsekvenser. Jag har känt att jag (och mina elever) inte har haft
något att förlora på att jag genomför de förändringar som jag beskriver i kommande
kapitel. Förändringar som jag faktiskt uppmuntras till att göra i olika styrdokument
(Skolverket, 2000a, Skolverket 2000b) och rapporter (SOU, 2004). Jag är övertygad om
att jag under ett läsår inte kan ta ifrån elever de kunskaper som de har när de kommer
till gymnasiet. Mitt utgångsläge har därmed varit att situationen bara kan bli bättre.
Enligt Mertens ska etiska överväganden finnas med när forskningen planeras. I mitt fall
känns det som om det är etiska överväganden som har drivit fram projektet. Det har inte
känts rätt att fortsätta arbeta på ett sätt som uppenbarligen inte har gett mina elever
särskilt mycket stimulans.
Mertens (2005) poängterar att det måste vara frivilligt att delta i projektet. Jag berättade
både för eleverna i pilotundersökningen och för eleverna i själva undersökningen om
min utbildning. Jag frågade dem om de kunde tänka sig att delta i en vetenskaplig
undersökning om deras matematikundervisning. Det var ingen som på något sätt
protesterade. Varje gång jag har delat ut enkäter har jag påmint eleverna om mitt
projekt.
Mertens (2005) skriver att forskaren måste respektera deltagarnas personliga integritet
genom att hantera och rapportera data så att de inte kan associeras till deltagarna. Även
33
om det går att spåra vilka klasser jag har arbetat med påstår jag ändå att mina elever är
anonyma i rapporten. Resultaten redovisas inte på ett sätt som pekar ut någon enskild
individ. Jag valde visserligen att låta eleverna skriva sina namn på enkäterna, men jag
har i min forskning inte använt mig av denna information. Det skulle kanske ha varit
intressant att ta reda på hur enskilda elevers inställning har förändrats, men det har inte
rymts inom detta projekt. De flesta elever har varit minderåriga, men enligt Mertens
behövs inte tillstånd från föräldrarna om forskningen inte innebär några risker för
eleverna.
34
5. PILOTUNDERSÖKNINGEN – DEN FÖRSTA FASEN
I detta kapitel ger jag en utförlig beskrivning av min pilotundersökning som
genomfördes i slutet av läsåret 2006-2007. Eleverna hade arbetat med några lite större
inlämningsuppgifter i matematik med hjälp av matriser, men de hade ännu inte kommit i
kontakt med kamratbedömning.
5.1. AS1 – den aktuella situationen inför pilotundersökningen
Arbetssättet präglades av det som Alrø och Skovsmose (2006) benämner uppgiftsparadigm. Undervisningen i matematik var alltså styrd av läroboken. I det didaktiska
kontraktet ingick att eleverna skulle arbeta efter avsnittsplaneringar som sammanföll
med lärobokens kapitelindelning. Jag hade genomgångar av moment och begrepp och
eleverna färdighetstränade med hjälp av läroboken. Varje avsnitt avslutades med ett
skriftligt prov. Inom varje avsnitt ingick utöver rutinuppgifterna en lite större och
öppnare uppgift som redovisades skriftligt, något som eleverna inte hade varit vana vid
sedan tidigare. Jag försökte skapa ett något annorlunda didaktiskt kontrakt. Jag
uppmanade eleverna att samarbeta i lösningsarbetet, men var och en skulle lämna en
egen redovisning. Av redovisningarna framgick att graden av samarbete varierade från
inget alls till fullt ut. Till uppgifterna fanns det uppgiftsspecifika bedömningsmatriser
som eleverna hade tillgång till under hela processen. Jag lämnade skriftlig feedback på
deras redovisningar genom att jag kryssade i matrisen och skrev kommentarer. Redovisningarna betygsattes inte utan jag betonade att det var övningsuppgifter. Det var inte så
enkelt att genomföra denna modifiering av det didaktiska kontraktet. Jag upplevde att
eleverna inte tog inlämningsuppgifterna på allvar, utan uppfattade dem som extra
fristående verksamheter som tog tid från arbetet med lärobokens uppgifter.
När pilotundersökningen skulle genomföras hade eleverna i princip arbetat igenom sin
lärobok och kursen närmande sig sitt slut.
5.2. TS1 – den tänkta situationen
Jag ville att alla elever skulle arbeta intresserat och engagerat utifrån sin förmåga med
kursens sista inlämningsuppgift och att de skulle använda sig av matrisen under
lösningsarbetet.
5.3. PF1 – pedagogiska föreställningar
Black m.fl (2003) och Topping (2003) anser att kamratbedömning är något som kan öka
elevers motivation för att anstränga sig. Om de ska kunna bedöma en kamrats arbete är
de tvungna att sätta sig in i både uppgiften och bedömningskriterierna (Black m.fl.,
35
2003). För att försöka komma närmare den önskvärda situationen ville jag att eleverna i
en pilotundersökning skulle få arbeta med kamratbedömning samt få förbättra sina
redovisningar med hjälp av kamraternas feedback innan min bedömning. Syftet med
pilotundersökningen var att undersöka hur eleverna uppfattar denna process. Hur
använder de matriserna? Hur upplever de arbetet med kamratbedömning? Hur upplever
de att få arbeta om sin redovisning innan bedömning?
5.4. PO1 – praktisk organisering av undervisningen
Jag valde en uppgift som har förekommit på ett nationellt prov (1996) som innebär att
man teoretiskt ska konstruera och kostnadsberäkna en kaninbur enligt vissa givna
förutsättningar (bilaga 1). Det är en uppgift som i huvudsak prövar delar av följande
kursmål:
Eleven skall
•
ha fördjupat kunskaperna om geometriska begrepp och kunna tillämpa dem i
vardagssituationer och i studieinriktningens övriga ämnen
•
vara så förtrogen med grundläggande geometriska satser och resonemang att hon
eller han förstår och kan använda begreppen och tankegångarna vid problemlösning
(Skolverket, 2000b).
Till uppgiften hade jag gjort en matris (bilaga 1) som alltså inte är den matris som fanns
i rättningsanvisningarna till provet. När jag gav eleverna uppgiften informerade jag dem
om att vi nu skulle utvidga arbetet till att även omfatta kamratbedömning, och att de
med hjälp av kamraternas respons skulle få möjlighet att förbättra sin uppgift innan den
lämnas in för bedömning. Jag berättade att jag går en utbildning och frågade dem om de
skulle vilja hjälpa mig genom att låta detta arbete vara en del av ett forskningsprojekt.
Ingen protesterade utan jag upplevde att de tyckte att det var lite spännande.
Under en 60-minuterslektion presenterade jag uppgiften och matrisen och lät eleverna
påbörja arbetet. Resten av arbetet med uppgiften fick de göra utanför matematiklektionerna. Redovisningarna samlades in och kopierades och därefter organiserade jag
kamratbedömningen. Eftersom jag önskade att ett lärande skulle ske, försökte jag
fördela redovisningarna så att varje elev fick se en genomarbetad och tydlig lösning.
Varje elev fick därför två redovisningar av olika karaktär att bedöma. Bedömningen
gjordes enligt ett gensvarsprotokoll (bilaga 2). Eleverna ombads att peka på
otydligheter, lyfta fram styrkor och svagheter samt ge förslag till förbättringar. Varje
elev fick sedan tillbaka sin redovisning tillsammans med kamraternas gensvarsprotokoll. De fick använda en lektion till att förbättra sin redovisning innan den
lämnades in för min bedömning. Av olika skäl blev processen väldigt utdragen.
36
Eftersom flera elever inte lämnade in sina lösningar på utsatt datum gav jag dem längre
tid. Det försvann lektioner i samband med studiebesök i andra kurser och det kom ett
påsklov emellan. Arbetet avslutades med en enkät (bilaga 3)
5.5. FS1 – den förändrade situationen
Av pilotundersökningens enkät, vars resultat redovisas i bilaga 3, framgick att 20 av de
25 eleverna höll med om att matrisen hjälpte dem att förstå uppgiften och 15 instämde i
att den hjälpte dem att lösa uppgiften (fråga 1a och 1b). Det var bara fem elever som
höll med om att det kändes bra när de fick veta att de skulle få respons och sju som
upplevde det positivt att få veta att de skulle ge respons (fråga 2a och 2b). Trots det var
det bara sex elever som inte ville arbeta på detta sätt igen (fråga 4e). 14 elever ansåg att
de hade haft nytta av sina kamraters markeringar i matriser och 21 menade att de hade
haft nytta av kommentarerna (fråga 3b och 3c). Angående arbetet i sin helhet ansåg 13
elever att de hade fördjupat sina kunskaper om beräkning av area och 16 elever att de
hade fördjupat sina kunskaper om beräkning av volym (fråga 4a och 4b). 16 elever
instämde i att de hade lärt sig att vara tydligare när de redovisar och 13 tyckte att de
hade utvecklat sitt matematiska språk (fråga 4c och 4d). Det var bara tre elever som
markerade att de inte tyckte att det var meningsfullt att arbeta med större uppgifter
såsom ”kaninburen” (fråga 4f). Trots att det bara var tre elever som arbetade om sin
uppgift så var det 18 elever som instämde i att det kändes meningsfullt att få lov att
arbeta om sin uppgift och det var 12 som ansåg att de kände sig säkrare när de gjorde
det (fråga 3a och 3d).
5.6. KR1 – kritiska reflektioner om pilotundersökningen
Bidrog kamratbedömningen till att eleverna arbetade mer engagerat med uppgiften? Jag
ansåg att åtminstone en del elever ansträngde sig lite mer än tidigare och jag trodde att
det berodde på att de visste att kamrater skulle titta på deras lösningar. Enkäten visade
att elevernas inställning till kamratbedömning var tveksam, men ändå inte riktigt lika
negativ som man skulle kunna förvänta sig vid första tillfället. Det var inte så
förvånande att eleverna kände sig ängsliga inför att bedöma och att bli bedömda, när det
var första gången de utsattes för detta. Wohlin (2004) skriver att kamratrespons bara
fungerar i en trygg grupp. Jag trodde dock att klimatet i den gruppen var sådant att
obehaget skulle minska om man skulle göra det fler gånger. Stämningen i klassrummet
under bedömningsmomentet var på intet sätt negativ och kan knappast ha känts otrevlig
för någon. Alla elever skrev någon kommentar i gensvarsprotokollen och de bemödade
sig om att skriva konstruktivt och lyfta fram det positiva. Jag trodde att om man då och
då använder detta arbetssätt så skulle det momentet avdramatiseras. Det var trots allt
37
inte så många som var negativa till att arbeta på detta sätt igen. Naturligtvis ökar
pressen på eleverna att göra bra ifrån sig om de vet att kamrater ska få ta del av deras
lösningar, men förhoppningsvis är det en press som stimulerar till utveckling. Jag ansåg
att man ska prova igen, men om den negativa inställningen kvarstår ska man låta bli.
I min undersökning gav eleverna uttryck för att de hade haft nytta av matrisen både för
att förtydliga uppgiften och för att förstå hur man skulle lösa den. Min reflektion var att
eleverna hade stor nytta av att få se hur andra kamrater hade löst uppgiften och sätta sig
in i hur de hade tänkt. För att ta reda på om det stämmer ska jag i min undersökning ha
med ett sådant påstående i enkäten. Flera elever sa att de hade haft nytta av kamratbedömningen, men få av dem hade utnyttjat möjligheten att förbättra sin lösning. Det
gjorde mig besviken eftersom jag trodde att jag skulle kunna se en utveckling. Liksom
Jönsson och Svingby (2007a) fick även jag konstatera att elever säger att de har lärt sig
något av processen, men att jag inte kunde visa det. Även om de flesta eleverna inte
hade förbättrat sina lösningar var flera dock positiva till att möjligheten fanns. Jag ansåg
att arbetsgången med inlämning, kamratbedömning och möjlighet till förändring
fungerade bra, men att processen inte får bli alltför utdragen vilket innebär att arbetet
bör utföras under lektionstid. Om det går för lång tid mellan elevernas arbete med
uppgiften och kamratbedömningen så är uppgiften inte längre aktuell för eleverna. Jag
ansåg att min pilotundersökning visade, att det finns anledning att fortsätta utveckla en
undervisning med ett större inslag av formativ bedömning och att använda matriser som
ett hjälpmedel i den processen.
38
6. UNDERSÖKNINGEN – DEN ANDRA FASEN
I detta kapitel beskriver jag utförligt det praktiska genomförandet av min undersökning
som pågår under hela läsåret 2007-2008. Mot bakgrund av forskningslitteratur och det
som jag lärde mig av min pilotundersökning arbetade jag mer systematiskt med att
förändra min undervisning och öka inslagen av formativ bedömning med hjälp av
matriser och kamratbedömning.
6.1. AS2 – den aktuella situationen inför undersökningen
En gymnasieklass består av elever som kommer från flera olika skolor. För att få en bild
av vilken typ av matematikundervisning som eleverna hade varit vana vid fick de
besvara en enkät två veckor in på terminen. Jag hade också ett kort enskilt samtal med
var och en. Av enkäter och samtal framgår att de flesta elever har varit vana vid en
traditionell, läroboksstyrd undervisning och att provresultaten har legat till grund för
bedömningen. Eftersom det är de enda resultat jag använder mig av från den enkäten
redovisar jag den inte ytterligare.
6.2. TS2 – en modifierad tänkt situation
Jag vill att eleverna utvecklar en relationell förståelse för matematiska begrepp och
procedurer och blir medvetna om att matematik inte bara är att arbeta med rutinuppgifter i en mattebok. Jag vill försöka skapa ett didaktiskt kontrakt tillsammans med
eleverna där de betraktar även de uppgifter som inte finns i läroboken som ett naturligt
inslag i matematikundervisningen, och att de använder matriserna som ett hjälpmedel
både för att förtydliga uppgifterna och för att förstå vad det är som kommer att
bedömas. Jag hoppas också att de lär sig att diskutera olika lösningsmetoder och att
lyssna till varandra, och att de inser att kamratbedömning är ett tillfälle till lärande.
6.3. PF2 – pedagogiska föreställningar
Matematikundervisningen kommer att bestå av färdighetsträning i läroboken varvat
med uppgifter att diskutera i grupp med efterföljande storgruppsdiskussioner om olika
sätt att tänka och olika lösningsmetoder. Det innebär att eleverna ska arbeta med färre
uppgifter i läroboken än vad de är vana vid. Eleverna ska dessutom få fem lite större
inlämnings-uppgifter med tillhörande matriser som jag har provat tidigare. Vid tre av
dem ska jag organisera kamratbedömning. Jag ska avsätta lektionstid både för arbetet
med inlämningsuppgifterna och för kamratbedömningen, för att betona att de är
väsentliga delar av undervisningen. Eleverna ska få göra kapitelprov (mina egna prov)
så som eleverna i pilotundersökningen fick göra för att se om de klarar dem på liknande
39
sätt trots att de har haft mindre tid för färdighetsträning. Kursen avslutas med ett
nationellt prov.
6.4. PO2 – praktisk organisering av undervisningen
Efter de inledande två veckorna börjar vi arbeta med statistik och eleverna får den första
inlämningsuppgiften som innebär att de ska göra fem egna statistiska undersökningar
och redovisa dem i olika typer av diagram (bilaga 5). Det är en uppgift som prövar
följande kursmål:
Eleven skall
•
kunna tolka, kritiskt granska och med omdöme åskådliggöra statistiska data samt
kunna tolka och använda vanligt förekommande lägesmått (Skolverket, 2000b).
Det är första gången de möter en matris så jag beskriver hur den är upplagd (bilaga 5)
och tar upp de begrepp som förekommer i den. Eleverna ska lämna in var sin
redovisning, men jag uppmanar dem att samarbeta med undersökningarna. De får
använda lektionerna under två veckor (360 minuter) och redovisningarna ska lämnas
första matematiklektionen i veckan därpå. Jag ger eleverna feedback i form av
markeringar i bedömningsmatrisen samt kommentarer om sådant som är bra och sådant
som kan förbättras. Momentet avslutas med en enkät (bilaga 6). Enkäten är uppbyggd
på liknande sätt som den enkät jag använde i pilotundersökningen, men eftersom vi inte
har arbetat med kamratbedömning finns inte dessa påståenden med. De elever som har
valt att samarbeta får bedöma påståenden om ifall de har lärt sig av att diskutera vilka
undersökningar som bör göras, och om de har nytta av matrisen i dessa diskussioner.
När jag delar ut enkäten presenterar jag Likert-skalan noga och tar ett par av
påståendena som exempel. Jag påminner eleverna om att de ingår i ett forskningsprojekt
och att detta är den första av tre enkäter vars syfte är att ge mig en bild av hur de
uppfattar arbetet med inlämningsuppgifterna. Jag ber dem skriva namn på sina enkäter
eftersom varje elev ska göra flera enkäter och jag kanske ska intervjua några av dem.
Under oktober arbetar vi med färdighetsträning i läroboken kompletterad med flera
mindre diskussionsuppgifter.
I slutet av november får eleverna inlämningsuppgiften ”Dagis i Ankeborg” med
tillhörande matris som jag själv har konstruerat (bilaga 7). Uppgiften som har
förekommit på ett nationellt prov (1998) innebär att de ska jämföra olika
avgiftsmodeller och den prövar delar av följande kursmål:
Eleven skall
40
•
kunna ställa upp, tolka, använda och åskådliggöra linjära funktioner och enkla
exponentialfunktioner som modeller för verkliga förlopp inom privatekonomi och i
samhälle (Skolverket, 2000b).
Vid första tillfället går vi igenom uppgiften noga eftersom jag har lärt mig att det är
nödvändigt om det ska bli något resultat. Jag berättar redan från början att vi ska arbeta
med kamratbedömning och att de ska få möjlighet att förbättra sina redovisningar med
hjälp av kamraternas kommentarer innan min bedömning. De får använda en veckas
lektioner till att arbeta med uppgiften. Inlämning ska ske första matematiklektionen i
veckan efter. Jag får in 18 redovisningar (av 25) som jag kopierar samma dag och förser
med ett gensvarsprotokoll (bilaga 2) samt en bedömningsmatris att markera i. Nästa dag
får varje elev se två olika kamraters redovisningar och jag fördelar dem så att alla ska få
se en genomarbetad lösning. Gensvarsprotokollen med matriser samlas in och dagen
därpå får varje elev tillbaka sin redovisning tillsammans med två eller tre kamraters
kommentarer. Lektionen får användas till att förbättra redovisningen och senast nästa
lektion ska eleverna lämna in sina redovisningar för bedömning. Ungefär en tredjedel
av dem utnyttjar möjligheten. De får fylla i en enkät (bilaga 8) om hur de har uppfattat
arbetet med matriser, kamratrespons, möjlighet att få förbättra sin redovisning och om
arbetet i sin helhet. När jag konstruerade enkäten utgick jag från pilotundersökningens
enkät, men jag la till ett påstående om nyttan med att ha sett en kamrats lösning och
förändrade påståendena om ”Arbetet i sin helhet” utifrån denna uppgifts innehåll.
Efter jullovet får eleverna arbeta med en gruppuppgift om area och omkrets. Uppgiften
är att ta reda på hur arean varierar om omkretsen är densamma dels för olika rektanglar,
dels för olika rätvinkliga trianglar. Jag lottar ihop grupper om tre personer. Den här
gången får varje grupp lämna in en redovisning gemensamt. Det resulterar i att flera
elever snabbt tappar intresset och litar till sina gruppkamrater.
I slutet av januari får eleverna en enskild inlämningsuppgift kring vinkelsumman i
månghörningar. Nu är intresset större.
Därefter har jag ett kurssamtal med varje elev där jag pratar om hur de har arbetat med
inlämningsuppgifterna, och hur aktiva de har varit i de matematiska diskussionerna i
grupp och i hela klassen. Jag förklarar för varje elev att dessa moment är en del av
undervisningen, och att syftet är att öva andra färdigheter än de som man tränar i
läroboken. Jag poängterar också att dessa verksamheter ingår i den samlade bedömning
som ligger till grund för det betyg som de kommer att få.
I februari följs denna uppgift upp med att vi arbetar med mönster. Efter en laboration
med tändstickor och resonemang kring olika typer av mönster får eleverna uppgiften
41
”Blomalgebra” (bilaga 9) som också den har förekommit på ett nationellt prov (1996).
Även till denna uppgift har jag konstruerat en matris som alltså inte är den som fanns i
rättningsanvisningarna till provet. Uppgiften prövar delar av följande kursmål:
Eleven skall
•
kunna tolka och hantera algebraiska uttryck, former och funktioner som krävs för
problemlösning i vardagsliv och i studieinriktningens övriga ämnen (Skolverket,
2000b).
Vid första tillfället går vi igenom uppgiften: De får veta att jag ska organisera
kamratbedömning på liknande sätt som i november. Tyvärr är nästan en tredjedel av
eleverna frånvarande på grund av sjukdom. De som är närvarande arbetar dock aktivt
och jag upplever ett större engagemang även från de elever som tidigare inte har
presterat så mycket. De flesta tar sig an kamraternas redovisningar med stort intresse
och kommentarerna i gensvarsprotokollen är något fylligare än vid förra tillfället. Det är
ungefär hälften av de elever som har lämnat in redovisningar, som utnyttjar möjligheten
att förbättra. De elever som kommer tillbaka efter sin sjukdom får också titta på två
kamraters redovisningar. Det bidrar till att jag så småningom får redovisningar från alla
elever utom en. Jag hade i annat fall haft svårt att hinna med att hjälpa dem.
I början av april har jag ett nytt kurssamtal med varje elev då jag på nytt jämför deras
provresultat med kvaliteten på deras inlämningsuppgifter. Jag pratar om vikten av att
lägga ner arbete på inlämningsuppgifterna.
I mitten på april får eleverna arbeta med den kaninbursuppgift (bilaga 1) som jag
använde i pilotundersökningen. Jag talar om att det blir kursens sista inlämningsuppgift
och att de ska få arbeta med kamratbedömning. Jag säger också att jag denna gång ska
vara lite mer sparsam med att hjälpa dem, och att detta är en uppgift som ska ingå i
betygsättningen. Aktiviteten är stor i klassrummet och man diskuterar livligt hur lång
och hur bred en kaninbur bör vara med tanke på kaninen som ska bo i den. Ett par
elever som hittills inte presterat så mycket (och som riskerar betyget IG i kursen) är mer
aktiva än tidigare, även om jag får hjälpa dem att komma igång. När enskilda elever
ställer frågor är jag noga med att ge hela klassen samma information. Det leder till att vi
tillsammans diskuterar vilka geometriska figurer som kan vara användbara och att man
kan ha nytta av Pythagoras sats.
Även denna gång får jag in 18 redovisningar (av 25) på inlämningsdagen. Jag kopierar
dem och förser dem med gensvarsprotokoll. Redovisningarnas kvalitet har påtagligt
förbättrats under läsåret. Istället för att jag, som i höstas, fick bemöda mig om att sprida
de goda lösningarna, kan jag nu fundera över vilka som kan ge konstruktiv kritik till de
42
elever som behöver mycket hjälp och stöd. Det är stor aktivitet också under kamratbedömningen. Man studerar ivrigt de utdelade redovisningarna och man jämför med de
som kamraten bredvid har fått. Några elever vänder sig direkt till kamrater och frågar
hur de har tänkt och/eller för att förklara hur man skulle kunna göra istället. Fler elever
skriver mer i gensvarsprotokollen och man kommenterar även inne i redovisningarna.
Tyvärr blir den lektion som de skulle ha fått använda för att förbättra sina redovisningar
inställd. Jag väljer att stå fast vid den överenskomna inlämningsdagen, även om det
innebär att de får göra arbetet hemma, eftersom jag anser att pilotundersökningen visade
att det är viktigt att processen inte blir för utdragen. I samband med inlämningen får
eleverna en enkät som motsvarar den som eleverna i pilotundersökningen fick svara på
(bilaga 10), med tilläggspåståendet om nyttan av att ha sett en kamrats lösning.
6.5. FS2 – den förändrade situationen
Enkäten efter den första inlämningsuppgiften besvarades av de 24 elever som var
närvarande. Resultatet redovisas i bilaga 6. 16 elever instämde i att matrisen hjälpte
dem att förstå uppgiften och 11 att den hjälpte dem att lösa den (fråga 1a och 1b). Det
var frivilligt att samarbeta och 16 elever uppgav att de hade gjort det Av de16 eleverna
var det 15 som instämde i att de lärde sig av att diskutera hur de skulle arbeta och 13 att
de lärde sig av att diskutera hur de skulle redovisa (fråga 2a och 2b). Det var dock bara
sex av dessa elever som uppgav att de hade nytta av matriserna i detta sammanhang
(fråga 2c). Alla elever fick feedback på sina arbeten både genom markeringar i matrisen
och genom kommentarer. 18 elever ansåg att markeringarna i matrisen förtydligade
bedömningen och 21 ansåg att kommentarerna förklarade lärarens bedömning (fråga 3a
och 3b). 19 elever tyckte att den här typen av uppgifter är meningsfulla (fråga 4d). Fyra
elever hade hellre velat arbeta i läroboken (fråga 4e).
I oktober genomfördes den första kamratbedömningen. Då bestod klassen av 25 elever
och 24 av dem besvarade enkäten. Resultatet redovisas i bilaga 8. 12 elever ansåg att
det kändes bra när de fick veta att de skulle få respons av kamrater och 15 tyckte att det
kändes bra att de skulle få ge respons (fråga 2a och 2b). 20 elever ansåg att de hade haft
nytta av matrisen i denna bedömning och 15 ansåg att kamratbedömning är ett sätt att
öka sina egna kunskaper i matematik (fråga 2c och 2d). Alla 24 eleverna uppgav att det
kändes meningsfullt att få förbättra sin uppgift innan inlämning (fråga 3a). 23 elever
instämde i att de hade nytta av sina kamraters markeringar i matrisen och av
kamraternas kommentarer, medan 22 instämde i att de hade nytta av att ha sett en
kamrats lösning (fråga 3b, 3c och 3d). 18 elever instämde i att de kände sig säkrare när
43
de arbetade om sin uppgift (fråga 3e). 15 elever ansåg att den här typen av uppgifter är
meningsfulla och 17 ville arbeta med kamratbedömning igen (fråga 4f och 4e).
Kursens sista inlämningsuppgift gjordes i slutet av april och var den samma som förra
årets elever arbetade med. Resultatet redovisas i bilaga 10. Det var den här gruppens
tredje kamratbedömning. Alla 25 elever besvarade enkäten. Det var samma antal elever
som i pilotgruppen så siffrorna är enkla att jämföra. 18 elever anser att matrisen hjälper
dem att förstå uppgiften och12 elever tycker att den hjälper dem att lösa uppgiften
(fråga 1a och 1b). 15 elever höll med om att det kändes bra att få veta att de skulle få
respons och 16 upplevde det positivt att få veta att de skulle ge respons (fråga 2a och
2b). 17 elever ansåg att de har nytta av matrisen i detta arbete (fråga 2c). 19 elever
instämde i att kamratbedömning är ett sätt att öka sina egna kunskaper i matematik
(fråga 2d). Alla utom en anser att det är meningsfullt att få lov att förbättra sin uppgift
innan lärarens bedömning (fråga 3a). 19 elever ansåg att de har nytta av kamraternas
markering i matrisen, 24 att de har nytta av kommentarerna och 22 att de har nytta av att
se kamraters lösningar (fråga 3b, 3c och 3d). 19 elever uppgav att de känner sig säkrare
när de arbetar om lösningen (fråga 3e). 22 elever anser att de har ökat sina kunskaper
om area- och volymberäkning (fråga 4a och 4b). 21 elever anser att har lärt sig att
redovisa tydligare (fråga 4c). 20 elever anser att det är meningsfullt att arbeta med lite
större inlämningsuppgifter och 17 uppger att de vill arbeta med kamratrespons fler
gånger (fråga 4f och 4e).
44
7. KRITISKA REFLEKTIONER OM UNDERSÖKNINGEN
(KR2)
Vad kan jag dra för slutsatser av mitt projekt? I detta kapitel jämför och reflekterar jag
över resultaten från enkäterna och mina observationer i förhållande till forskningslitteraturen. Det är viktigt att observera att pilotundersökningen och undersökningen
gjordes i olika elevgrupper.
7.1. Elevernas inställning till matriser
Enkäten efter den sista inlämningsuppgiften visade att eleverna i pilotundersökningen
och eleverna i undersökningen hade likartade synpunkter på matrisen. Flera av dem
tyckte att de har haft nytta av matrisen för att förstå uppgiften (20 av 25 elever
respektive 18 av 25 elever) och ungefär hälften av dem tyckte att de har haft nytta av
den för att lösa uppgiften (15 respektive 12 elever) (bilaga 3 och 10). Eleverna i
undersökningen fick besvara en enkät efter sitt första möte med matriser och redan då
ansåg 16 elever att matrisen hjälper dem att förstå uppgiften och 11 att den hjälper dem
att lösa uppgiften (bilaga 6). Det var några färre som var positiva vid det andra tillfället.
12 elever tyckte att matrisen hjälper dem att förstå uppgiften och nio att den hjälper dem
att lösa uppgiften (bilaga 8). Man kan fundera över om uppgiftens karaktär spelar någon
roll. Den första uppgiften var att eleverna skulle göra egna statistiska undersökningar
och av matrisen framgick vad som skulle göras. Den andra uppgiften var svårare och
otydligare för eleverna och jag fick hjälpa flera av dem ganska mycket. De följande
uppgifterna var av liknande karaktär som den andra. Det kräver nog lite träning, precis
som Kjellström (2005) och Jönsson och Svingby (2007a) skriver, för att elever ska
förstå att de har nytta av matriser, och att man, åtminstone de första gångerna, måste
diskutera dem gemensamt.
Eleverna fick också kommentera ett påstående om nyttan av att ha en matris när de ska
bedöma sina kamraters arbeten. Slutuppgiftens enkäter visade att 17 elever i undersökningen ansåg att de har haft nytta av matrisen, medan bara 11 i pilotundersökningen
ansåg det (bilaga 3 och 10). Enkäterna visade också att eleverna anser att de har nytta av
kamraternas markeringar i matrisen. Eleverna i undersökningen är även här mer positiva
än eleverna i pilotundersökningen (21 jämfört med 14 elever) och det var de redan vid
första tillfället (23 elever).
7.2. Elevernas inställning till kamratbedömning
Enkäterna från slutuppgiften visade att eleverna i undersökningen är mer positiva till
kamratbedömning än eleverna i pilotundersökning (bilaga 3 och 10). 17 av 25 elever i
45
undersökningen instämde i att de skulle vilja arbeta med kamratbedömning fler gånger
och bara tre var negativa till det. Det var bara 10 av 25 elever i pilotundersökningen
som är positiva till att göra det fler gånger och sex som inte vill det. 15 elever i
undersökningen jämfört med fem elever i pilotundersökningen instämde i att det kändes
bra att få reda på att de skulle få respons från en kamrat medan 16 elever jämfört med
sju instämde i att det kändes bra att få reda på att de skulle ge kritik. Undersökningens
elever var mer positiva redan från början. 12 elever instämde redan vid första tillfället i
att det kändes bra att få reda på att de skulle få respons och vid det tredje tillfället hade
antalet ökat till 15 (bilaga 8 och 10). Vid första tillfället uppgav 15 elever att de var
positiva till att ge respons och det hade ökat till 16 vid det tredje.
I de första gensvarsprotokollen kommenterade eleverna i princip bara lösningarnas
otydlighet såvida kamraterna inte hade gjort uppenbara fel. Eleverna insåg att det är
svårt att följa kamratens tankegångar om inte redovisningen är strukturerad och alla
uträkningar finns med i systematisk ordning. Redan vid det andra kamratbedömningstillfället hade redovisningarnas kvalitet förbättrats. Förmodligen har Black, m.fl. (2003)
rätt i att detta beror på att eleverna ansträngde sig mer eftersom de visste att en kamrat
skulle titta på lösningarna. Vid det tredje och sista kamratbedömningstillfället var
diskussionerna livliga i klassrummet och man frågade och förklarade för varandra, dels
för att man inte förstod kamratens tankar, men också för att man ville berätta om sitt
eget sätt att lösa uppgiften. Nu diskuterade man inte bara redovisningarnas tydlighet
utan också olika sätt att lösa uppgiften. En organiserad kamratbedömning gör alltså att
elevernas medvetenhet om redovisningarnas kvalitet gradvis ökar.
Gipps (2001) anser att eleverna bör vara samarbetspartners så att läraren inte har makt
över eleverna utan makt med eleverna. Det innebär att de också bör vara delaktiga i
bedömningsprocessen. En förutsättning för detta är att eleverna vet vad som ska
bedömas. Ett sätt att göra eleverna mer delaktiga i bedömningsverksamheten skulle
kunna vara att låta eleverna konstruera egna matriser (Andrade, 2000). Om elever
formulerar kvalitetsnivåerna är det troligt att de använder ett för dem mera naturligt
språk. Jag tror dock att man först måste låta eleverna arbeta med några färdiga matriser
innan man inleder det arbetet. Eleverna i undersökningen som har arbetat med flera
matriser och med kamratbedömning skulle nog vara redo för att konstruera egna
matriser. De skulle kunna börja med att i mindre grupper bedöma färdiga elevarbeten
från för dem okända kamrater. Tyvärr är det väldigt ont om tid på B-kursen i matematik,
vilket inte inbjuder till pedagogiska experiment.
Slutuppgiftens enkäter visade att eleverna var positiva till att få förbättra sina
redovisningar med hjälp av kamratbedömningen (bilaga 3 och 10). I undersökningen
46
var det bara en som inte tyckte att detta var meningsfullt. 22 av eleverna i
undersökningen ansåg att de har nytta av att se kamraters redovisningar, vilket var lika
många som vid deras första kamratbedömning (bilaga 8). Detta påstående fanns inte
med i pilot-undersökningen. Jag upplever att det framför allt är flitiga elever som tycker
att matematik är ganska svårt som bemödar sig om att sätta sig in i och försöka förstå de
redovisningar som de får titta på. Jag har försökt se till att alla ska få en bra redovisning
att bedöma och det tror jag är viktigt, åtminstone vid de första tillfällena, om kamratresponsen ska upplevas meningsfull. Det kan vara elever som redan har lämnat in
tydliga och bra redovisningar som inte anser att det är meningsfullt att få titta på
kamraters redovisningar. De kanske inte tycker att de lär sig så mycket av att titta på
sämre varianter.
Trots att de flesta elever uppger att de är positiva till att få förbättra sin redovisning var
det även vid tredje tillfället inte alla elever som utnyttjade möjligheten. Några var nöjda
med den ursprungliga lösningen och andra uppgav att de inte hade lust att lägga ner mer
tid. Det kan bero på att de inte ser något riktigt samband mellan bedömningen av
inlämningsuppgifterna och betygsättningen. Elever är vana vid att betygen till stor del
är baserade på deras provresultat. Om jag vill få mina elever att lägga ner mer tid på
inlämningsuppgifter måste de tydligt känna att det är lönt, och lönt för de flesta betyder
betygsgrundande. Wiliam (1999) påstår dock att den formativa effekten försvinner om
redovisningar betygsätts:
…if you are going to grade or mark a piece of work, you are wasting your time writing
careful diagnostic comments (Wiliam, 1999, s. 8).
Wohlin (2004) skriver att eleverna måste känna sig trygga i gruppen om kamratbedömning ska fungera. Jag har inte försökt ta reda på om eleverna har känt sig trygga
och bekväma med varandra. Det var aldrig svårt att få igång diskussioner i pilotundersökningsgruppen, men det var inte alla elever som var aktiva i dem. I efterhand
funderar jag över om några elever var så tongivande att de andra inte vågade framföra
sina tankar. I undersökningsgruppen var det nästan omöjligt att få elever att yttra sig i
storgrupp. Min tolkning var att eleverna inte kände sig trygga inför varandra, men det
var inget som jag fick belägg för vid de avslutande kurssamtalen. Det är svårt att
jämföra och bedöma i vilken grad elever känner sig trygga i sina grupper men det är
något som det kan finnas anledning att fundera över och vara mer lyhörd inför.
Även om mina elever är positiva till kamratbedömning är jag ganska säker på att de
ännu inte själva skulle ta initiativ till det. Jag har inte sett några sådana tecken och det är
ingen som har frågat när vi ska göra det igen. Black m.fl. (2003) har förmodligen rätt
47
när de skriver att skriver att kamratbedömning inte uppstår spontant utan utvecklas bara
om läraren organiserar arbetet och att arbetet måste ske under lektionstid.
7.3. Elevernas inställning till inlämningsuppgifterna
Slutuppgiftens enkäter visade att eleverna i undersökningen i betydligt högre grad än
eleverna i pilotundersökningen instämmer i att de har ökat sina kunskaper om beräkning
av area (22 av 25 respektive 13 av 25 elever) och beräkning av volym (22 respektive 16
elever), liksom att de har lärt sig redovisa tydligare (21 respektive 16 elever) och
utvecklat sitt matematiska språk (18 respektive 13 elever) (bilaga 3 och 10). 20 elever i
undersökningen och 15 i pilotundersökningen ansåg att det är meningsfullt att arbeta
med den här typen av lite större uppgifter. Det stämmer väl med den aktivitet det har
varit i klassrummet vid de tillfällena, jämfört med när eleverna har färdighetstränat i sin
lärobok. Det är svårt att jämföra elevers inställning till olika inlämningsuppgifter, men
enligt enkäterna som gjordes i undersökningen ansåg flera elever att även de andra
uppgifterna var meningsfulla (19 respektive 15 elever) (bilaga 6 och 8).
7.4. Varför var eleverna i undersökningen mer positiva?
Jag kan konstatera att det har varit positivt att arbeta med inlämningsuppgifter och med
kamratbedömning trots att pilotundersökningen inte entydigt visade att det skulle bli så.
Efter pilotundersökningen trodde jag att anledningen till att flera elever var negativa till
kamratbedömning berodde dels på att de var ovana vid arbetssättet, dels på att de var
osäkra inför varandra. Eleverna i undersökningen var dock mer positiva redan från
början. Det är svårt att veta varför, men jag har några tänkbara förklaringar.
I undersökningen var jag tidigt tydlig med att jag ville att eleverna skulle prata
matematik med varandra. De fick tämligen omgående uppgifter att diskutera först i liten
grupp och sedan i helklass. I början tog flera elever inte de här övningarna på allvar.
Det var inget som de kände igen från sin tidigare matematikundervisning. Under läsåret
har dock fler och fler blivit aktiva och insett att dessa inslag är något som ingår, inte
bara som tidsfördriv, utan som en planerad verksamhet som de kan ha nytta av. Det
didaktiska kontraktet för matematikundervisningen i den här gruppen har alltså
långsamt förändrats. Jag har försökt förstärka vikten av dessa övningar genom att skriva
”diskussionsuppgift” då och då i elevernas planering. Att göra en alltför detaljerad
planering av verksamheten inskränker dock flexibiliteten. Det är svårt att i förväg veta
hur mycket tid som behöver avsättas till olika moment. Jag tror dock att det är
nödvändigt med en sådan tydlig markering åtminstone i kursens början. Efter några
månader är det lättare att få elever att förstå att en planering inte alltid håller och att
man då måste göra vissa förändringar.
48
I de små grupperna diskuterade eleverna med varandra och aktiviteten blev större och
större. Det var dock svårt att få dem att redovisa sina tankar inför klassen, vilket kändes
frustrerande för mig. Jag undervisar gruppen även i naturkunskap och efter ett år kan
jag och andra lärare som undervisar gruppen konstatera att det är svårt, oavsett ämne, att
få dem att diskutera i större grupper. Jag tror att man envist ska fortsätta med
åtminstone korta storgruppsdiskussioner. Även om eleverna ogärna pratar så lyssnar fler
och fler och detta inslag blir med tiden en del av det didaktiska kontraktet.
Jag berättade, när jag lät eleverna fylla i den första enkäten, att jag går en utbildning och
att delar av matematikundervisningen i den här klassen skulle ingå i mitt forskningsprojekt. Jag upplevde att de uppfattade det som positivt och lite spännande. Det kan ha
gjort att de har tagit inlämningsuppgifterna på större allvar.
Jag tror dock att det som har haft störst inverkan är att jag har låtit eleverna arbeta med
uppgifterna under lektionstid. De har fått avsnittsplaneringar där det har framgått vilka
timmar som ska användas, när kamratbedömningen ska ske och när de får tid till att
förbättra sin lösning. Det är en tydlig markering att jag tycker att arbetet med
uppgifterna är viktigt. De har haft ganska gott om tid och de elever som har arbetat
under lektionerna har inte behövt använda extra tid hemma. Jag har också medvetet
strävat efter att processen ska bli så kort som möjligt. Jag har kopierat redovisningar
samma eftermiddag som de lämnats in och kamratbedömningen har ägt rum dagen efter.
I pilotundersökningen valde jag att vänta in nästan alla elevers redovisningar. Nu talade
jag istället om för de elever som inte lämnat in sina redovisningar i tid, att de inte
kommer att få några kommentarer på dem. De eleverna fick ändå titta på och
kommentera andra kamraters redovisningar. Det var varje gång 18 redovisningar som
lämnades in i tid, dock inte alltid samma 18 elevers. Att några redovisningar saknas är
naturligt, men en fjärdedel anser jag vara oacceptabelt. Det tycks tyvärr vara svårt att
göra något åt detta.
Jag har vid kurssamtal pratat med eleverna om hur de har lyckats med sina inlämningsuppgifter. Jag har poängterat för de elever som inte lämnat in, att jag anser att
uppgifterna är viktiga och att de nog skulle ha nytta av att göra dem. Det har resulterat i
att de flesta redovisningar har kommit in så småningom.
7.5. Hur tolkar jag elevernas resultat?
När jag skulle sätta betyg i kursen uppstod problem som jag inte förutsåg när jag
planerade min undersökning. I efterhand kan jag konstatera att det var naivt av mig
eftersom detta finns beskrivet i forskningslitteraturen. Webb (2004) skriver att även om
lärare förändrar sin undervisning så tar det lång tid innan de förändrar sitt sätt att
49
bedöma. Även om lärare har en konstruktivistisk syn på lärandet så ser proven ut som
de alltid har gjort. Webb skriver också att lärare som fortsätter att använda
konventionella provuppgifter samtidigt som de försöker införa ett mer undersökande
arbetssätt har svårt att analysera skillnaden mellan sina personliga bedömningar och
elevernas kunskaper som de uppvisar under lektionstid och provresultaten.
Som underlag vid betygsättningen har jag fem traditionella prov, det nationella provet,
fem inlämningsuppgifter samt den subjektiva bild som jag har skapat av varje elevs
kunskaper genom att lyssna till de diskussioner som förts och de samtal jag har haft med
dem under kursens gång. Det är svårt att jämföra olika elevgruppers resultat på prov,
men jag anser att de här eleverna har klarat mina ”vanliga” prov på motsvarande sätt
som tidigare elever. Att minska andelen färdighetsträning har alltså, som jag förväntade
mig, inte haft någon större betydelse.
Jag hade hoppats att jag skulle kunna se en positiv förändring av resultaten på det
nationella provet eftersom jag anser att den undervisning som jag har bedrivit det här
läsåret har varit mer i linje med de officiella kursmålen (Skolverket, 2000b). Tyvärr
lyckades eleverna i den här gruppen inte bättre på det nationella provet än vad mina
tidigare elever har gjort.
Några elever som inte har lyckats så bra på proven har gjort stora framsteg i att redovisa
sina inlämningsuppgifter. De fick visserligen hjälp av mig och av kamrater, men de
lämnade in egna genomarbetade redovisningar. Jag trodde att redovisningarnas ökade
tydlighet skulle leda till eftertanke kring de strategier som de valt att arbeta efter, vilket
skulle leda till att de också klarade proven bättre. Har de tillägnat sig kunskaper och
färdigheter som inte testas genom proven? Hur bedömer jag dessa arbeten i förhållande
till mina prov och det nationella provet?
I en rapport från Skolverket (2007) visas att påfallande många elever får högre betyg i
kursen än det betyg som de fick på det nationella provet och jag tolkar rapporten som att
det inte är önskvärt. I lärarinformationen till det nationella provet kan man dock läsa:
Ett nationellt kursprov är således bara en del i lärarens totala bedömning av elevernas
kunskaper. Nationella prov ger betyg på provet – läraren sätter sedan kursbetyg baserat på
elevens totala prestationer (Skolverket, 2008, s. 5).
I samma skrift står också:
•
ett kursprov kan inte pröva elevens kunskaper mot samtliga mål i en viss kurs, men
ambitionen är att få med så många som möjligt
och
50
•
Proven bör ge möjlighet för samtliga elever att visa sina kunskaper utan tidspress
(Skolverket, 2008, s. 5).
Om jag bara använder mina prov och det nationella provet som underlag vid bedömning
är det en bedömning som på flera punkter överensstämmer med det som karaktäriserar
en traditionell bedömning (Even, 2004, Jönsson och Svingby, 2007b). Det är speciella
aktiviteter som är konstruerade för detta ändamål. Det är skriftliga prov där det oftast
bara finns ett rätt svar. Det är standardiserade provsituationer, det vill säga alla elever
skriver samtidigt, de har begränsad tillgång till hjälpmedel och de arbetar var och en för
sig under en viss tid. Resultaten anges i form av poäng och betyg. Proven bidrar inte till
lärande eftersom elever sällan är intresserade av att i efterhand diskutera olika lösningar
och de ger upphov till stress. Redan i kursens inledningsskede brukar elever ställa
frågor om det nationella provet och även om jag försöker tona ner betydelsen av det, så
har det inte så stor effekt på eleverna. Självförtroendet sjunker hos de elever som lyckas
sämre än de har förväntat sig. Det känns inte bra att avsluta kursen med ett misslyckat
kursprov. Då spelar det inte så stor roll att jag under ett avslutande kurssamtal lyfter
fram det som har gått bra och poängterar att jag tycker att de har gjort framsteg i
matematik. Ett sätt att öka självförtroendet hos de elever som har gjort framsteg, men
som ändå inte har kunskaper som motsvarar en högre betygsnivå än godkänt, skulle
kunna vara att erbjuda dem ett nationellt prov där målet är att nå just betyget godkänt.
Det borde vara möjligt när vi har målrelaterade betyg.
Vid reformbedömning ska eleverna få relevant bedömning utifrån sina prestationer
(Even, 2004, Jönsson och Svingby, 2007b). De ska få använda hjälpmedel och det ska
vara tillåtet att samarbeta. Bedömningen är en del av den ordinarie verksamheten och
ska ge upplysningar om på vilket sätt eleverna klarar delar av målen. Arbetet med
inlämningsuppgifterna är en del av den planerade verksamheten. Med tiden väljer fler
och fler elever att samarbeta. Eleverna får feedback i form av markeringar i en matris
tillsammans med skriftliga kommentarer om vad som är bra och vad som skulle kunna
göras bättre. Vid bedömningen som så småningom ska leda till ett enskilt betyg gäller
det dock för läraren att få en uppfattning om vem som har gjort vad. Läraren måste
också fundera över hur mycket hjälp eleverna har fått. Några ställer många och
ingående frågor, medan andra inte frågar alls. Tanken är att de ska kunna använda sig
av det som de har lärt sig i nya situationer. Hur kontrollerar man det? De nationella
proven anses i högre grad än lärares egna prov kräva ett kreativt matematiskt tänkande
(Boesen, 2006), men det är fortfarande ett prov som utförs i en standardiserad situation
som gör att det har många drag av en traditionell bedömning.
51
Mina matriser har matriser från nationella prov och matriser som Freccero, m.fl. (2005)
har konstruerat som förebilder. De är analytiska vilket innebär att de tar upp varje
kriterium för sig. De är också uppgiftsspecifika vilket gör att de bara kan användas i
samband med en viss uppgift. Wiggins (1998) anser att det finns en risk att man då
glömmer det övergripande målet. Freccero, m.fl. skriver dock att även om elever så
småningom bör kunna arbeta efter en generell matris, så måste de i början arbeta med
konkreta exempel. När jag hamnar i dilemma kring betygsättning, eftersom jag tycker
att eleverna har lämnat in goda lösningar på sina uppgifter men inte har gjort lika stora
framsteg på sina prov, kan det bero på att markeringar i en analytisk, uppgiftsspecifik
matris tenderar att ”se för bra ut”. Om de högsta kvalitetsnivåerna är korrekta figurer
eller korrekt beräknad volym, eftersom just detta inte kan göras bättre så, är det ändå
inga MVG-kvaliteter. Jag behöver alltså reflektera över vilka kriterier som ska finnas i
mina matriser. Ska de fungera som en vägvisare över vad som ska finnas med i
redovisningen eller ska de i mer allmänna ordalag beskriva kvaliteter som nämns i
kursmål och betygskriterier (Skolverket, 2000b)? Då kanske matriserna kan fungera
som ett hjälpmedel för att konkretisera kursmål och betygskriterier för eleverna.
Flera undersökningar visar att elever lär sig mer om man inte ger poäng eller betyg
under kursens gång (Sadler, 1989, Black och Wiliam, 1998a, Wiliam, 1999). Målet
måste alltså vara att inte använda poäng eller betyg när man bedömer olika elevprestationer. Det är dock ett dilemma i det kursutformade betygssystemet där lärare är
skyldiga att hålla eleverna informerade om på vilken betygsnivå de befinner sig och där
betyg ska sättas efter varje kurs. Om man ska låta bli att ge betyg på prov och uppgifter
måste man ha ganska täta muntliga kurssamtal med varje elev, något som är svårt att
hinna med i stora grupper på 25-30 elever.
7.6. Validitet
I min studie vill jag åstadkomma ett förändrat didaktiskt kontrakt. Jag har använt både
kvantitativa och kvalitativa metoder. Enligt Mertens (2005) finns det ingen korrekt
metod att undersöka effekterna av de åtgärder jag vidtar, utan det viktiga är att jag
beskriver exakt hur jag gör. Det är omöjligt att i detalj beskriva aktiviteterna i en hel
kurs som omfattar 100 poäng, men jag har noggrant beskrivit de delar som har med
inlämningsuppgifterna och kamratbedömningen att göra.
Om man gör flera förändringar är det svårt att avgöra vilken eller vilka som ger effekt
(Mertens, 2005). Jag har sedan flera år låtit elever arbeta med inlämningsuppgifterna
hemma. Under de senast två åren har eleverna dessutom haft tillgång till mina matriser.
Jag upplevde ändå att eleverna inte riktigt tog uppgifterna på allvar. I pilotunder-
52
sökningen införde jag för första gången kamratbedömning. I själva undersökningen lät
jag dessutom eleverna arbeta med uppgifterna under lektionstid. Det är två förändringar
som är oberoende av varandra. Att ge eleverna tid för arbetet i skolan är en markering
att det är en viktig aktivitet. Kanske hade elevernas inställning till uppgifterna
förändrats enbart genom denna åtgärd. Jag har kunnat konstatera att elevernas
engagemang vid kamratbedömningstillfällena successivt har ökat. Kommentarerna i
gensvarsprotokollen har blivit fler, utförligare och har utvecklats från att bara omfatta
redovisningarnas tydlighet till att även omfatta lösningarnas kvalitet. Jag anser därför
att det är kombinationen av åtgärder som leder till ett förändrat didaktiskt kontrakt.
Det finns forskning som visar att elever förmodligen anstränger sig lite extra vid
kamratbedömning (Black, m.fl., 2003). Mertens (2005) anser att just det faktum att man
får extra uppmärksamhet kan göra att man anstränger sig mer. Eleverna var medvetna
om att de ingick i ett forskningsprojekt och de tyckte att det var lite spännande. Jag tror
inte att det i sig skulle få dem mer engagerade i matematik.
Mertens (2005) anser att man ska vara uppmärksam på det hon kallar nyhetens behag.
Ibland är något roligt just för att det är nytt. Det finns ingen enkätfråga som behandlar
huruvida matematik har blivit roligare. Det är synpunkter som har kommit fram vid
samtal. Tanken är att arbete med inlämningsuppgifter och kamratbedömning ska vara en
del av matematikundervisningen som då blir mer varierad. Flera elever har lyft fram att
det har varit positivt att lektionerna inte alltid har sett likadana ut. Eleverna i
undersökningen har arbetat med inlämningsuppgifter vid fem tillfällen och med
kamratbedömning vid tre tillfällen. I slutet av läsåret var därmed inte arbetssättet nytt.
En anledning till att önskade förändringar uteblir är att man inte har låtit försöket pågå
under tillräckligt lång tid (Mertens, 2005). Eftersom eleverna inte hade arbetat med
inlämningsuppgifter och kamratbedömning tidigare är ett läsår ganska kort, men det var
den tid jag hade på mig. Visserligen ska alla eleverna även läsa B-kursen, men då görs
grupperna om beroende på deras val av inriktning. Jag anser att det didaktiska
kontraktet har förändrats. Jag tror dock inte att förändringen ännu är så djup att de här
eleverna själva skulle efterfråga inlämningsuppgifter och kamratbedömning.
Ett sätt att öka validiteten i den här typen av forskningsstudier är att använda sig av
triangulering, det vill säga att jämföra information som har samlats in på olika sätt
(Mertens, 2005). Jag grundar mina slutsatser på enkäter, samtal med elever och mina
observationer av vad som händer i klassrummet. Kan jag lita på enkätsvaren? Det beror
naturligtvis på om eleverna bemödar sig om att svara sanningsenligt. Det får jag aldrig
svar på, men jag anser att resultaten från enkäterna, samtalen och mina observationer är
53
samstämmiga. De flesta elever är positiva till det sätt vi har arbetat på. Det finns dock
några få som hellre hade velat arbeta på traditionellt sätt.
Enligt Mertens (2005) är ett hot mot validiteten att den som ska utföra uppdraget inte
gör riktigt så som forskaren hade tänkt. I det här fallet är det jag som både planerar och
genomför studien vilket gör att jag är väl insatt i verksamheten.
Kan den här undersökningens resultat appliceras på en annan grupp. Om man kan
observera samma resultat i en annan situation sägs resultaten vara generaliserbara
(Mertens, 2005). Jag har genomfört förändringarna i mina egna undervisningsgrupper.
Jag påbörjade förändringsarbetet läsåret 2006-2007 och genomförde då också min
pilotundersökning. Året därpå genomförde jag förändringarna mer systematiskt.
Resultaten från båda undersökningarna pekar i samma riktning. Därmed kan jag dock
inte påstå att det kommer att bli ett liknande resultat i en grupp elever som har valt
samma gymnasieprogram nästa år eftersom det då är andra individer. Mertens skriver
att det är viktigt att forskaren reflekterar över sina egna värderingar, förmodanden,
antaganden, åsikter och förutfattade meningar. Hur mycket påverkar det resultaten att
jag verkligen vill ha en förändring? Jag är övertygad om att en förutsättning för att få
elever med sig i förändringsprojekt är att läraren förmedlar entusiasm och att han eller
hon envist står på sig även om det tar emot i början. Jag tror därför att även nästa grupp
kommer att uppleva förändringarna positivt.
54
8. SLUTSATSER OCH FRAMTIDSPERSPEKTIV
Jag kan konstatera att det har varit positivt att låta elever arbeta med inlämningsuppgifter, matriser och kamratbedömning. Mest glädjande är att vid samtal har många
elever uttryckt att under det här läsåret har matematik varit roligare än tidigare. De
säger att lektionerna inte alltid har sett likadana ut och att det har varit roligt och
utvecklande att diskutera och samarbeta med olika kamrater.
Leder det här sättet att arbeta till att elever upplever matematiken mer meningsfull och
begriplig? Jag kan tyvärr inte påstå att de här eleverna har lärt sig mer än andra elever,
även om en del säger att de har gått framåt och känner sig säkrare. Jag är dock
övertygad om att det är utvecklande för elever att ibland arbeta med uppgifter som
kräver ett mer kreativt tänkande än vad lärobokens rutinuppgifter gör. En förutsättning
för att arbetet med inlämningsuppgifter ska bli meningsfullt är att det utgör en del av
den planerade verksamheten. Eleverna måste få god tid på sig i skolan och man måste
betona att det är meningen att de ska samarbeta. Elever som är vana vid tyst enskilt
arbete måste uppmuntras att aktivt delta i diskussioner och läraren måste poängtera att
det är intressant för alla att ta del av flera olika strategier för att lösa en uppgift.
Elevernas uthållighet är inte så stor. Man vill helst direkt veta vad man ska göra. Det
krävs tålamod för att få elever att förstå att problemlösning tar tid och att det är en rolig
utmaning att tillsammans försöka tänka ut lämpliga strategier utifrån de kunskaper man
har. Läraren måste organisera kamratbedömningen. Det är viktigt att eleverna får se
goda exempel åtminstone de första gångerna för att det ska upplevas meningsfullt. Det
är också viktigt att eleverna känner sig trygga med varandra, vilket kan vara svårt för
läraren att bedöma i förväg. Av klassrumsaktiviteten och av de avslutande kurssamtalen
framgår att flera elever tycker att de här aktiviteterna är roliga. Roligt är naturligtvis inte
det samma som meningsfullt, men jag tror att förutsättningarna för att verksamheten ska
kännas meningsfull ökar, om eleverna har en positiv inställning och tycker att
matematik är roligt.
Det tar tid att hitta uppgifter som är utvecklande för elever. Black, m.fl. (2003) skriver
att om det ska bli en förändring så måste lärare förses med konkreta exempel att arbeta
med. Stedøy (2006) beskriver ett utvecklingsprojekt där forskaren först arbetade fram
ett lämpligt läromedel. Jag tror dock inte att sådana uppgifter ska finnas i en lärobok,
åtminstone inte så länge de elever vi möter på gymnasiet kommer från ett didaktiskt
kontrakt som är väldigt likt uppgiftsparadigmet (Alrø, och Skovsmose, 2006).
Matematikundervisning är för dem i princip bara genomgångar och färdighetsträning i
en lärobok. Jag tror att det är bra att markera att man använder läroboken för just
färdighetsträning och att det är ett viktigt moment som olika elever behöver olika
55
mycket av. Sfard (1991) skriver att begreppsutvecklingen hos varje individ går från en
operationell till en strukturell förståelse som sedan leder till en ny operationell
förståelse. Jag skulle istället vilja att läroboken kompletteras med en fyllig uppgiftsbank
med större och mindre uppgifter som kräver ett mer kreativt tänkande och som
uppmuntrar till samarbete. Risken med att låta dessa uppgifter finnas i en lärobok är att
eleverna inte upplever skillnaden mellan dem och rutinuppgifterna.
Jag anser att matriser är ett bra hjälpmedel för både lärare och elever för att förtydliga
hur en bra redovisning av en matematikuppgift ska se ut. Innehållet i de matriser som
jag har använt behöver dock utvecklas så att elever kan se ett tydligare samband mellan
uppgifterna och kursmålen och betygskriterierna. De första matriser som elever kommer
i kontakt med bör vara uppgiftsspecifika men målet är att de ska kunna använda en
generell matris.
En formativ bedömning kräver åtminstone i utvecklingsskedet mer arbete för läraren
(Black, m.fl., 2002). Det tar tid att ge feedback på inlämningsuppgifter. Trots att mina
matriser kan förbättras är de arbetsbesparande, eftersom vissa kommentarer kan
utelämnas och ersättas med markeringar i matrisen. Tyvärr saknar jag arbetskamrater att
diskutera både uppgifter, matriser och bedömning av elevarbeten med. Jag tror att det är
en förutsättning för att det ska bli en bestående förändring och för att man ska hitta en
balans mellan olika typer av kunskapskontroller så att elever på en skola upplever att de
betygsätts på likartat sätt. Webb (2004) skriver att det är svårt att göra annorlunda än
sina kollegor. Jag har hittills varit ganska ensam på min skola om att försöka arbeta på
detta sätt. Till min glädje har dock nyfikenheten ökat och ett par av mina kollegor har
sent i vår, efter de nationella proven låtit eleverna arbeta med några av mina uppgifter.
Det finns undersökningar som beskriver nackdelar med traditionell bedömning och som
istället förordar en mer allsidig bedömning (Even, 2004, Jönsson och Svingby, 2007b). I
kursmål och betygskriterier (Skolverket, 2000b) betonas färdigheter som inte kan testas
vid traditionell bedömning. Förmåga till självvärdering lyfts fram som en viktig
kompetens inför framtidens krav på ett livslångt lärande (Black och Wiliam, 1998a).
Det finns forskning som visar att kamratbedömning kan vara ett led i att träna sig i att
bedöma sin egen insats (Black m.fl., 2003). En förutsättning för att kunna bedöma sig
själv och andra är att man har en klar uppfattning om vad som ska bedömas och vilka
kriterier som ska användas (Black och Wiliam, 1998a). Jönsson och Svingby (2007a)
har kunnat konstatera att matriser kan vara användbara för elever vid själv- och
kamratbedömning, men att det finns få undersökningar gjorda. Jag har valt att låta
elever arbeta med uppgifter som kräver ett mer kreativt resonemang än traditionella
läroboksuppgifter. Jag har konstruerat matriser till dessa uppgifter. Matriserna är tänkta
56
att fungera som ett hjälpmedel både för att förtydliga uppgifterna och för att synliggöra
de kriterier som uppgifterna bedöms efter. Jag har dessutom organiserat kamratbedömning för att få elever att reflektera över sina kamraters redovisningar. Jag skrev i
inledningen (avsnitt 1.1) att det inte finns någon dokumenterad forskning som beskriver
hur man kan arbeta med matriser och kamratbedömning i matematik. Jag har visat att
det är ett arbetssätt som kan bidra till att stimulera elever att engagera sig i uppgifterna
och att utveckla sina lösningsmetoder och sitt sätt att redovisa.
När man inför matriser förändras undervisningen. Man kommer att ge eleverna andra
typer av uppgifter att arbeta med. Det didaktiska kontraktet måste omförhandlas vilket
tar tid och kräver både lyhördhet och tålamod från lärarens sida. Denna rapport är ett
konkret exempel som man kan välja att prova i sitt klassrum eller bara inspireras av. Jag
har provat arbetssättet i två olika grupper med positivt resultat. Jag är övertygad om att
det kan användas som ett sätt att variera undervisningen i alla matematikgrupper inte
bara för gymnasieungdomar som läser kurs A. Eftersom det tar tid att förändra ett
didaktiskt kontrakt tror jag att det är en fördel att vänja elever vid detta arbetssätt tidigt i
grundskolan.
Jag har använt Skovsmose och Borbas aktionsforskningsmodell (Skovsmose och Borba,
2006). Den första fasen, pilotundersökningen, pågick under några veckor i slutet av en
kurs. Den andra fasen, själva undersökningen, pågick under ett helt läsår. För mig var
det en nyttig upplevelse att stanna upp och definiera hur utgångsläget - den aktuella
situationen - verkligen såg ut. Det var också nyttigt att reflektera över hur situationen
istället skulle kunna vara – den tänkta situationen. Det gjorde att jag fick en ganska klar
bild av vilka åtgärder som skulle kunna leda till den önskade förändringen –
pedagogiska föreställningar. Att sedan analysera hur det didaktiska kontraktet har
förändrats – kritiska reflektioner i förhållande till den förändrade och den tänkta
situationen - och sedan definierar en ny aktuell situation är ett tillfälle att, om det
behövs, förändra riktningen under resans gång. Erfarenheter från en fas leder ofta till att
den tänkta situationen förändras något, vilket också innebär att de pedagogiska
föreställningarna ändras. Den mest markanta förändringen jag genomförde under den
andra fasen var att eleverna fick arbeta med inlämningsuppgifterna under lektionstid.
I allt förändringsarbete är det viktigt att ha realistiska förväntningar. Det tar tid att
förändra ett didaktiskt kontrakt och det tar ännu längre tid för förändringarna att få
genomslag. Jag är besviken över att mina elever inte lyckades bättre på det nationella
provet. Jag är dock glad över att eleverna uttrycker att det har varit en roligare
matematikundervisning. För min personliga del är det bra att jag ännu inte är nöjd. Det
driver mig att arbeta vidare med fas tre.
57
Jag har under min yrkesverksamma tid kommit till insikt om att nyckelordet är
variation. Jag tror på en varierad matematikundervisning där inlämningsuppgifterna
ingår och där kamratbedömning förhoppningsvis blir en naturlig del av verksamheten.
Det finns en fast rotad tradition för hur undervisningen i matematik ska se ut. Det visas i
forskningsrapporter (SOU, 2004) och det framgår av elevernas inställning till ämnet när
de kommer till gymnasiet. Det börjar komma gymnasieelever (i den här gruppen två)
som beskriver andra erfarenheter av matematikundervisning än färdighetsträning i en
lärobok. Om de intentioner som kommer till uttryck i våra styrdokument ska infrias
behövs mer forskning om undervisningspraktiken och mer stöd till enskilda lärare i
form av konkret material att arbeta med. Det finns också väl inarbetade normer för hur
vi bedömer elevernas matematikkunskaper. Selghed (2004) har visat att lärare inte
bedömer enligt kursmål och betygskriterier utan så som de alltid har gjort. Min
undersökning visar att det går att förändra elevers inställning till matematik och
matematikundervisning. Förhoppningsvis går det också att förändra lärares inställning
till bedömning och matriser kan vara ett stöd i denna förändring.
58
REFERENSER
Alrø, H. och Skovsmose, O. (2006). Undersøgende samarbejde i
matematikundervisning – udvikling af IC-Modellen. I Skovsmose, O och Blomhøj,
M. (red.) Kunne det tænkes? – om matematiklæring pp. (110-126). Köpenhamn:
Malling Beck A/S.
Andrade, H.G. (1997). Understanding rubrics. Educational Leadership, 54(4), 4-8.
Andrade, H.G. (2000). Using rubrics to promote thinking and learning. Educational
Leadership, 57(5), 13-18.
Andrade, H. och Du, Y. (2005). Student perspectives on rubric-referenced
assessment. Practical Assessment, Research & Evaluation, 10(3). Hämtad 07-01-22
från http://PAREonline.net/getvn.asp?v=10&n=3.
Arter, J och McTighe, J. (2001). Scoring rubrics in the classroom: Using
performance criteria for assessing and improving student performance. Thousand
Oaks: Corwin Press, Inc.
Black, P. (1998). Testing: Friend or foe? Theory and practice of assessment and
testing. London: Falmer press.
Black, P.; Harrison, C.; Lee, C.; Marshall, B. och Wiliam, D. (2002). Working inside
the black box: Assessment for learning in the classroom. London: Department of
Education and professional Studies, King´s College.
Black, P.; Harrison, C.; Lee, C.; Marshall, B. och Wiliam, D. (2003). Assessment for
learning:Putting it into practice. Buckingham: Open university press.
Black, P. och Wiliam, D. (1998a). Assessment and classroom learning. Assessment
in Education: Principles, Policy and Practice, 5(1), 7-73.
Black, P. och Wiliam, D. (1998b). Inside the black box: Raising standards through
classroom assessment. Phi Delta Kappan, 80(2), 139-148.
Bodin, A. (1993). What does to assess mean? The case of assessing mathematical
knowledge. In Niss, M. (red.), Investigations into assessment in mathematics
education, (pp. 113-141). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
Boesen, J. (2006). Assessing mathematical creativity: Comparing national and
teacher-made tests, explaining differences and examining impact.
Doktorsavhandling. Umeå universitet.
59
Even, R. (2004). Using assessment to inform instructional decisions: How hard could
it be? Publicerad av TSG27: Internal assessment, ICME10. Hämtad från
www.icme10.dk.
Freccero, U.; Hortlund, T. och Pousette, A. (2005). Bedömning av kvalitativ kunskap.
Konkreta exempel från gymnasieskolan. Solna: Gymnasietidningen/grundskoletidningen/Fortbildningsförlaget.
Gipps, C. (2001). Sociocultural aspects of assessment. I: Svingby, G. och Svingby, S.
(Red.), Bedömning av kunskap och kompetens, (sid 15-67). Stockholm:
Lärarhögskolan i Stockholm, PRIM-gruppen.
Jaworski, B. (2000). The student – teacher – educator – researcher in the
mathematics classroom. Co-learning partnerships in mathematics teaching
development. I Bergsten, C.; Dahland, G. och Grevholm, B. (red.) Research and
action in the mathematics classroom. Proceedings from the 2nd Swedish Mathematics
Education Research Seminar (MADIF 2), s. 37-54. Linköping: Svensk Förening för
Matematikdidaktisk Forskning.
Jönsson, A. och Svingby, G. (2007a). The use of scoring rubrics: Reliability, validity
and educational consequences. Educational research Review, 2, 130-144.
Jönsson, A. och Svingby, G. (2007b). Underlag till ramverk för en
provbank/bedömningsresurs i grundskolan. Rapport från Skolverket. Hämtad 07-1029 från www.skolverket.se/publikationer?id=1678.
Kjellström, K. (2005). Bedömningsmatriser – en metod för analytisk bedömning. I
Lindström, L. och Lindberg, V. (red.). Pedagogisk bedömning. Om att dokumentera,
bedöma och utveckla kunskap (pp. 193-217). Stockholm: HLS Förlag.
Korp, H. (2003). Kunskapbedömning – hur, vad och varför? Stockholm:
Myndigheten för skolutveckling.
Kosnik, C. och Beck, C. (2000). The action research process as a means of helping
student teachers understand and fulfil the complex role of the teacher. Educational
Action Research, 8(1), 115-136.
Lindström, L. (2005). Pedagogisk bedömning. I Lindström, L. och Lindberg, V.
(red.) Pedagogisk bedömning. Om att dokumentera, bedöma och utveckla kunskap
(pp. 11-27). Stockholm: HLS Förlag.
60
Lorentz, H. (2004). Aktionsforskning: Om likheter och olikheter i användning och
benämning inom pedagogisk forskning. Pedagogiska uppsatser 37. Lund:
Pedagogiska institutionen, Lunds universitet.
Läroplan för det frivilliga skolväsendet, Lpf94. Stockholm:
Utbildningsdepartementet, Fritzes.
Mattsson, M. (2006). Hur bedöma praxisorienterad forskning? I Bronäs, A.;
Selander, S.; Lindström, L.; Saugstad, T. och Rolf, B. (red.) Verklighet, verklighet:
teori och praktik i lärarutbildningen (pp. 198-223). Stockholm: Norstedts
Akademiska Förlag.
Mertens, D. M. (2005). Research and evaluation in education and psychology.
Integrating diversity with quantitative, qualitative, and mixed methods. Thousands
Oaks: Sage publications, Inc.
Morgan, C: (2000). Better assessment in mathematics education? A social
perspective. I Boaler, J. (red.). Multiple perspectives on Mathematics teaching and
learning (pp.225-242). London: Ablex Publishing.
Morrell, P.D. och Ackley, B.C. (1999). Practicing what we teach: Assessing preservice teachers´ performance using scoring guides. Paper presented at the annual
meeting of the American Educational Research Association, Montreal, Canada.
Hämtad 07-10-18 från
http://eric.ed.gov/ERICDocs/data/ericdocs2sql/content_storage_01/0000019b/80/17/
97/bc.pdf .
Mullen, Y.K. (2003). Student improvement in middle school science. Unpublished
master thesis. USA: University of Wisconsin. Hämtad 071018 från
http://eric.ed.gov/ERICDocs/data/ericdocs2sql/content_storage_01/0000019b/80/1b/
2a/85.pdf .
Nationalencyklopedin (1995). Ett uppslagsverk på vetenskaplig grund utarbetad på
initiativ av statens kulturråd. Första bandet. Höganäs: Bokförlaget Bra Böcker.
Niss, M. (2001). Den matematikdidaktiska forskningens karaktär och status. I
Grevholm, B. (red.). Matematikdidaktik – ett nordiskt perspektiv. Lund:
Studentlitteratur.
Pettersson, A. (2005). Bedömning – varför, vad och varthän? I Lindström, L. och
Lindberg, V. (red.) Pedagogisk bedömning. Om att dokumentera, bedöma och
utveckla kunskap (pp. 31-42). Stockholm: HLS Förlag.
61
Sadler, R.D. (1989). Formative assessment and the design of instructional systems.
Instructional Science 18, 119-144.
Selghed, B. (2004). Ännu icke godkänt. Lärares sätt att erfara betygssystemet och
dess tillämpning i yrkesutövningen. Doktorsavhandling. Lärarutbildningen, Malmö
Högskola.
Selghed, B. (2006). Betygen i skolan – kunskapssyn, bedömningsprinciper och
lärarpraxis. Stockholm: Liber.
Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on
processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in
Mathematics, 22, 1-36.
Skemp, R. (1976). Relational and instrumental understanding. Mathematics
Teaching, Bulletin of the Association of Teachers of Mathematics, 77, 20-26.
Skolverket (2000a). Gymnasial utbildning. Kursinfo. Ämnet matematik. Hämtad
070921 från www.skolverket.se.
Skolverket (2000b). Gymnasial utbildning. Kursinfo. MA1201 – Matematik A. Mål
och betygskriterier. Hämtad 070921från www.skolverket.se.
Skolverket (2007). Provbetyg – Slutbetyg - Likvärdig bedömning? En statistisk
analys av sambandet mellan nationella prov och slutbetyg i grundskolan, 1998-2006.
Sammanfattning av rapport 300. Stockholm: Fritzes
Skolverket (2008). Information till lärare inför de nationella kursproven i matematik
våren 2008. Prim-gruppen, Umeå universitet.
SOU 2004:97. Att lyfta matematiken – intresse, lärande och kompetens. Stockholm:
Utbildningsdepartementet.
Skovsmose, O. och Borba, M. (2006). Research methodology and critical
mathematics education. Roskilde: Publication no 17. Centre for Research in Learning
Mathematics. Roskilde Universitetscenter.
Stedøy, I. (2006). Hur blir man en duktig matematiklärare? I Boesen, J.;
Emanuelsson, G.; Vallby, A. och Vallby, K. Lära och undervisa i matematik –
internationella perspektiv, sid 241-257. Göteborg: Nationellt centrum för
matematikdidaktik.
Taflin, E. (2007). Matematikproblem i skolan - för att skapa tillfälle till lärande.
Doktorsavhandling. Umeå universitet.
62
Topping, K. (2003). Self and peer assessment in school and university: Reliability,
validity and utility. I Segers, M.; Dochy, F. och Cascallar, E. (Red.). Optimising new
modes of assessment: In search of qualities and standards (sid 55-87). Dordrecht:
Kluwer Academic Publishers.
Webb, D. (2004). Classroom assessment as a research context: variations on a theme
of pedagogical decision making. Overview presentation for ICME 10. Publicerat av
TSG27: Internal Assessment, ICME10. Hämtad 070312 från www.icme10.dk.
Wedege, T. och Skott, J. (2006). Changing views and practices? A study of the
KappAbel mathematics competition. kapitel 2. Trondheim: Norwegian Center for
Mathematics Education.
Wiggins, G. (1998). Educative assessment: Designing assessments to inform and
improve student performance. San Francisco: Jossey-Bass
Wiliam, D. (1998). Enculturating learners into communities of practice: raising
achievement through classroom assessment. Paper presented at the European
Conference on Educational Research. Ljubljana, Slovenien. Hämtad 070312 från
www.umds.ac.uk/content/1/cb/01/29/72/enculturating.pdf.
Wiliam, D. (1999). Formative assessment in mathematics. Part 2: Feedback.
Mathematics and Special Educational Needs 5(3) 8-11.
Winsløw, C. (2006). Didaktiske elementer – en indføring i matematikkens og
naturfagenes didaktik, kapitel 7.4. Köpenhamn: Forlaget Biofolia.
Wohlin, P. (2004). Likvärdig bedömning i kemi med hjälp av bl. a. rubrics.
Skolverket, Dnr 2003:2800.
63
Bilaga 1. Uppgift med matris: Kaninburen
64
Bilaga 2. Gensvarsprotokoll
Respons på ........................................... inlämningsuppgift.
Din uppgift är att med hjälp av matrisen noga gå igenom och sätta dig in i en kamrats
lösning. Du ska försöka hitta förtjänster och brister och komma med förslag till
förbättringar. Markera i matrisen på baksidan och skriv kommentarer under rubrikerna
nedan. Med hjälp av dina synpunkter kan sedan din kamrat förbättra sin lösning innan
den lämnas in för bedömning.
Tydliggör
Ställ frågor om det du tycker är oklart och otydligt.
Värdera
Tala om vad som är bra, vilka styrkorna är. Ge komplimanger!
Funderingar
Skriv ned det du undrar över eller inte håller med om. Fråga om det du undrar över.
Ge förslag
Ge konkreta förslag.
Hälsningar från: ...................................................
65
Bilaga 3. Enkät med resultat, pilotundersökningen: Kaninburen
Enkät med resultat, pilotundersökningen: Kaninburen
Namn:
Läs påståendet och sätt ett kryss i lämplig ruta:
helt oenig = -2
oenig = -1
varken enig eller oenig = 0
enig = 1
helt enig = 2
-2
1. Matrisen:
-1
0
helt oenig
-
1
2
helt enig
a) Matrisen hjälper mig att förstå uppgiften.
0
2
3
10
10
b) Matrisen hjälper mig att lösa uppgiften.
0
0
10
11
4
c) Skillnader mellan de olika nivåerna i matrisen är tydliga.
0
2
0
11
12
d) Matrisen är för detaljerad.
6
5
10
0
4
a) Det kändes bra när jag fick veta att en kamrat skulle
ge respons på min uppgift.
6
4
10
3
2
b) Det kändes bra när jag fick veta att jag skulle ge
respons på en kamrats uppgift.
5
3
10
6
1
c) Matrisen hjälper mig när jag ska bedöma min kamrats
uppgift.
0
6
8
8
3
d) Att bedöma en kamrats uppgift är ett sätt att öka mina
kunskaper i matematik.
3
2
8
7
5
a) Det känns meningsfullt att få lov att förbättra min
uppgift innan inlämning till lärare.
0
4
3
9
9
b) Jag har nytta av min kamrats markeringar i matrisen.
1
4
6
11
3
c) Jag har nytta av min kamrats kommentarer.
1
0
3
14
7
d) När jag arbetar om min uppgift känner jag mig säkrare.
1
1
11
12
0
2. Kamratresponsen:
3. Möjligheten att få förbättra min lösning:
66
-2
4. Arbetet i sin helhet:
-1
0
helt oenig
-
1
2
helt enig
a) Jag har fördjupat mina kunskaper om areaberäkning.
1
2
9
10
3
b) Jag har fördjupat mina kunskaper om volymberäkning.
0
0
9
12
4
c) Jag har lärt mig att vara tydligare när jag redovisar så
att läsaren kan följa mina tankar.
0
1
8
9
7
d) Jag har utvecklat mitt matematiska språk.
0
0
12
10
3
e) Detta är första gången vi har använt kamratrespons i
arbetet med en inlämningsuppgift. Jag skulle vilja att
vi gör så fler gånger.
2
4
9
8
2
f) Jag tycker att det är meningsfullt att i matematik arbeta
med större uppgifter såsom "Kaninburen".
2
1
7
9
6
5. Övriga kommentarer:
Skriv gärna ner synpunkter som du vill framföra till mig.
Tycker bättre om att arbeta i boken.
Bra med hemarbeten.
Jag tyckte verkligen att det var bra att man fick möjlighet att rätta till fel.
Att göra större uppgifter är riktigt kul och omväxlande. Det jag inte tycker om är
att bedöma andras uppgifter och att få mitt bedömt.
Det är bra med relativt enkla uppgifter som man kan lösa med både enkla och
mer avancerade uträkningar.
Det kvittar om man arbetar i boken eller med andra uppgifter. Lite blandat är
nog bra.
Jag har hellre fler små uppgifter med ett konkret svar.
67
Bilaga 4. Enkät inför A-kursen
Matematik A, 100 poäng – 95 timmar i årskurs 1.
Skriv om dina förväntningar på
a) kursen (innehåll, arbetssätt mm)
b) läraren
c) dig själv
d)
Jag gick åk 9 på ………………………..-skolan i …………………………..
Jag gick åk 8 på ……………………….-skolan i …………………………..
Mitt slutbetyg från åk 9 i matematik är ………………
Jag är flicka / pojke – ringa in det som stämmer.
Framtidsplaner:
Vilken/vilka av följande förväntar du dig att avsluta?
Kryssa för det som stämmer
a) Samhällsvetarprogrammet på gymnasiet
b) En kortare Universitets- eller Högskoleutbildning (mindre än 3 år)
c) En längre Universitets- eller Högskoleutbildning (minst 3 år)
Har du redan nu tankar på något speciellt yrke eller yrkesområde? Skriv i så fall ett eller
flera tänkbara alternativ:
Har din mamma genomgått och avslutat någon/några av följande utbildningar?
Kryssa för det som stämmer
a) Längre Universitets- eller Högskoleutbildning (minst 3 år)
b) Kortare Universitets- eller Högskoleutbildning (mindre än 3 år)
c) Studieförberedande gymnasieutbildning
d) Yrkesförberedande gymnasieutbildning
e) 9-årig grundskola
f) Mindre än 9 år i grundskola
Har din pappa genomgått och avslutat någon/några av följande utbildningar?
Kryssa för det som stämmer
a) Längre universitets- eller Högskoleutbildning (minst 3 år)
b) Kortare Universitets- eller Högskoleutbildning (mindre än 3 år)
c) Studieförberedande gymnasieutbildning
d) Yrkesförberedande gymnasieutbildning
e) 9-årig grundskola
f) Mindre än 9 år i grundskola
68
Bilaga 5. Uppgift med matris: Egna statistiska undersökningar
69
Bilaga 6. Enkät med resultat: Egna statistiska undersökningar
Enkät med resultat: Egna statistiska undersökningar
Namn:
Läs påståendet och sätt ett kryss i lämplig ruta:
helt oenig = -2
oenig = -1
varken enig eller oenig = 0
enig = 1
helt enig = 2
1. Matrisen:
-1
0
helt oenig
-2
-
1
2
helt enig
a) Matrisen hjälper mig att förstå uppgiften.
0
1
6
13
3
b) Matrisen hjälper mig att lösa uppgiften.
3
2
6
10
1
c) Skillnader mellan de olika nivåerna i matrisen är tydliga.
0
2
5
7
8
d) Matrisen är för detaljerad.
3
4
8
6
2
1
2
2 Om du löste uppgiften helt på egen hand, gå till fråga 3.
Om du löste uppgiften tillsammans med en eller flera kamrater
fortsätt med frågorna nedan.
-2
a) Jag lär mig av att diskutera vilka undersökningar
som skulle kunna vara lämpliga att göra.
-1
0
helt oenig
-
helt enig
0
0
1
6
9
b) Jag lär mig av att diskutera hur vi ska redovisa.
0
0
3
7
6
c) Matrisen är ett bra diskussionsunderlag.
0
2
8
6
-2
-1
helt oenig
0
-
helt enig
0
0
5
12
6
0
0
2
6
15
3 Bedömningen
a) Markeringar i matrisen hjälper mig att förstå hur
läraren har bedömt min redovisning.
b) Lärarens kommentarer hjälper mig att förstå hur
läraren har bedömt min redovisning.
1
Vänd!
70
2
4 Arbetet i sin helhet:
-1
0
helt oenig
-2
-
1
2
helt enig
a) Jag har fördjupat mina kunskaper om hur man gör
statistiska undersökningar.
1
1
1
15
6
b) Jag har fördjupat mina kunskaper om olika typer av
diagram.
1
0
1
12
10
c) Jag har fördjupat mina kunskaper om olika lägesmått.
1
0
2
15
6
d) Jag tycker att det är meningsfullt att i matematik arbeta
med större uppgifter såsom "statistikuppgiften".
0
2
3
15
4
e) Jag skulle ha velat arbeta med diagram i matteboken
istället för att göra egna undersökningar.
8
8
4
1
3
5 Övriga kommentarer:
Skriv gärna ner synpunkter som du vill framföra till mig.
* Jag kunde redan "allt" med statistik och lägesmått. Uppgiften var tråkig. Du bör bli bättre på att säga ifrån
när det blir för bökigt.
71
Bilaga 7. Uppgift med matris: Dagisavgifter i Ankeborg
72
Bilaga 8. Enkät med resultat: Dagisavgifter i Ankeborg
Enkät med resultat: Dagisavgifter i Ankeborg
Namn:
Läs påståendet och sätt ett kryss i lämplig ruta:
helt oenig = -2
oenig = -1
varken enig eller oenig = 0
enig = 1
helt enig = 2
-2
1. Matrisen:
-1
0
helt oenig
-
1
2
helt enig
a) Matrisen hjälper mig att förstå uppgiften.
0
4
8
11
1
b) Matrisen hjälper mig att lösa uppgiften.
0
4
11
8
1
c) Skillnader mellan de olika nivåerna i matrisen är tydliga.
0
1
4
11
8
d) Matrisen är för detaljerad.
3
10
8
2
1
a) Det kändes bra när jag fick veta att en kamrat skulle
ge respons på min uppgift.
0
4
8
9
3
b) Det kändes bra när jag fick veta att jag skulle ge
respons på en kamrats uppgift.
0
1
8
9
6
c) Matrisen hjälper mig när jag ska bedöma min kamrats
uppgift.
1
0
3
17
3
d) Att bedöma en kamrats uppgift är ett sätt att öka mina
kunskaper i matematik.
0
1
8
4
11
a) Det känns meningsfullt att få lov att förbättra min
uppgift innan inlämning till lärare.
0
0
1
7
16
b) Jag har nytta av min kamrats markeringar i matrisen.
0
0
1
12
11
c) Jag har nytta av min kamrats kommentarer.
0
0
1
8
15
d) Jag har nytta av att ha sett min kamrats lösning.
0
1
1
11
11
e) När jag arbetar om min uppgift känner jag mig säkrare.
0
2
4
10
8
2. Kamratresponsen:
3. Möjligheten att få förbättra min lösning:
73
-2
4. Arbetet i sin helhet:
-1
0
helt oenig
-
1
2
helt enig
a) Jag har fördjupat mina kunskaper om begreppet
procent
1
1
9
9
4
b) Jag har fördjupat mina kunskaper om hur man kan
jämföra olika matematiska modeller.
0
1
2
16
5
c) Jag har lärt mig att vara tydligare när jag redovisar så
att läsaren kan följa mina tankar.
0
0
4
10
10
d) Jag har utvecklat mitt matematiska språk.
0
2
7
12
3
e) Detta är tredje gången vi har använt kamratrespons i
arbetet med en inlämningsuppgift. Jag skulle vilja att
vi gör så fler gånger.
0
2
5
8
9
f) Jag tycker att det är meningsfullt att i matematik arbeta
med större uppgifter såsom "Dagis i Ankeborg".
1
2
6
8
7
5. Övriga kommentarer:
Skriv gärna ner synpunkter som du vill framföra till mig:
* Det var kul och lite annorlunda från det vi brukar göra och
det är kul när en lärare inte kör samma mönster hela
tiden.
* Det är kul att ha lite omväxling.
* Det var en kul grej med "Dagiset" för det var inte samma
sak som det brukar vara, så man får göra något annorlunda än vanligt.
* Mer uppgifter som dessa. Det var kul.
* Det var bra att vi fick jobba tillsammans om man ville. Kul
om vi gör fler liknande uppgifter/arbeten.
* Jag tycker inte så bra om såna här uppgifter, men det är
nog för att det tar lång tid innan jag förstår.
* Jag tyckte att uppgiften var väldigt svår att förstå och göra.
74
Bilaga 9. Uppgift med matris: Blomalgebra
75
Bilaga 10. Enkät med resultat, undersökningen: Kaninburen
Enkät med resultat, undersökningen: Kaninburen
Namn:
Läs påståendet och sätt ett kryss i lämplig ruta:
helt oenig = -2
oenig = -1
varken enig eller oenig = 0
enig = 1
helt enig = 2
-2
1. Matrisen:
-1
0
helt oenig
-
1
2
helt enig
a) Matrisen hjälper mig att förstå uppgiften.
1
1
5
12
6
b) Matrisen hjälper mig att lösa uppgiften.
1
1
11
11
1
c) Skillnader mellan de olika nivåerna i matrisen är tydliga.
1
2
0
8
14
d) Matrisen är för detaljerad.
8
7
8
2
0
a) Det kändes bra när jag fick veta att en kamrat skulle
ge respons på min uppgift.
0
3
7
9
6
b) Det kändes bra när jag fick veta att jag skulle ge
respons på en kamrats uppgift.
0
3
6
10
6
c) Matrisen hjälper mig när jag ska bedöma min kamrats
uppgift.
3
1
4
12
5
d) Att bedöma en kamrats uppgift är ett sätt att öka mina
kunskaper i matematik.
1
1
4
13
6
a) Det känns meningsfullt att få lov att förbättra min
uppgift innan inlämning till lärare.
0
1
0
8
16
b) Jag har nytta av min kamrats markeringar i matrisen.
0
1
3
13
8
c) Jag har nytta av min kamrats kommentarer.
0
0
1
11
13
d) Jag har nytta av att ha sett min kamrats lösning.
0
1
2
11
11
e) När jag arbetar om min uppgift känner jag mig säkrare.
0
2
4
9
10
2. Kamratresponsen:
3. Möjligheten att få förbättra min lösning:
76
-2
4. Arbetet i sin helhet:
-1
0
helt oenig
-
1
2
helt enig
a) Jag har fördjupat mina kunskaper om areaberäkning.
0
1
2
19
3
b) Jag har fördjupat mina kunskaper om volymberäkning.
0
1
2
19
3
c) Jag har lärt mig att vara tydligare när jag redovisar så
att läsaren kan följa mina tankar.
0
0
4
10
11
d) Jag har utvecklat mitt matematiska språk.
2
0
5
12
6
e) Detta är tredje gången vi har använt kamratrespons i
arbetet med en inlämningsuppgift. Jag skulle vilja att
vi gör så fler gånger.
2
1
5
6
11
f) Jag tycker att det är meningsfullt att i matematik arbeta
med större uppgifter såsom "Kaninburen".
1
2
2
9
11
5. Övriga kommentarer:
Skriv gärna ner synpunkter som du vill framföra till mig:
* Kaninburen var ganska svår jämfört med dom andra.
* Uppgifterna är bra. Får en att tänka till. Tränar lite problösning och logik. Dock så är uppgifterna ibland väldigt
svåra innan man verkligen förstår hur man ska göra.
* Det har varit roligt med kaninburen. Har lärt mig massor.
77
