MÄLARDALENS HÖGSKOLA
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Avdelningen för tillämpad matematik
Examinator: Lars-Göran Larsson
TENTAMEN I MATEMATIK
MAA123 Grundläggande vektoralgebra, TEN5 alt. TEN3
Datum: 3 oktober 2013
Skrivtid: 3 timmar
Hjälpmedel: Linjal
Detta prov är avsett för examinationsmomentet TEN5 eller alternativt (det äldre) TEN3. Provet består av åtta stycken om
varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 3 poäng. För godkänd-betygen 3, 4, och 5 på TEN5
krävs erhållna poängsummor om minst 11, 16 respektive 21 poäng, och för betygen godkänd och väl godkänd på TEN3
krävs erhållna poängsummor om minst 11 respektive 18 poäng. Om den erhållna poängen benämns Sa , och den vid tentamen
TEN6/TEN4 erhållna Sb , bestäms graden av sammanfattningsbetyg på en slutförd kurs enligt
Sa ≥ 11, Sb ≥ 9
Sa ≥ 11, Sb ≥ 9
och
Sa + 2Sb ≤ 41
→
42 ≤ Sa + 2Sb ≤ 53
→
4
Sa + 2Sb ≥ 54
→
5
och
3
Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade
i den ordning som uppgifterna är givna i.
1.
Beräkna determinanten för
2 −4
1
−1
2
5
2 −2
T
1
2 −4 1
2 −4 1
2 −1
2 2 −1
2 2 .
3
2 −2 3
2 −2 3
2.
Antag ett koordinatsystem lika med Oe1 e2 e3 . Formulera på parameterform
ekvationen för det plan π som är parallellt med vektorn −2e1 + 3e2 + e3 , och
som innehåller punkterna P : (7, −3, 2) och Q : (−3, 4, 4).
3.
Skissa området −π/3 ≤ arg(z) ≤ −π/4, Im(z) ≤ −3, och bestäm sedan på
både rektangulär form och polär form det komplexa tal som i området har
minsta möjliga realdel.
4.
5.
2x + y − z = −3
−x + 2y + 3z = −1 ?
Vilka taltripler (x, y, z) satisfierar ekvationssystemet
−2x − 3y − 2z = 2
Linjerna λ1 och λ2 ges i ett visst ortonormerat koordinatsystem av
λ1 : (x, y, z) = (−1 + t, 2 + t, −2 + 2t),
λ2 : (x, y, z) = (2t, 6 − t, 3 + t).
Linjerna skär varandra i punkten P : (2, 5, 4). Bestäm vinkeln mellan linjerna.
6.
3
2
1 2
Bestäm den matris S som löser ekvationen
S
= E,
−4 −3
1 1
där E (ibland betecknad I) är lika med enhetsmatrisen.
7.
Antag att e1 , e2 , e3 och ê1 , ê2 , ê3 är två olika HON-baser i rummet. Relationen
dem emellan ges av att ê1 pekar i samma riktning som 3e1 + e2 − 2e3 och ê3
i samma riktning som e1 − e2 + e3 . Förklara varför den givna informationen
är en korrekt och uttömmande specifikation av basen ê1 , ê2 , ê3 . Bestäm sedan
koordinaterna för ê2 med avseende på basen e1 , e2 , e3 .
8.
Låt punkterna A, B och C vara i moturs led angivna hörn i en triangel. Låt vidare D vara mittpunkten på sidan AC, och E den punkt som delar sträckan AB
i förhållandet 2 : 1 där AE är den längre delsträckan. I det plan som bestäms
−−→
av triangeln är basen e1 , e2 definierad på så sätt att de riktade sträckorna BD
−→
och AE är representanter för basvektorerna e1 respektive e2 . Bestäm, uttryckt
−−→
i basen e1 , e2 , den vektor som representeras av den riktade sträckan BC.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
TENTAMEN I MATEMATIK
MAA123 Grundläggande vektoralgebra
Avdelningen för tillämpad matematik
BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN
Examinator: Lars-Göran Larsson
Läsår: 2013/14
1.
Tentamen TEN5 / TEN3 – 2013-10-03
POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter
8
Scenario 1
1p: Korrekt tillämpat produktregeln för determinanter, och
korrekt omskrivit det(MT ) till det(M)
1p: Korrekt hanterat faktorn 1 5
1p: Korrekt bestämt det( 15 MMT M)
Scenario 2
1p: Korrekt multiplicerat ihop hela matrisprodukten
2p: Korrekt beräknat determinanten
2.
: ( x, y, z ) (7 , 3 , 2) r (2 , 3 ,1)
s (10 , 7 , 2), r , s R
3.
3 3i 2 3 e i
4.
( x, y, z ) ( 2 , 4 , 3)
3
1p: Korrekt i ekvationen för planet inkluderat en term som
är lika med kordinaterna för en punkt i planet, t.ex.
koordinaterna för någon av punkterna P och Q
1p: Korrekt i ekvationen för planet inkluderat en term som
motsvarar en vektor som är parallell med linjen genom
punkterna P och Q
1p: Korrekt i ekvationen för planet inkluderat en term som
motsvarar den explicit givna, och med planet parallella,
vektorn
1p: Korrekt illustrerat det givna området
1p: Korrekt funnit den polära formen av det särskilda
komplexa talet z1
1p: Korrekt funnit den rektangulära formen av det särskilda
komplexa talet z1
1p: Korrekt eliminerat en av de obekanta från två av ekv:na
1p: Korrekt eliminerat ytterligare en av de obekanta från en
av ekv:na
1p: Korrekt angivit den taltrippel som löser ekvationssystemet
Den som har gjort ett och endast ett räknefel i den första eller alternativt i
den andra elimineringen, och som sedan korrekt har tolkat det uppkomna
ekvationssystemet, får 2p totalt.
Den som har gjort två och endast två räknefel i den första och/eller i den
andra elimineringen, och som sedan korrekt har tolkat det uppkomna
ekvationssystemet, får 1p totalt.
Speciellt kan den som har angivit ett felaktigt svar och som inte har
kontrollerat detta gentemot ekvationssystemet få som mest 2p totalt.
1 (2)
5.
3
6.
4
1
S
1 5
1p: Korrekt identifierat två vektorer, u och v , vilka är
parallella med 1 respektive 2
1p: Korrekt formulerat || u || || v || cos( ) , där är vinkeln
mellan vektorerna u och v , som ett uttryck för skalärprodukten u v , samt korrekt bestämt värdena på skalärprodukten u v och normerna || u || och || v ||
1p: Korrekt bestämt vinkeln mellan linjerna 1 och 2
Scenario 1
1p: Korrekt från ekvationen ASB E till formen löst ut
matrisen S som S A 1B 1
2p: Korrekt utnyttjat regeln A 1B 1 (BA ) 1 för att först
matrismultiplicera och sedan behöva göra endast en
inverstagning, korrekt utfört matrismultiplikationen BA ,
och slutligen korrekt funnit inversen till BA , dvs S ,
varav 1p för en korrekt utförd matrismultiplikation
Scenario 2
Den som i något av de två första scenarierna
har inverstagit från fel håll och/eller bestämt
felaktiga inverser kan ändå få 1p totalt förutsatt att den uppkomna matrismultiplikationen
är likvärdig i svårighetsgrad och att den har
utförts på ett korrekt sätt. På motsvarande sätt
kan den som i scenario 3 har gjort fel i det
första poänggivande steget, ändå få upp till 2p
totalt förutsatt att det uppkomna ekvationssystemet är likvärdigt i svårighetsgrad och att
det har löst på ett korrekt sätt. I scenario 3 ges
1p totalt till den som i lösandet av det uppkomna ekvationssystemet endast har gjort
något enstaka fel.
7.
koord e1 ,e 2 ,e3 (eˆ 2 ) (
1
42
,
5
42
,
4
42
)
1p: Korrekt från ekvationen ASB E till formen löst ut
matrisen S som S A 1B 1
1p: Korrekt bestämt inverserna A 1 och B 1
1p: Korrekt utfört matrismultiplikationen A 1B 1
och därmed funnit den sökta matrisen S
Scenario 3
1p: Korrekt ansatt matriselementen i den sökta matrisen, och
korrekt bestämt matrisprodukten i VL:et
1p: Korrekt successivt eliminerat till det som motsvarar en
triangulär form på ekvationssystemet
1p: Korrekt bestämt de obekanta och korrekt sammanställt
matrisen S
1p: Korrekt visat att de två givna vektorerna är ortogonala,
dvs att ê1 och ê 3 är ortogonala
1p: Korrekt formulerat uttrycket för ê2 som eˆ 3 eˆ 1 , och
korrekt bestämt vektorprodukten av de givna vektorerna
1p: Korrekt normerat ê2 och korrekt specificerat vektorns
koordinater i basen e1 , e 2 , e 3
Den som har bestämt och/eller beräknat sin vektorprodukt felaktigt kan
ändå få poäng nummer tre förutsatt att den uppkomna vektorn är nästintill
likvärdig i innehåll och korrekt normerad.
8.
u BC 2e1 32 e 2
Ett av flera möjliga scenarion
1p: Korrekt funnit basvektorerna e1 u BD och e 2 u AE
uttryckta i en bas f1 ,f 2 som illustrerar två sidor av
triangeln ABC
1p: Korrekt funnit basen f1 ,f 2 uttryckt i basen e1 ,e 2
1p: Korrekt funnit u BC uttryckt i basen e1 ,e 2
Den som har angivit ett felaktigt svar, och som inte har kontrollerat detta i
en direkt vektoraddition, kan som mest få 2p totalt.
2 (2)
