6 bilder per sida

Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
1
Bakgrund och motivation
2
Mål
3
Terminologi och definitioner
4
Binära träd
5
Trädalgoritmer
6
Implementation
7
Sammanfattning
Träd
Lars Larsson
VT 2007
Lars Larsson
Träd
1
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
Lars Larsson
Träd
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
Träd är en datastruktur som används mycket flitigt inom alla
möjliga områden av datavetenskapen:
Målet med denna föreläsning är att studenterna skall:
kunna samtlig viktig terminologi gällande datastrukturen träd,
artificiell intelligens,
syntaxträd som testar om kod är skriven på rätt sätt,
vara speciellt insatta i binära träds egenskaper och
konstruktion,
snabb inmatning av text via mobiltelefoner (T9),
kunna redogöra för trädalgoritmer,
komprimering av data (exempelvis Huffmankodning för de
som läser ML),
veta skillnaden mellan olika traverseringsordningar (inklusive
pre-, post och inorder) samt
geografiska informationssystem och många fler.
veta hur träd kan implementeras på olika sätt.
Lars Larsson
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
2
Träd
3
Lars Larsson
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
Grundläggande termer
Gränsyta för träd
Trädtyper och ordning
Träd
4
Grundläggande termer
Gränsyta för träd
Trädtyper och ordning
Elementen i ett träd kallas noder och har en position och en
etikett.
Förbindelserna mellan noderna kallas för grenar.
Träd är en familj av datastrukturer som alla bygger på att ett
ändligt antal element är hierarkiskt ordnade genom en
förfaderrelation. Det finns ett element som är (mer eller mindre
avlägset) förfader till alla andra i strukturen. Datatypen är
homogen, i betydelsen att vi endast sparar en typ av värden i den.
En nod p som ligger under en annan nod q kallas för dess
barn. q är förälder till p.
Noder på samma nivå kallas för syskon.
En föräldralös nod kallas för rot (finns bara en i varje träd)
och barnlösa noder kallas för löv.
En nod p och dess avkomma heter delträd. p är då rot i
delträdet.
Lars Larsson
Träd
5
Lars Larsson
Träd
6
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
Grundläggande termer
Gränsyta för träd
Trädtyper och ordning
Kursboken har lite ovanliga definitioner gällande höjd och djup av
träd. På kursen (och i verkligheten) använder vi istället dessa:
Maximal höjd innebär att vi inte kan öka höjden genom
omflyttning av element. Hur ser sådana träd alltid ut?
Höjden h(x) för en nod x är antalet bågar på den längsta
grenen i det (del-)träd där x är rot.
Minimal höjd innebär att man inte kan flytta om noder och
få en lägre höjd.
Djupet d(x) för en nod x är antalet bågar från x upp till
roten.
Lars Larsson
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
Träd
Grundläggande termer
Gränsyta för träd
Trädtyper och ordning
7
Lars Larsson
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
Grundläggande termer
Gränsyta för träd
Trädtyper och ordning
Träd
8
Grundläggande termer
Gränsyta för träd
Trädtyper och ordning
Gränsytan finns i boken – vi tar inte upp den här!
Navigeringsorienterad specifikation: trädet betraktas som
en struktur av noder som är relaterade till varandra på det
sätt vi beskrivit hittills.
Ordnat träd – syskonen är linjärt ordnade.
Oordnat träd – syskonen har ingen inbördes ordning.
Urträd – generell träddatatyp som inte specificerar någon
relation mellan syskon alls, utan låter en annan datatyp
hantera detta. Ordnat träd och oordnat träd kan ses som
specialfall av urträd med bestämda datatyper som hanterar
syskonordningen.
Delträdsorienterad specifikation: trädet ses som
sammansättningar av delträd, alltså en rekursiv datatyp.
Uppsättningen operationer i gränsytan speglar detta
(exempelvis finns join och split).
Vilken specifikation är bäst?
Varning: ordnad betyder inte sorterad!
Trädet förändras nodvis: navigeringsorienterad.
Trädet delas upp och slås samman med andra träd:
delträdsorienterad.
Lars Larsson
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
Träd
9
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
Grundläggande termer
Gränsyta för träd
Trädtyper och ordning
Sorterad – elementens värden avgör hur elementen skall
ordnas i datatypen.
Träd
Träd
10
Grundläggande termer
Gränsyta för träd
Trädtyper och ordning
Riktade träd – man kan bara gå i en riktning (nedåtriktade
träd saknar operationen Parent och uppåtriktade saknar
operationen Children). Jämför med riktad lista!
Ordnad – elementen i datatypen har någon inbördes relation
som avspeglas i datatypens struktur.
Lars Larsson
Lars Larsson
Binära träd – varje nod kan ha maximalt två barn, och
barnen benämns ”höger” respektive ”vänster”. Dessa träd är
så viktiga att vi skall ge dem lite mer utrymme.
11
Lars Larsson
Träd
12
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
Strukturen hos binära träd är mycket viktig, och följande binära
träd är alltså inte strukturellt lika:
För ett binärt träd med n antal noder och höjden h gäller:
h ≤ n − 1 (maximala höjden)
h ≥ log2 (n + 1) − 1 ty
Antalet noder på djupet i är 2i , alltså 1, 2, 4, . . .
Antalet noder totalt i trädet är n ≤ 2(h+1) − 1
Ett träd har minimal höjd om n > 2h − 1 vilket ger
log2 (n + 1) − 1 ≤ h < log2 (n + 1)
Alltså är h av O(log2 (n))!
Lars Larsson
Träd
13
Lars Larsson
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
Slå ihop
Dela upp
Traversera
Beräkna (innehåller en hel del traversering)
15
–
–
–
–
–
bredden först
djupet först
djupet först, preorder
djupet först, inorder
djupet först, postorder
Höjd
Binära träd där varje nod antingen är ett löv eller har två barn
kallas för fullt binära träd. Dessa tillåter dålig balans
(exempelvis är det OK att alla högerbarn är löv, men att
vänsterbarnen har två barn).
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
–
–
–
–
–
Djup
Binära träd kallas kompletta om de fylls på från vänster till
höger, en nivå i taget. De har rätt bra balans.
Träd
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
14
Våra mest basala algoritmer för träd är:
Om vänster och höger delträd är ungefär lika stora har vi
balans och vägen till en godtycklig nod är O(log2 (n)).
Lars Larsson
Träd
Lars Larsson
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
bredden först
djupet först
djupet först, preorder
djupet först, inorder
djupet först, postorder
Träd
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
16
–
–
–
–
–
bredden först
djupet först
djupet först, preorder
djupet först, inorder
djupet först, postorder
Rita av det här trädet, vi kommer att behöva det fyra gånger:
Många tillämpningar bygger på att vi går igenom trädet
systematiskt (traverserar) och exempelvis:
Söker efter ett element.
Transformerar strukturen, alltså exempelvis balanserar trädet
eller sorterar dess element.
Filtrerar ut element med en viss egenskap.
Lars Larsson
Träd
17
Lars Larsson
Träd
18
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
–
–
–
–
–
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
bredden först
djupet först
djupet först, preorder
djupet först, inorder
djupet först, postorder
Varje nod besöks bara en gång, alltså (förutsatt operationer
på konstant tid) O(n).
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
19
–
–
–
–
–
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
–
–
–
–
–
bredden först
djupet först
djupet först, preorder
djupet först, inorder
djupet först, postorder
Inorder – först besöks det första delträdet inorder, sedan
föräldern, följt av de övriga delträden (inorder). I stort sett
bara intressant för binära träd.
Postorder – barnen besöks (i postorder) före föräldern.
Vi använder lämpligen en stack och eftersom vi bara besöker varje
nod exakt en gång, så är algoritmen O(n).
21
–
–
–
–
–
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
20
Preorder – föräldern besöks innan dess barn (i preorder)
Ordningen i det uppritade trädet blir:
a, b, c, d, e, f, g, h, i, j.
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
Träd
Djupet först går ut på att varje gren följs från roten till löven, i
någon ordning:
q := EmptyQueue
q.enqueue(T.getRoot())
while(q is not empty) do
node := q.dequeue()
q.enqueueMany(node.getAllChildren())
compute(node)
done
Träd
Lars Larsson
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
bredden först
djupet först
djupet först, preorder
djupet först, inorder
djupet först, postorder
Algorithm bfOrder(Tree T):
input: a tree T to be traversed
Lars Larsson
bredden först
djupet först
djupet först, preorder
djupet först, inorder
djupet först, postorder
for each level L of T do
for each node in L do
compute(node) // gör något med noden
done
done
I stort sett hela implementationen döljs av den här algoritmen! Hur
skulle ni implementera bredden-först-traversering?
Använder lämpligen en kö.
Träd
–
–
–
–
–
Algorithm bfOrder(Tree T):
input: a tree T to be traversed
Vi kan undersöka trädet nivåvis. Först roten, sedan dess barn,
sedan rotens barnbarn, och så vidare.
Lars Larsson
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
Lars Larsson
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
bredden först
djupet först
djupet först, preorder
djupet först, inorder
djupet först, postorder
Träd
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
22
–
–
–
–
–
bredden först
djupet först
djupet först, preorder
djupet först, inorder
djupet först, postorder
Algorithm preOrder(Tree T):
input: a tree T to be traversed
Algorithm preOrderBinary(BinTree T):
input: a binary tree T to be traversed
compute(T.getRoot())
for each child w of root T do
preOrder(w)
done
compute(T.getRoot())
preOrderBinary(T.getLeftChild())
preOrderBinary(T.getRightChild())
Ordningen i det uppritade trädet blir:
a, b, c, d, f, g, e, h, i, j.
Lars Larsson
Träd
23
Lars Larsson
Träd
24
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
–
–
–
–
–
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
bredden först
djupet först
djupet först, preorder
djupet först, inorder
djupet först, postorder
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
–
–
–
–
–
bredden först
djupet först
djupet först, preorder
djupet först, inorder
djupet först, postorder
Algorithm inOrder(Tree T):
input: a tree T to be traversed
Algorithm inOrderBinary(BinTree T):
input: a binary tree T to be traversed
node := T.getRoot()
inOrder(T.getFirstChild())
compute(node)
for each child w of node (except first) do
inOrder(w)
done
inOrderBinary(T.getLeftChild())
compute(T.getRoot())
inOrderBinary(T.getRightChild())
Ordningen i det uppritade trädet blir:
b, a, c, f, d, g, h, e, i, j.
Lars Larsson
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
Träd
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
25
–
–
–
–
–
Lars Larsson
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
bredden först
djupet först
djupet först, preorder
djupet först, inorder
djupet först, postorder
Träd
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
Traversering
26
–
–
–
–
–
bredden först
djupet först
djupet först, preorder
djupet först, inorder
djupet först, postorder
Algorithm postOrder(Tree T):
input: a tree T to be traversed
Algorithm postOrderBinary(BinTree T):
input: a binary tree T to be traversed
for each child w of T.getRoot() do
postOrder(w)
done
compute(node)
postOrderBinary(T.getLeftChild())
postOrderBinary(T.getRightChild())
compute(T.getRoot())
Ordningen i det uppritade trädet blir:
b, c, f, g, d, h, i, j, e, a.
Lars Larsson
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
Träd
27
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
Fält
n-länkad struktur
Barnen som lista
Trädda binära träd
+ Mycket sparsamt med minnet.
28
Fält
n-länkad struktur
Barnen som lista
Trädda binära träd
Problem: hur ser fältet ut om vi har extremt dålig balans, och bara
har högerbarn?
– Fält är statiska – vi har bestämt maximalt antal noder.
Träd
Träd
Binära träd har en egenskap som kan utnyttjas då de
implementeras med fält. Om vi indexerar fältet från 0 och upp, så
har noden med index k noderna med index 2 × k + 1 och 2 × k + 2
som barn. Exempelvis: roten (index 0) har som barn noderna med
index 1 och 2.
Vi kan spara information om en nods förälder i ett fält,
tillsammans med dess värde. Traversering blir dock mycket svår –
vi måste gå igenom hela fältet för att hitta vilka noder som är barn
till en viss nod, vilket är O(n), alltså dyrt.
Lars Larsson
Lars Larsson
29
Lars Larsson
Träd
30
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
Fält
n-länkad struktur
Barnen som lista
Trädda binära träd
Vi kan låta varje nod vara en n-länkad struktur, alltså att varje nod
innehåller referenser till sina barn (och eventuellt sin förälder).
Antalet barn är begränsat till att vara maximalt lika med n.
Fält
n-länkad struktur
Barnen som lista
Trädda binära träd
Definitionen av binära träd säger att vi maximalt kan ha 2 barn, så
en konstruktion med två länkar för barnen och en för föräldern är
mycket vanlig och den allra vettigaste.
+ Antalet noder är inte begränsat.
– Begränsar antalet barn per nod.
– Eventuellt dåligt utnyttjande av minnet – alla noder kanske
inte har n barn?
Lars Larsson
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
Träd
31
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
Fält
n-länkad struktur
Barnen som lista
Trädda binära träd
Vad händer om vi låter barnaskaran vara representerade av en lista
(eller en mängd om vi har oordnade träd)?
Träd
33
Vi har introducerat den terminologi som används gällande träd,
sett exempel på hur man kan traversera träd och slutligen hur de
kan implementeras. Binära träd har getts speciellt utrymme,
eftersom de är mycket vanliga och kan vara lättare att resonera
kring i samband med traverseringsordningar.
Träd
32
Fält
n-länkad struktur
Barnen som lista
Trädda binära träd
Ett sätt att snabba upp är att låta lövens outnyttjade barnlänkar
peka på den nod som ligger som nästa i ordningen, typiskt inorder.
Dagens föreläsning
Bakgrund och motivation
Mål
Terminologi och definitioner
Binära träd
Trädalgoritmer
Implementation
Sammanfattning
Lars Larsson
Träd
Inorder-traversering är mycket vanlig för binära träd, och vi vill
helst inte använda den rekursiva algoritmen vi presenterade tidigare
(rekursion är generellt dyrt).
Vi slipper problem med dåligt minnesutnyttjande, vi begränsas inte
till ett visst antal av varken barn eller noder och allt är frid och
fröjd!
Lars Larsson
Lars Larsson
35
Lars Larsson
Träd
34

6 bilder per sida

Related documents

Products

Support

6 bilder per sida

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib