MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik, period I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik, period I-15
Övning 1, vecka 37-38
Metsalo/Blomqvist
Materialet till uppgifterna nedan finns på sid. 3-18/45 i professor Gustaf Gripenbergs kompendium
Grundkurs i diskret matematik I. Ch. 1, 2 och 10 i Richard Hammack: Book of Proof är lämpliga som
bredvid-läsning.
Fredag
• Hemtal (som löses hemma före räkneövningen, lämnas till assistenten i början av övningen och
bedöms av kamraterna. Sätt namn (läsligt!) på varje svarspapper samt häfta ihop dem. Häftapparat
finns i Räknestugan Y190c.)
H1. Visa (t.ex mha. Venn-diagram) att för mängder A, B och C gäller att
a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) och
b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
(Jämför med tal: a ∗ (b + c) = (a ∗ b) + (a ∗ c), men a + (b ∗ c) 6= (a + b) ∗ (a + c).)
H2. Visa mha. induktion att om n är ett heltal som är större än 3, så är 2n ≥ n2 .
(Olikheten gäller naturligtvis också för n = 0, 1 och 2, men inte för n = 3.)
H3. Z3 = Z × Z × Z är mängden av ordnade heltals-tripplar, så t.ex. (17, −4711, 0) ∈ Z3 .
P = {(a, b, c) ∈ Z3 | a2 + b2 = c2 }, så P ⊂ Z3 och t.ex. (3, 4, −5) ∈ P , men (2, 3, 4) ∈
/ P.
T = {(p, q, r)| ∃x, y ∈ Z : p = x2 − y 2 , q = 2xy, r = x2 + y 2 }.
Visa att T ⊆ P , men T 6= P . (T är alltså en äkta delmängd av P .)
• Demo (som löses av assistenten under räkneövningen)
D. Fibonacci-talen definieras
som F1 =√F2 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn för n ∈ N = {1, 2, 3, . . .}.
√
5
1+
1
n
Visa att Fn = √5 ( 2 ) − √15 ( 1−2 5 )n för n = 1, 2, 3, . . ..
(Ur definitionen följer√ (via induktion!)
att Fibonacci-talen är positiva heltal. Uppgiften medför
√
5
5
1+
1−
1
1
n
n
bl.a. att även √5 ( 2 ) − √5 ( 2 ) är (positiva) heltal för n = 1, 2, 3, . . ., något som kanske
inte är helt självklart vid första påseendet.)
Måndag
• Inlämningsuppgifter (som attackeras före, under och efter räkneövningen och lämnas in för bedömning
i plåtskåpet A9 utanför Räknestugan Y190c senast 15:00. Sätt åter namn och även studienummer
på varje svarspapper samt häfta ihop dem.)
I1. Potensmängden P(A) till en mängd A har som sina element alla A:s delmängder. I synnerhet har
vi att ∅, A ∈ P(A). Visa att
a) P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B) och
b) P(A) ∪ P(B) ⊆ P(A ∪ B).
Ge även konkreta exempel på mängder A och B sådana att P(A) ∪ P(B) 6= P(A ∪ B).
I2. a) Låt U vara vår universella mängd. Låt A och B vara delmängder av U , dvs. A, B ⊂ U .
Visa att för komplementmängder gäller att (A ∪ B)c = (Ac ) ∩ (B c ).
b) Låt A1 , A2 , A3 , . . . vara delmängder av U . Visa att (A1 ∪A2 ∪. . .∪An )c = (A1 )c ∩(A2 )c ∩. . .∩(An )c
för n = 3, 4, 5, . . ..
I3. A = {n ∈ Z : 3 < n < 6} och B = {n ∈ Z : |n| = 6} är delmängder av mängden Z av heltal.
Bestäm mängderna C = A × B och P(C). Hur många element har C resp. P(C)?
• Temat för Stack-uppgifterna (som fås via länken på kursens hemsida i MyCourses och som skall
vara attackerade senast måndag kl. 01:00 vecka 38)
S1. Implikationer
S2. Hitta fel i resonemang
S3. Mängdoperationer
S4. Mängder av reella tal