Logik:
sanning, konsekvens, bevis
Martin Kaså
ft1100 samt lc1510
HT 2016
Martin Kaså
Logik: sanning, konsekvens, bevis
Giltiga argument
(Premiss 1)
(Premiss 2)
(Slutsats)
Professorn är på kontoret eller i lunchrummet
Hon är inte på kontoret
Professorn är i lunchrummet
(Premiss 1)
(Premiss 2)
(Slutsats)
Det regnar eller blåser
Det regnar inte
Det blåser
Dessa två exempel handlar om helt olika saker, men har i
någon mening samma form.
(Premiss 1)
(Premiss 2)
(Slutsats)
P eller Q
inte P
Q
Martin Kaså
Logik: sanning, konsekvens, bevis
Preliminär definition 1.
Att ett argument är giltigt betyder att:
Om premisserna är sanna så måste också slutsatsen vara sann.
Annorlunda (och kanske bättre) uttryckt:
Det finns ingen möjlig situation där samtliga premisser i
argumentet är sanna, men där slutsatsen inte är sann.
Preliminär definition 2.
Logik är studiet av argument med avseende på giltighet, när
giltigheten beror av form snarare än innehåll.
Martin Kaså
Logik: sanning, konsekvens, bevis
De två argumenten ovan (om professorn, respektive vädret) är båda
giltiga, och de är giltiga i kraft av sin form. De har dessutom
samma form, och vi kan tydliggöra den genom att ersätta de
konkreta påståendesatserna med schematiska bokstäver.
Om första premissen är sann så är någon (minst en) av P och Q
sann (i kraft av betydelsen hos eller). Om även andra premissen är
sann så är P falsk (i kraft av betydelsen hos inte). Men då är det
klart att Q är sann. Alltså är argumentet giltigt enligt vår
preliminära definition.
Alla konkreta instanser av denna form är alltså giltiga argument.
▶
Vi skriver: Premisser ⊨ Slutsats
Martin Kaså
Logik: sanning, konsekvens, bevis
Ogiltiga argument, då?
(Premiss 1)
(Premiss 2)
(Slutsats)
Det regnar eller blåser
Det blåser eller haglar
Det regnar eller haglar
P eller Q
Q eller R
P eller R
2 + 2 = 3 eller 2 + 2 = 4
2 + 2 = 4 eller 2 + 2 = 5
2 + 2 = 3 eller 2 + 2 = 5
Det går att hitta ett motexempel på samma form.
Premisser ⊭ Slutsats
Martin Kaså
Logik: sanning, konsekvens, bevis
Detta är en både teoretiskt och praktiskt användbar definition av
giltighetsbegreppet (eller, som man också säger, relationen logisk
konsekvens).
Men den är förstås inte ”oskyldig” – det är (delvis) ett val vi gör,
och att välja just denna definition bygger på vissa förutsättningar,
och har en del konsekvenser som det är bra att vara medveten om.
Martin Kaså
Logik: sanning, konsekvens, bevis
Bivalens
Vi har till synes förutsatt att varje påståendesats (i en situation)
har precis ett av två sanningsvärden: sann/falsk.
Men det är kanske inte självklart? Hur skall vi hantera sådant som
värdeomdömen – eller fenomen som vaghet och mångtydighet – i
vårt vardagliga språk?
Martin Kaså
Logik: sanning, konsekvens, bevis
Sanningsfunktionalitet
De logiska konstanter vi introducerar idag (som och, eller, inte,. . . )
uttrycker sanningsfunktioner: sanningsvärdet hos den komplexa
satsen bestäms entydigt av sanningsvärdena hos delarna, och sättet
de är sammansatta på.
Jämför satser som (kanske) inte har sanningsvärden, tex
”Vindkraftverk är stora och vackra”, samt icke (rent)
sanningsfunktionella användningar av orden, tex ”Hon gifte sig och
blev gravid” contra ”Hon blev gravid och gifte sig”.
Martin Kaså
Logik: sanning, konsekvens, bevis
Ex falso quodlibet: vad som helst följer av en motsägelse
(Premiss 1)
(Premiss 2)
(Slutsats)
Det regnar
Det regnar inte
Pompe är glad
I vardagliga sammanhang är det tveksamt om ett sådant argument
skulle kallas giltigt. Det tycks i alla händelser vara tämligen
oanvändbart, och det verkar rimligt att säga att premisserna saknar
relevans för slutsatsen.
Martin Kaså
Logik: sanning, konsekvens, bevis
Ex falso quodlibet (forts.)
Men enligt den definition vi använt är det klart att argumentet är
giltigt. Eftersom det är omöjligt för premisserna att båda vara
sanna (i samma situation) så är det förstår trivialt så att det är
omöjligt för premisserna att vara sanna samtidigt som slutsatsen är
falsk. Alltså: giltigt!
Så antingen får man byta definition (och därmed byta logik), eller
lära sig att leva med ”ex falso”.
Och kanske är det inte så svårt att acceptera trots allt . . .
Martin Kaså
Logik: sanning, konsekvens, bevis
Ex falso quodlibet (forts.)
De flesta upplever att dessa två slutledningar är giltiga:
(Premiss)
(Slutsats)
(Premiss 1)
(Premiss 2)
(Slutsats)
P
P eller Q
P eller Q
inte P
Q
Och om man accepterar den rimliga tanken att det går att koppla
ihop giltiga argument med varandra, så får vi just att Q följer av P
tillsammans med inte P.
Martin Kaså
Logik: sanning, konsekvens, bevis
Monotonicitet
En fundamental egenskap hos konsekvensrelationen så som vi har
definierat den är att om vi lägger till fler premisser till ett giltigt
argument så blir det resulterande argumentet fortfarande giltigt.
Om det inte finns någon situation där samtliga premisser är sanna
och slutsatsen är falsk, så finns det naturligtvis inte heller någon
situation i vilken samtliga dessa premisser och dessutom några nya
extra premisser är sanna och slutsatsen är falsk.
Observera att det finns andra typer av ”inferens” där monotonicitet
inte är rimlig, exempelvis ”trolighetsbedömningar”.
Martin Kaså
Logik: sanning, konsekvens, bevis
Formalisering: symbolisk logik
Negation
Disjunktion
Konjunktion
Implikation
icke P
¬P
P eller Q
(P ∨ Q)
P och Q
(P ∧ Q)
Om P så Q
(P → Q)
Parenteserna används för gruppering i mer komplexa satser.
Liknande hur vi gör för att skilja mellan de aritmetiska uttrycken
(2 · 3) + 4 respektive 2 · (3 + 4)
Martin Kaså
Logik: sanning, konsekvens, bevis
▶
Hur definierar vi meningen hos en logisk konstant som och?
▶
Genom att ange sanningsvillkor för påståenden sammansatta
med och, i termer av sanningsvärdena hos delsatserna.
(Kom ihåg bivalens och sanningsfunktionalitet!)
▶
Kan
φ
T
T
F
F
▶
Raderna representerar tilldelningar av sanningsvärden till
delsatserna. Eller olika situationer. Eller möjliga världar.
▶
Vi kan också använda tabellerna för att avgöra om argument
(av denna enkla typ) är giltiga.
sammanfattas i en sanningsvärdestabell.
ψ (φ ∧ ψ)
T
T
F
F
T
F
F
F
Martin Kaså
Logik: sanning, konsekvens, bevis
φ
T
F
¬φ
F
T
φ
T
T
F
F
ψ
T
F
T
F
(φ ∨ ψ)
T
T
T
F
φ
T
T
F
F
Martin Kaså
ψ
T
F
T
F
(φ ∧ ψ)
T
F
F
F
φ
T
T
F
F
ψ
T
F
T
F
Logik: sanning, konsekvens, bevis
(φ → ψ)
T
F
T
T
P
T
T
F
F
Q
T
F
T
F
(P ∨ Q)
T
T
T
F
¬P
F
F
T
T
Q
T
F
T
F
Det finns ingen rad (sanningsvärdestilldelning, situation, möjlig
värld) där samtliga premisser är sanna, men där slutsatsen är falsk.
Alltså är argumentet giltigt: (P ∨ Q), ¬P ⊨ Q
Martin Kaså
Logik: sanning, konsekvens, bevis
P
T
T
T
T
F
F
F
F
Q
T
T
F
F
T
T
F
F
R
T
F
T
F
T
F
T
F
(P ∨ Q)
T
T
T
T
T
T
F
F
(Q ∨ R)
T
T
T
F
T
T
T
F
(P ∨ R)
T
T
T
T
T
F
T
F
Rad 6 representerar ett motexempel – en möjlighet för slutsatsen
att vara falsk samtidigt som samtliga premisser är sanna.
Alltså är argumentet ogiltigt: (P ∨ Q), (Q ∨ R) ⊭ (P ∨ R)
Notera att antalet rader i en tabell dubblas varje gång vi lägger till
en ”satssymbol” (som P, Q, R) – antalet möjliga kombinationer av
sanningsvärden dubblas.
Martin Kaså
Logik: sanning, konsekvens, bevis
P
T
T
T
T
T
T
T
T
F
F
F
F
F
F
F
F
Q
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
T
T
F
F
F
F
R
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
S
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
(P ∧ Q)
T
T
T
T
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
(R ∧ S)
T
F
F
F
T
F
F
F
T
F
F
F
T
F
F
F
Martin Kaså
(P ∧ S)
T
F
T
F
T
F
T
F
F
F
F
F
F
F
F
F
Logik: sanning, konsekvens, bevis
Perspektivskifte
(Jämför vad som står i IEP angående ”model-theoretic conception”
och ”proof-theoretic conception”.)
Att definiera vad (t.ex.) och betyder genom att titta på
användandet av ordet, dess funktion i argument (och i annan
kommunikation).
Martin Kaså
Logik: sanning, konsekvens, bevis
(P ∧ Q)
(Q ∧ R)
(P ∧ R)
Argumentation
Från första premissen kan vi få ut informationen P. Andra
premissen ger oss informationen R. Därför är vi, givet dessa två
premisser, berättigade att dra slutsatsen (P ∧ R).
Martin Kaså
Logik: sanning, konsekvens, bevis
Två sorters principer tycks vara aktuella här.
▶
Principer för vad som berättigar hävdandet av ett påstående
av en viss form.
▶
Principer för att få ut information ur påståenden av en viss
form.
I logiska bevissystem kallas detta ofta introduktionsregler respektive
eliminationsregler.
Martin Kaså
Logik: sanning, konsekvens, bevis
Naturlig deduktion (exemplet konjunktion)
φ
ψ
∧Intro
(φ ∧ ψ)
(φ ∧ ψ)
∧Elim1
φ
Martin Kaså
(φ ∧ ψ)
∧Elim2
ψ
Logik: sanning, konsekvens, bevis
Titta på exemplet igen.
(P ∧ Q)
(Q ∧ R)
∧Elim1
∧Elim2
P
R
∧Intro
(P ∧ R)
▶
Vi skriver (P ∧ Q), (Q ∧ R) ⊢ (P ∧ R)
Vi skulle, som ett alternativ till den tidigare ”semantiska” analysen,
kunna säga att argumentet är giltigt för att det är konstruerat med
hjälp av regler som är korrekta.
Vad betyder korrekt i detta sammanhang?
▶
Hänvisa direkt till användande – bevis är det primära
▶
Relatera till den semantiska analysen – sanning är det primära
Martin Kaså
Logik: sanning, konsekvens, bevis
Det är intuitivt klart att bevisreglerna ovan är sunda i meningen att
om det som står ovanför strecket är sant, så är det som står under
strecket också sant.
Så dessa regler kommer aldrig att ta oss från sanna premisser till en
falsk slutsats.
Fångar de dessutom in hela (den ”argumentativa”) betydelsen hos
ordet ’och’ ?
Vi har fått en (oväntad?) stark koppling mellan filosofiska teorier
kring: (i) giltighet hos argument, och (ii) språklig mening!
Martin Kaså
Logik: sanning, konsekvens, bevis
Metalogik
När vi har definierat relationerna ⊢ (som är ”syntaktisk” till sin
natur) och ⊨ (som är ”semantisk”) för en logik så är det förstås
meningsfullt att undersöka hur de förhåller sig till varandra.
Normalt hoppas vi på de två egenskaperna:
▶
Sundhet: Om Γ ⊢ φ så Γ ⊨ φ
▶
Fullständighet: Om Γ ⊨ φ så Γ ⊢ φ
Och ibland:
▶
Avgörbarhet: Det finns en algoritm som besvarar frågan
”Är φ en logisk sanning?”
Martin Kaså
Logik: sanning, konsekvens, bevis
Slut för idag
. . . och tack för idag.
Martin Kaså
Logik: sanning, konsekvens, bevis
