Kapitel 4 Ekvationer och formler
manada.se
4.1 Ekvationer och uttryck
Begrepp
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Likhet
Ekvation
Algebra
Variabel
Koefficient
Konstant term
Algebraiska uttryck
Förenkla
Formel
Andragradsekvation
Du ska kunna
• Olika metoder för
ekvationslösning
• Teckna och tolka uttryck
• Räkna med parenteser
• Använda formler för att
utföra beräkningar
• Lösa enkla
andragradsekvationer
• Lösa problem med hjälp
av ekvationer
Algebra – ett område inom matematiken där man betecknar tal med
bokstäver eller symboler
När vi räknar med bokstäver använder vi samma regler som för tal
Exempel 1
Johanna arbetar 4 timmar. Hennes lön är 120 kr.
Hon tjänar på 4 timmar (i kr) : 120 + 120 + 120 + 120 = 480 kr
Timlön 𝒂 kr ger istället: 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 4 ∙ 𝑎
Skrivs ofta som 4𝑎
Variabel - värdet på 𝒂 kan varieras och 𝒂 kallas därför en variabel
Uttryck – 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 eller 4𝑎 är exempel på ett algebraiskt uttryck
Förenkla uttryck – när vi skriver ett uttryck kortare t.ex. 4𝑎 istället 𝑎 +
𝑎+𝑎+𝑎
Uttryckets värde
Exempel 2
Patrik väger 10 𝑘𝑔 mer än sin sons dubbla vikt.
Om sonen väger 𝑥 𝑘𝑔 så beskriver uttrycket 2𝑥 sons dubbla vikt.
Patriks vikt då blir 2𝑥 + 10
Vi beräknar uttryckets värde när 𝑥 = 40
2𝑥 + 10 = 2 ∙ 40 + 10 = 90 𝑘𝑔
Om sonen väger 40 kg så väger Patrik 90 kg
Förenkla uttrycket 𝟑𝒙 + 𝟏 + 𝒙 − 𝟔
Vi samlar 𝑥 −termer för sig och siffertermerna för sig
+3𝑥 + 1 + 𝑥 − 6 = +4𝑥 − 5
Vad blir det 5𝑥 + 3𝑥?
Du vet att 5 ∙ 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
På samma sätt är 5𝑥 = 5 ∙ 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥
Därför blir
5𝑥 + 3𝑥 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 8𝑥
5𝑥
3𝑥
𝟔=𝟑×𝟐
Här har vi en likhet, båda sidor om likhetstecknet har
samma värde.
𝟔≠𝟓
Här har vi en olikhet, vardera sida om olikhetstecknet
har skilda värden.
• En ekvation är en likhet med en eller flera okända tal som
kallas variabler
• 𝒙 och 𝒚 är de variabler vi oftast använder oss av inom
matematiken
• Ekvationen har två led
𝑥 + 8 = 20
Vänstra ledet
Högra ledet
• Målet för att lösa ekvationer är att ta reda på det okända
talet 𝒙 som gör att likheten är sann
• Likhetstecknet mellan de två leden visar att 𝑥 + 8 ska vara
lika mycket som 20
• Här kan du direkt se att 𝑥 = 12
Ekvationer som
𝑥 + 8 = 20
Kallas för förstagradsekvationer och har nästan alltid en lösning
När man fått fram en lösning till en ekvation, så kan man alltid
kontrollera att lösningen stämmer genom en prövning
Då kontrollerar man att vänstra och högra ledet får samma
värde när man sätter in lösningen.
Prövning: 𝑥 = 12
Vänster led (VL): 12 + 8 = 20
Höger led (HL): 20
VL=HL
Svar: 𝑥 = 12 är lösning för ekvationen.
+𝟓
+𝟓
/𝟐
−𝟕
/𝟐
−𝟕
×𝟔
×𝟔
Jämnvikten är fortfarande intakt
En ekvation och en våg fungerar på ganska liknande sätt
Gör vi samma sak på båda sidor likhetstecknet så bevaras
likheten i ekvationen.
Exempel 1
Exempel 3
𝑥 + 5 = 26
3 ∙ 𝑥 = 102
3 ∙ 𝑥 102
=
3
3
𝑥 + 5 − 5 = 26 − 5
𝒙 = 𝟐1
Exempel 2
𝑥 − 13 = 29
𝑥 − 13 + 13 = 29 + 13
𝒙 = 𝟒𝟐
𝒙 = 𝟑𝟒
Exempel 4
𝑥
=4
17
𝑥 ∙ 17
= 4 ∙ 17
17
𝒙 = 𝟔𝟖
Det är lika många tändstickor på båda sidor av likhetstecknet.
Askarna innehåller lika många stickor. Hur många?
=
Vi kan lösa
uppgiften genom att
ta bort lika många
stickor från båda
sidor av
likhetstecknet
=
=
=
En ask innehåller 3 stickor
=
Vi ställer upp en ekvation och löser samma problem utan bild
=
𝑥+𝑥+2=𝑥+5
2𝑥 + 2 = 𝑥 + 5
=
2𝑥 − 𝑥 + 2 = 𝑥 − 𝑥 + 5
=
=
=
𝑥+2=5
𝑥+2−2=5−2
𝑥=3
=
=
=
=
Uppgift 4171
Summa av tre på varandra följande heltal är 144
a) Skriv en ekvation till situationen
b) Vilka är talen?
a)
b)
𝑥 ⟹ den första talet av tre
𝑥 + 1 ⟹ den andra talet av tre
𝑥 + 2 ⟹ den tredje talet av tre
𝑥 + 𝑥 + 1 + 𝑥 + 2 = 144
𝑥 + 𝑥 + 1 + 𝑥 + 2 = 144
3𝑥 + 3 = 144
3𝑥 + 3 − 3 = 144 − 3
3𝑥 = 141
3𝑥 141
=
3
3
𝑥 = 47 Hur vet jag att det är rätt?
Prövning för min lösning 𝒙 = 𝟒𝟕
𝑥 + 𝑥 + 1 + 𝑥 + 2 = 144
Vänster led (VL): 𝑥 + 𝑥 + 1 + 𝑥 + 2
VL⟹ 47+(47+1)+(47+2) = 144
Höger led(HL): 144
VL = HL
𝑥 = 47 är lösning för ekvationen
Svar: Talen är 47, 48, 49.
• En sportaffär säljer ut skridskor med 25 % rabatt. Ordinarie
pris för ett par skridskor är 𝒙 kr. Teckna uttrycket för priset.
• När man tecknar ett uttryck beskriver man något
• Om priset var 1000 kr skulle man efter rabatt betala 75 % av
1000 kr, vilken beräknas 0,75 ∙ 1000 kr
• Nu kostar skridskor 𝑥 kr.
• Priset beräknas på liknande sätt 0,75 ∙ 𝑥 kr
Skridskor kostade 𝑥 kr
Rabatten blir 0,25 𝑥
Man får betala 0,75 𝑥
Svar: Priset blir 0,75 𝑥
I en uttryck kallas 𝒙 för variabel eftersom 𝑥 kan anta olika värden
En hamburgare kostar 𝒙 kronor. En ostburgare kostar fyra kronor
mer. Tolka uttrycken
a) 𝑥 + 4
b) 2𝑥 + 4
c)2𝑥 + 8
a) Uttrycket 𝑥 + 4 kan tolkas som något som kostar 4 kr mer än
hamburgare, dvs. ostburgare.
Svar: Priset för en ostburgare
b) Uttrycket 2x+4 kan skrivas x+x+4, och kan tolkas som
sammanlagda priset för en hamburgare och en ostburgare
Svar: Priset för en hamburgare och en ostburgare
c) Uttrycket 2x+8 kan skrivas som x+4+x+4, och kan tolkas som
priset för två ostburgare
Svar: Priset för två ostburgare
4.2 FORMLER OCH UTTRYCK
• En formel beskriver ett
samband mellan
variabler
• Formler skrivs som en
ekvation med en
variabel i vänsterledet
och ett uttryck med en
eller flera variabler i
högerledet
Lös ut 𝒚
2𝑦 − 6𝑥 = 12
Addera 6𝑥 till
båda leden
2𝑦 − 6𝑥 + 6𝑥 = 12 + 6𝑥
12𝑥 − 4𝑦 − 8 = 0
𝒚-termen är negativ. Vi börjar därför
Med att addera 4𝑦 till båda leden
12𝑥 − 4𝑦 − 8 + 4𝑦 = 0 + 4𝑦
Dividera båda
leden med 2
12𝑥 − 8 = 4𝑦
Låt vänsterled och
högerled byta plats
2𝑦 12 + 6𝑥
=
2
2
4𝑦 = 12𝑥 − 8
Dividera båda
leden med 4
𝑦 = 6 + 3𝑥
4𝑦 12𝑥 8
=
−
4
4
4
2𝑦 = 12 + 6𝑥
𝑦 = 3𝑥 − 2
Area av en rektangel, en triangel respektive ett parallelltrapets kan beräknas med formlerna
𝐴=𝑏∙ℎ
Lös ut ℎ
𝐴=𝑏∙ℎ
Dividera båda leden med 𝒃
𝐴
𝑏
=
𝑏∙ℎ
𝑏
𝐴
𝑏
=ℎ ⟺
𝐴
ℎ=
𝑏
𝐴=
𝑏∙ℎ
2
Multiplicera båda leden
med 2
(𝑏 ∙ ℎ) ∙ 2
𝐴∙2=
2
2𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ
Dividera båda leden med 𝒃
2𝐴
𝑏∙ℎ
=
𝑏
𝑏
2𝐴
2𝐴
=ℎ ⟺ ℎ=
𝑏
𝑏
𝐴=
ℎ(𝑎 + 𝑏)
2
Multiplicera båda leden
med 2
𝐴∙2=
ℎ(𝑎 + 𝑏) ∙ 2
2
2𝐴 = ℎ(𝑎 + 𝑏)
Dividera båda leden med (𝒂 + 𝒃 )
2𝐴
ℎ(𝑎+𝑏)
=
(𝑎+𝑏)
(𝑎+𝑏)
2𝐴
2𝐴
= ℎ⟺ ℎ =
(𝑎+𝑏)
(𝑎 + 𝑏)
4.2 UNDERSÖK OCH BEVISA
En kaffe kostar 𝑥 kr
En semla kostar 15 kr mer än kaffe
Ett glas juice kostar 20 kr
Hur mycket kostar fika?
Exempel 1
2 ∙ 𝑥 + 𝑥 + 15 + 20
2 ∙ 2𝑥 + 35
Exempel 2
2 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 𝑥 + 15 + 2 ∙ 20
Vi multiplicerar in 2:an i parentesen
2 ∙ 2𝑥 + 35 = 2 2𝑥 + 35
2 ∙ 2𝑥 + 2 ∙ 35
4𝑥 + 70
2𝑥 + 2 𝑥 + 15 + 40
Vi multiplicerar in 2:an i parentesen
2𝑥 + 2 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 15 + 40
2𝑥 + 2𝑥 + 30 + 40
4𝑥 + 70
2 𝑥 + 4 ⟹ 2 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 4 ⟹ 2𝑥 + 8
4 2𝑦 − 3 ⟹ 4 ∙ 2𝑦 − 4 ∙3 ⟹ 8𝑦 − 12
Ett tal multipliceras med en parentes genom att
talet multipliceras med varje term i parentesen
När du undersöker och bevisar bör du
• läsa igenom uppgiften noga
• rita figuren om det behövs för att förstå uppgiften
• förklara och redovisa dina olika steg
• försöka att nå ett så fullständigt bevis som möjligt
• En ekvation som innehåller 𝑥 2 (uttalas 𝑥 i
kvadrat) kallas för en andragradsekvation
• 𝑥 2 = 36
• 𝑥 ∙ 𝑥 = 36
• 𝑥∙𝑥 =6∙6
• 𝑥=6
• När du löser en vanligt ekvation får du addera,
subtrahera, multiplicera eller dividera med samma tal i
båda leden
• På samma sätt kan du dra roten ur båda leden
• 𝑥 2 = 36
• 𝑥 2 = ± 36
• 𝑥 = ±6
• En del andragradsekvationer saknar lösning.
• Ekvationen 𝑥 2 = −49 saknar lösning, eftersom det inte
finns något tal som gånger sig själv blir −49
