Problem 1. Utbredning av vattenvågor är komplicerad. Vågorna är

Problem 1. Utbredning av vattenvågor är komplicerad. Vågorna är inte transversella, utan vattnet rör sig i cirklar eller ellipser. Våghastigheten
beror bland annat på hur djupt vattnet är. I grunt vatten
(vattnets djup h λ,
√
vågens våglängd) är våghastigheten given av vφ = gh,
där
g är gravitationens
p
acceleration. I djupt vatten ges våghastigheten av vφ ≈ gλ/(2π).
a) Visa att formeln för vågor på djupt vatten ger rätt enheter för våghastighet.
(1p)
Lösning: ([m][s]−2 · [m])1/2 = [m][s]−1 ; faktorn 2π har inga enheter.
1
b) Man står vid stranden på västkusten och mäter dyningens period: 5 sekunder.
Hur stor är dessa vågors frekvens? (1p)
Lösning: f = 1/T = 0,2 Hz = 200 mHz.
1
c) Dessa vågor kommer från Västerhavet och Atlanten. Vilken våglängd har de
ute på öppet hav? (1p)
1
Lösning:
p
p
v = gλ/(2π); λ = vT ⇒ λ/T = gλ/(2π) ⇔
λ2 /T 2 = gλ/(2π) ⇔
λ = T 2 g/(2π) ≈ 250/6 ≈ 40 m
Värdet är konsistent med att det är vågor på djupt vatten.
d) På långgrunda kuster är vågfronterna parallella med stranden. Varför är det
så? (1p)
Lösning:
Ute på öppet hav är vågutbredningen i samma riktning som vindarna som givit
upphov till vågorna. Vågkammarnas riktning kan ha vilken som helst vinkel med en
kust. Men den delen av vågfronten som närmar en strand, saktar sakta ner, medan
delen längre bort fortfarande har en högre hastighet. Detta gör att de kommer
samtidigt till stranden.
1
1
Problem 2. Figuren nedan visar en ljusstråle som infaller på en konkav sfärisk
spegel. Den sfäriska ytan har sitt centrum på den optiska axeln.
a) Fortsätt ljusstrålens väg. Förklara. (1p)
Lösning: Strålen fortsätter till spegens yta. Normalen där ritas så att den går
genom sfärens centrum. Den reflekterade strålan ritas så att dess vinkel
mot normalen är lika med infallsvinkeln. Obs: detta är en allmän stråle,
som inte går genom fokus.
1
b) Har en konkav spegel kromatisk aberration? Förklara (1p)
Lösning:
Speglar har ingen kromatisk aberration, eftersom reflektionslagen gäller alltid, oberoende av ljusets våglängd.
1
c) Har en konkav spegel sfärisk aberration? Förklara. (1p)
Lösning:
Ja, eftersom det är en foljd av approximationen att sin θ ≈ tan θ ≈ θ. Endast
paraxiala strålar hamnar i fokus. För att fokussera strålar som ligger längre från
den optiska axeln, behövs en parabelisk yta.
2
1
Problem 3. Figuren visar två pulser på en sträng vid t = 0; den vänstre rör sig
till höger, den högre rör sig till vänster, båda med en fart på 1 cm/s.
Hela strängen ska vara 8 cm lång. Rita strängens utvikelse vid t = 1 s, t = 1,5,
t = 2 s och t = 2,5 s. (2p)
2
@
@
@
Lösning:
&
%
@
@
@
&
%
@
@
@
@
@
&
%
@
@
@
@
@
&
%
@
@
@
%
&
Linjär superposition innebär i varje punkt att också lutningen är summan av
pulsernas lutningar. Det gäller även andra derivatan: den är summan av triangelns
andra derivata (noll) och den avrundade blockpulsens andra derivata. Avrundningarna är alltså konvexa även i superpositionen.
LATEX picture är inte matematisk, så jag nöjer mig med att ge delvågornas positioner som tunnare linjer, där dessa ska bli adderade.
3
Problem 4. På en lupp brukar förstoringsfaktor vara angiven med ett tal som är
25 delad med linsens fokalavstånd i centimeter.
a) Var kommer talet ”25”ifrån? Gör också en ritning av strålgången. (1p)
Lösning:
Det är ögats närgräns (för en standardmänniska på typ 30 år) som är 25 cm. Luppens förstoringstal ger en jämförelse till hur stor vinkel föremålet kan uppta med
blotta ögat (α i figuren) och med lupp (α0 ). Om den virtuella bilden ligger långt
bor gäller att M = 25 fcm , om den virtuella bilden ligger vid ögats närgräns blir
förstoringsfaktor en enhet större. Något som liknar Fig. 28.48 i Hewitt kan få duga
som ritning av strålgången. Det är viktigt att strålarna inte konvergerar efter linsen, utan att de är parallella (föremålet vid fokalpunkten) eller svagt divergerande
(föremålet något närmare än fokalpunkten).
1
b) Vilken nytta kan en man som Sherlock Holmes ha av de typiska detektivförstoringsglasen med fokalavstånd 25 cm? (1p)
Lösning:
Sherlock Holmes är en äldre herre och hans närgräns ligger nog längre bort än 25
cm. Om den har blivit 1 meter, är linsens förstoringsfaktor för honom 4×.
1
c) Varför finns det inga så stora förstoringsglas med en förstoring på 10×? (1p)
Lösning:
Fokalavstånd för en sådan lins är 2,5 cm. För att åstadkomma detta i glas, krävs
krökningsradier på ungefär 1,7 cm, så att diametern inte kan vara större än 3,5 cm
(och i praktiken inte mer än halv så stor pga aberrationer).
4
1
Problem 5. a) Någon fiskar med spjut. Hen ser en fisk i vattnet. Hur ska hen
sikta: på, under, över, framför eller bakom fisken? Förklara och ge
en tydlig ritning. (1p)
1
Lösning:
Hen ska sikta spjutet på där fisken finns, och det är djupare än bilden
av fisken, genom en punkt på vattenytan som är närmare än där fisken ses.
b) Och hur ska hen göra om hen vill zappa fisken med ett ljussvärd? Förklara.
(1p)
Lösning:
Hen ska sikta på bilden av fisken, eftersom strålgången är omvändbar. En eventuell
hastighet av fisken och/eller vattnet är försumbar i förhållande till ljusets hastighet.
1
c) Hur ändras ditt svar om det handlar om pyttesmå blå fiskar, och fiskarens
ljussvärd är rött? (1p)
Lösning:
Brytningen är lite större för fisken (blått ljus) än för det röda ljussvärdet, så det
blir som under a), lite under fiskens bild, genom en punkt på ytan som ligger lite
närmare.
5
1
Problem 6. Figuren nedan visar ljusintensiteten på en skärm på stort avstånd
från två spalter. Den horisontella skalan ger vinkeln från centralt
maximum i milliradian. Ljuset på spalterna är den gröna kvicksilverlinjen vid 546,1
nm.
a) Hur stort är avståndet mellan spalterna? (1p)
Lösning:
Avståndet mellan fransar är ungefär 500/33 = 15 mrad; d = λ/∆θ = 0,5461/0,015 =
36 µm.
1
b) Hur breda är spalterna? (1p)
Lösning: Avståndet till diffraktionsmönstrets första minimum är ungefär 125
mrad; a = λ/θmin = 0,5461/0,125 = 4,4 µm. Detta är fortfarande små
vinklar; skillnaden mellan vinkeln i radianer och dess sinus är försumbar
i förhållande till avläsningsfelet.
1
c) Den ena av spalterna täcks med en plastbit som absorberar hälften av ljuset.
Beskriv och förklara om och hur det påverkar mönstret på skärmen. (1p)
Lösning:
Varken bredden av diffraktionsmönstret eller avstånden i interferensmönstret ändras.
Det är bara intensiteterna som påverkas. Medelintensiteten avtar med 25 %. Maxima blir lägre (med en faktor 9/16). Minima är inte noll längre (utan de är 1/9 av
interferensmönstrets toppar).
6
1

Problem 1. Utbredning av vattenvågor är komplicerad. Vågorna är

Related documents

Products

Support

Problem 1. Utbredning av vattenvågor är komplicerad. Vågorna är

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib