STOKASTISKA VARIABLER DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Diskreta fördelningar
STOKASTISKA VARIABLER
Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).
Definition 1. En reellvärld funktion definierad på ett utfallsrum Ω kallas en (endimensionell)
stokastisk variabel.
Stokastiska variabler betecknas oftast med versaler X, Y, Z,... eller med grekiska bokstäver,
ξ (ksi eller xi) ,
η (eta) , ζ (zeta).
Exempel: I en låda finns fem lappar med talet 40, tre lappar markerade med 80 och 12
lappar markerade med 90. Vi tar ut en lapp på måfå. Möjliga utfall är följande reella tal 40,
80 ,90. Vi betecknar resultat med X. Då är X en stokastisk variabel.
Sannolikheten att X får värdet x betecknar vi med P(X=x).
T ex P(X=40)=5/20 eller P(X=80)=3/20. I det här fallet (ändligt antal möjliga utfall) kan vi
ange alla möjliga resultat med motsvarande sannolikheter:
X
P(X=x)
40
5/20
80
3/20
90
12/20
DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER
Definition 2 En stokastisk variabel kallas DISKRET om den antar numrerbart
(=uppräkneligt) antal olika värden.
Sannolikhetsfördelning för en diskret stokastisk variabel oftast anges med en tabell:
ξ
𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 𝑥𝑥)
𝑥𝑥1
𝑝𝑝1
𝑥𝑥2
𝑝𝑝2
…
…
𝑥𝑥𝑘𝑘
𝑝𝑝𝑘𝑘
…
…
� 𝑝𝑝𝑘𝑘 = 1
𝑘𝑘
Definition 3. Låt ξ vara en diskret stokastisk variabel. Funktionen p( x ) = P(x = x ) kallas
sannolikhetsfunktionen till ξ .
1 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Diskreta fördelningar
Definition 4. Låt 𝜉𝜉 vara en diskret stokastisk variabel. Följande funktion
𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≤ 𝑥𝑥)
kallas fördelningsfunktionen för 𝜉𝜉.
För en diskret s.v. kan fördelningsfunktionen bestämmas genom att addera alla p k för de x k
som är mindre eller lika med x:
F ( x) =
∑ p( x
k
)
xk ≤ x
==========================================================
VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS för diskreta s.v.
VÄNTEVÄRDET för en diskret s.v. ξ betecknas m, µ eller 𝐸𝐸(𝜉𝜉) , och definieras som
där 𝑝𝑝𝑘𝑘 = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 𝑥𝑥𝑘𝑘 )
𝐸𝐸(𝜉𝜉) = � 𝑥𝑥𝑘𝑘 ∙ 𝑝𝑝𝑘𝑘
𝑘𝑘
VARIANSEN för en diskret s.v. ξ betecknas 𝑉𝑉(𝜉𝜉) , Var, 𝜎𝜎 2 eller
𝑉𝑉(𝜉𝜉) = �(𝑥𝑥𝑘𝑘 − 𝑚𝑚)2 ∙ 𝑝𝑝𝑘𝑘
𝑠𝑠 2 och definieras som
𝑘𝑘
STANDARDAVVIKELSEN för en diskret s.v. ξ betecknas 𝜎𝜎 eller s och definieras som
𝜎𝜎 = √𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉
2 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Diskreta fördelningar
NÅGRA VIKTIGA DISKRETA FÖRDELNINGAR
Fördelning
Sannolikhetsfunk.
P (x = x)
Väntevärde
Varians
Binomial
Bin(n,p)
n x
  p (1 − p ) n − x
 x
x = 0,1,..., n
λx
e −λ ⋅
x!
x = 0, 1, 2, 3...
np
np (1 − p )
λ
λ
 N 1  N 2 
 

 x  n − x 
N
 
n
np
np (1 − p )( N − n)
N −1
Poisson
Po(λ )
Hypergeometrisk
Hyp(N,n,p)
N=N 1 +N 2
𝑝𝑝 = 𝑁𝑁1 /𝑁𝑁
========================================================
ÖVNINGSUPPGIFTER
Uppgift 1.
I nedanstående tabell finns sannolikhetsfördelning för en diskret stokastisk variabel ξ.
𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 𝑥𝑥4 𝑥𝑥5
3
4
5
8 10
ξ
𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 𝑥𝑥) 0.2 0.1 0.3 0.1 0.3
a) Bestäm väntevärdet och variansen och standardavvikelsen för ξ.
b) Rita stolpdiagrammet för tillhörande sannolikhetsfunktion 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 𝑥𝑥) .
c) Bestäm och rita grafen till fördelningsfunktion 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≤ 𝑥𝑥).
d) Beräkna följande sannolikheter:
P ( 4 ≤ ξ ≤ 8) ,
P ( 4 < ξ ≤ 8) , P ( 4 ≤ ξ < 8) , P ( 4 < ξ < 8) ,
P(ξ ≤ 8) ,
P(ξ < 8) , P( 4 < ξ ) ,
P( 4 ≤ ξ ) ,
P(ξ ≤ 10) , P(ξ > 10) , P(ξ ≤ −3) , P(ξ > −3) .
Lösning:
a) VÄNTEVÄRDET:
𝒎𝒎 = 𝐸𝐸( 𝜉𝜉) = � 𝑥𝑥𝑘𝑘 ∙ 𝑝𝑝𝑘𝑘 = 3 ∙ 0.2 + 4 ∙ 0.1 + 5 ∙ 0.3 + 8 ∙ 0.1 + 10 ∙ 0.3 = 6.3
𝑘𝑘
3 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Diskreta fördelningar
VARIANSEN: V(ξ) = ∑𝑘𝑘(𝑥𝑥𝑘𝑘 − 𝑚𝑚)2 ∙ 𝑝𝑝𝑘𝑘 =
(3 − 6.3) 2 ∙ 0.2 + (4 − 6.3) 2 ∙ 0.1 + (5 − 6.3) 2 ∙ 0.3 + (8 − 6.3) 2 ∙ 0.1 + (10 − 6.3) 2 ∙ 0.3 = 7.61
STANDARDAVVIKELSEN :
𝜎𝜎 = √𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 = √7.61 = 2.7586
b) Grafen till sannolikhetsfunktionen 𝑝𝑝(𝑥𝑥)
(stolpdiagram)
0,4
0,3
0,2
0,1
0
3
4
5
8
10
c) Fördelningsfunktion 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 ≤ 𝑥𝑥) bestäms av kumulativa sannolikheter:
 0
 0.2

 0.3
F ( x) = 
 0.6
0.7

 1
om x < 3
om 3 ≤ x < 4
om 4 ≤ x < 5
om 5 ≤ x < 8
om 8 ≤ x < 10
om 10 ≤ x
4 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Diskreta fördelningar
d) Från tabellen
ξ
𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 𝑥𝑥)
𝑥𝑥1 𝑥𝑥2
𝑥𝑥3
𝑥𝑥4
𝑥𝑥5
3
4
5
8 10
0.2 0.1 0.3 0.1 0.3
får vi:
P( 4 ≤ ξ ≤ 8) = 0.1 + 0.3 + 0.1 = 0.5 ,
P( 4 < ξ ≤ 8) = 0.3 + 0.1 = 0.4 ,
P( 4 ≤ ξ < 8) = 0.1 + 0.3 = 0.4 ,
P( 4 < ξ < 8) = 0.3 ,
P(ξ ≤ 8) = 0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.1 = 0.7 ,
P(ξ < 8) = 0.2 + 0.1 + 0.3 = 0.6 ,
P( 4 < ξ ) = 0.3 + 0.1 + 0,3 = 0.7 ,
P( 4 ≤ ξ ) = 0.1 + 0.3 + 0.1 + 0.3 = 0.8 ,
P(ξ ≤ 10) = 1 ,
P(ξ > 10) = 0 ,
P(ξ ≤ −3) = 0 ,
P(ξ > −3) = 1 .
Uppgift 2. (Hypergeometrisk fördelning)
Bland 15 produkter finns 5 defekta. Man väljer på måfå 4 produkter.
Bestäm sannolikheten att få
a) ingen defekt
b) exakt en defekt
c) minst en defekt.
5 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Diskreta fördelningar
Lösning:
a)
�50� ∙ �10
�
4
�15
�
4
b)
=
�51� ∙ �10
�
3
c)
𝟏𝟏 −
�15
�
4
�
�50� ∙ �10
4
�15
�
4
2
= 0.1538
13
= 0.43956
= 𝟏𝟏 −
2
= 0.8462
13
Binomialfördelning
Låt A vara en händelse som inträffar med sannolikheten p vid ett försök.
𝐴𝐴
𝐴𝐴𝐶𝐶
𝑃𝑃(𝐴𝐴) = 𝑝𝑝
𝑃𝑃(𝐴𝐴𝐶𝐶 ) = 𝑞𝑞 (= 1 − 𝑝𝑝)
Vi upprepar försöket n gånger och kollar hur många gånger A inträffar.
Låt ξ vara antalet gånger A inträffar vid n försök.
Då gäller
𝑛𝑛
𝑛𝑛−𝑥𝑥
𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 𝑥𝑥) = � � 𝑝𝑝𝑥𝑥 (1 − 𝑝𝑝)
,
𝑥𝑥
𝑥𝑥 = 0, 1, ⋯ , 𝑛𝑛.
Vi säger att variabeln ξ är binomialfördelad med parametrar n och p och betecknar
Man betecknar ofta 1
𝜉𝜉 ∈ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑛𝑛, 𝑝𝑝).
− 𝑝𝑝 = 𝑞𝑞. Föregående formel kan då skrivas kortare
𝑛𝑛
𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 𝑥𝑥) = � � 𝑝𝑝𝑥𝑥 𝑞𝑞𝑛𝑛−𝑥𝑥 ,
𝑥𝑥
𝑥𝑥 = 0, 1, ⋯ , 𝑛𝑛.
För en binomialfördelad s. v. ξ med parametrar n (antalet upprepningar av ett försök A) och
p (sannolikheten för ett försök A) gäller följande formler
Väntevärdet:
E(ξ) =np
6 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Diskreta fördelningar
Variansen:
V(ξ) =npq
och standardavvikelsen: σ = npq
Uppgift 3. (Binomialfördelning)
Vi planerar att producera 10 st produkter i en maskin. Sannolikheten för att en produkt blir
defekt är 5%.
Bestäm sannolikheten att få
a) exakt 1 defekt produkt
b) högst 1 defekt produkt
c) minst 1 defekt
d) ingen defekt
e) alla defekta
Lösning: Antalet defekta är en s. v. som vi betecknar med ξ .
Variabeln är binomialfördelad med parametrar
𝑛𝑛 = 10 och 𝑝𝑝 = 0.05 ( och 𝑞𝑞 = 1 − 𝑝𝑝 = 0.95),
som vi betecknar ξ ∈ Bin(10, 0.05)
a) Sannolikheten att få exakt 1 defekt produkt är
𝑝𝑝1 = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 1) = �
10 1 9
� 𝑝𝑝 𝑞𝑞 = 0.3151
1
b) Sannolikheten för högst 1 defekt produkter är 𝑝𝑝0 + 𝑝𝑝1 där
𝑝𝑝0 = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 0) = �
(𝑝𝑝1 har vi beräknat i a)
Därför 𝑝𝑝0 + 𝑝𝑝1 = 0.9139
c) 𝑃𝑃( 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑) = 𝑝𝑝1 + 𝑝𝑝2 + ⋯ 𝑝𝑝𝑛𝑛
Eftersom 𝑝𝑝0 + 𝑝𝑝1 + 𝑝𝑝2 + ⋯ 𝑝𝑝𝑛𝑛 = 1 har vi
10 0 10
� 𝑝𝑝 𝑞𝑞 = 0.5987
0
𝑃𝑃( 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑) = 𝑝𝑝1 + 𝑝𝑝2 + ⋯ 𝑝𝑝𝑛𝑛 = 1 − 𝑝𝑝0 = 1 − 0.5987 = 0.4013
d) Sannolikheten för ingen defekt är
𝑝𝑝0 = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 0) = �
e) Sannolikheten för alla defekta är
𝑝𝑝10 = 𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 10) = �
10 0 10
� 𝑝𝑝 𝑞𝑞 = 0.5987
0
10 10 0
� 𝑝𝑝 𝑞𝑞 = 9.766 ∙ 10−14
10
Poissonfördelning.
Poissonfördelningen används oftast i modeller som beskriver antalet oberoende händelser
under ett tidsintervall.
Om för en stokastisk variabel ξ gäller
𝑥𝑥
𝜆𝜆
𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 𝑥𝑥) = 𝑥𝑥! 𝑒𝑒−𝜆𝜆 ,
𝑑𝑑ä𝑟𝑟 𝑥𝑥 = 0, 1, 2, 3, ….
7 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Diskreta fördelningar
då säger vi att ξ är Poissonfördelad med parameter 𝜆𝜆 och skriver 𝜉𝜉 ∈ 𝑃𝑃𝑃𝑃(𝜆𝜆).
För en Poissonfördelad s. v. med parameter 𝜆𝜆 gäller följande formler
Väntevärdet:
E(ξ) = λ
Variansen:
V(ξ) = λ
och standardavvikelsen: 𝜎𝜎 = √𝜆𝜆
==============================
APPROXIMATION av Bin(n,p) med 𝑃𝑃𝑃𝑃(𝜆𝜆).
Om n är stor och p litet ( tumregel 𝑛𝑛 > 10, 𝑝𝑝 < 0.1) i en binomialfördelning Bin(n,p) då
kan fördelningen Bin(n,p) approximeras med Poissonfördelningen 𝑃𝑃𝑃𝑃(𝜆𝜆) med 𝜆𝜆 = 𝑛𝑛𝑛𝑛.
Uppgift 4. (Poissonfördelning)
Till en telefonväxel ankommer i genomsnitt 90 anrop per timme. Vi antar att ankomster är
Poissonfördelade. Bestäm sannolikheten att exakt 2 anrop kommer under ett tidsintervall som
är en minut långt.
Lösning.
Viktigt: Parameter λ i en Poissonfördelad s.v. ξ är lika med väntevärdet E(ξ).
Vi har i genomsnitt 90 ankomster per timme och därför 90/60=1.5 ankomster per minut.
Vi betecknar antalet ankomster per minut med λ. Då är 𝜉𝜉 ∈ 𝑃𝑃𝑃𝑃(𝜆𝜆).
där λ = 1.5 ankomster per minut. Vi använder formeln
𝑥𝑥
𝜆𝜆 −𝜆𝜆
𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 𝑥𝑥) =
𝑒𝑒 ,
och substituerar 𝜆𝜆 = 1.5 och 𝑥𝑥 = 2.
𝑥𝑥!
1.52 −1.5
𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 2) =
𝑒𝑒
= 0.2510
2!
Uppgift 5. (APPROXIMATION. Binomialfördelning, Poissonfördelning)
Man ska tillverka 1000 produkter. Vad är sannolikheten att få exakt 2 defekta produkter
bland 1000, om felsannolikheten (sannolikheten att en produkt blir defekt) är 0.003.
Lösning:
Låt 𝜉𝜉 beteckna antalet defekta produkter. Då gäller
𝜉𝜉 ∈ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵(1000,0.003).
Metod 1. Vi beräknar sannolikheten direkt (binomialfördelningen)
dvs
𝑛𝑛
𝑛𝑛−𝑥𝑥
𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 𝑥𝑥) = � � 𝑝𝑝𝑥𝑥 (1 − 𝑝𝑝)
,
𝑥𝑥
𝑥𝑥 = 0, 1, ⋯ , 𝑛𝑛.
1000 2
� 𝑝𝑝 (1 − 𝑝𝑝)998 = 0.2242
2
Metod 2. Vi kan approximera sannolikheten med hjälp av Poissonfördelningen med
parameter λ=np=1000·0.003=3.
𝑝𝑝2 = �
𝑃𝑃(𝜉𝜉 = 𝑥𝑥) ≈
𝜆𝜆𝑥𝑥 −𝜆𝜆
32 −3
𝑒𝑒
=
𝑒𝑒 = 0.2240
𝑥𝑥!
2!
8 av 8