Resonans - Malmö högskola

Malmö högskola
Teknik och samhälle
0
Modeller och verklighet
AU4, Resonans
Malmö Högskola
Hösten 06
Resonans
Laborationen har tre delar. I den ena, resonans i strängvibrationer, är målsättningen att du ska få förståelse för resonansfenomenet i ett enkelt mekaniskt system, nämligen hur en sträng kommer att vibrera med sitt största utslag när frekvensen för exciteringssignal närmar sig en av strängens egenfrekvenser. Den
andra delen av laborationen är mest en demonstration av resonansfenomenet i
ett mer komplicerat system, nämligen en platta. Till sist skall ett dämpat fjädermassa system studeras, och där massans position kring sitt jämviktsläge skall
studeras som funktion av tiden. Här skall påverkan av olika parametrar i det
vibrerande system studeras genom att jämföra tidskurvorna för massans rörelse.
Sektion 1: Transversella vibrationer i en sträng
1.1. UTRUSTNING
ƒ Science Workshop™
ƒ Vibrator
ƒ Tråd
ƒ Vikter
ƒ Våg
ƒ Stativutrustning
1.2. TEORI
En sträng där båda ändarna är fixerade kan endast ha stående vågor med noder vid ändpunkterna. Villkoret för våglängderna för stående vågor är i detta fall:
F
F
L =n
l
2
grundresonansen:
LK & DJ & JH
2006
L = l/2
MoVe_HT06VT07_AU4_labmanual
Malmö högskola
Teknik och samhälle
1
Modeller och verklighet
AU4, Resonans
där L är strängens längd och l vibrationens våglängd. I experimentet med resonansröret är lufthastigheten konstant medan man varierar våglängden (genom att variera tonens frekvens) för att
erhålla resonans i röret. I fallet med strängen är det grundtonens våglängd som hålls densamma
medan man letar efter resonansen genom att variera våg utbredningshastigheten. Denna hastighet
beror på två parametrar som är kraften F som man spänner strängen med och strängens längdmassa r (massan per längdenheten uttryckt i kg/m). Sambandet mellan dessa tre storheter är:
F
v=
r
En stor spännkraft leder till en större våghastighet, som i sin tur leder enligt uttrycket f = v/l till
en ton med högre frekvens (man ökar tonhöjden på signalen från ett gitarr genom att spänna hårdare på gitarrsträngen).
1.3. MÅLSÄTTNING
I denna dellaboration undersöks vibrationerna på en uppspänd sträng. Man studerar påverkan av
spännkraften på strängens resonansmoder.
1.4. UTFÖRANDE
ƒ Börja med att bestämma strängens längdmassa. Ta t.ex. en tillräckligt lång bit av strängen,
och väg den. Dela sedan vikten med strängens längd.
ƒ Fäst en vikt med massan 50 g i tråden. Låt trådens längd vara ca 1.20 m. Ställ in frekvensen
på tongeneratorn på t.ex. 20Hz. Reglera avståndet mellan frissan och trådens inbindningspunkt på vibratorn tills en tydlig buk uppträder på tråden. Notera detta avstånd.
ƒ Räkna spännkraften på tråden p.g.a. den hängande vikten.
ƒ Bestäm våghastigheten och frekvensen för grundtonen. Stämmer dina experimentella resultat
med teorin?
ƒ Bestäm frekvensen för första och andra övertonen. Överensstämmer igen teorin med experiment?
ƒ Gör om samma experiment som ovan, fast med en tunnare tråd. Hur förändras då resonansfrekvenserna? Våglängderna då?
ƒ
Kommentera dina resultat!
Sektion 2: Vibrationer på en platta; Chladni figurer
Denna dellaboration handlar om vibrationer av en mer komplicerat art, nämligen böjvibrationer
på en platta med en begränsad yta, och som exciteras i sitt mitt av en harmonisk kraft.
2.1. UTRUSTNING
ƒ Vibrator
ƒ Liten stålplatta
ƒ Finkornig sand
LK & DJ & JH
2006
MoVe_HT06VT07_AU4_labmanual
´
´
´
´
Malmö högskola
Teknik och samhälle
2
Modeller och verklighet
AU4, Resonans
TEORI
Teorin för detta experiment handlar om böjvågor i en platta. Ekvationen som beskriver utbredningen för denna typ av vågor är en partiell differentiellekvation i fjärde ordningen (jmfr med den
klassiska andra ordningens ljudvågsekvationen).
2.3. MÅLSÄTTNING
Syftet med detta experiment är mest kvalitativt och målet är att lära sig en praktisk metod för att
bestämma vibrationsmönstret för resonanserna hos en platta som sätts under vibration.
2.4. UTFÖRANDE
ƒ Fäst plattan på vibratorn med skruven.
ƒ Strö sanden löst och jämnt på plattan.
ƒ Ställ frekvensen för signalen som driver vibratorn till runt 20 Hz.
ƒ Börja höja frekvensen sakta och stegvis, tills tydliga nodlinjer erhålls på den vibrerande plattan. Plattan kommer eventuellt att stråla ut starkt. En resonansfrekvens har då erhållits.
ƒ Fortsätt at höja signalfrekvensen, och varje gång ett symmetriskt stabilt sandmönster syns på
plattan, har man då fått en resonans.
Sektion 3: Resonans i ett dämpat fjäder-massa system
3.1. UTRUSTNING
ƒ RLC kopplingsplatta
ƒ Science Workshop™
ƒ Voltage sensor
ƒ Sladdar.
TEORI
x
massa, m
fjäder
dämpning
k
c
LK & DJ & JH
Ett dämpat fjäder-massa system består av en massa m
kopplad till ett underlag genom en fjäder med styvheten k
och en dämpare. Dämparen oftast är av den viskösa typen,
vilket för enkelhets skull leder till att dämpningskraften är
proportionell mot massans hastighet. För ett odämpat sådant system avgörs resonansfrekvensen endast av massan
m och fjäderns styvhet. Dämpning finns i alla verkliga vibrerande system och den påverkar värdet för resonansfrekvensen (som minskar), men i de flesta fall av praktisk tilllämpning försummas denna minskning av resonansfrekvensen.
2006
MoVe_HT06VT07_AU4_labmanual
Malmö högskola
Teknik och samhälle
3
Modeller och verklighet
AU4, Resonans
Så länge källan som driver systemet vid resonansfrekvensen matar energi i systemet är detta ett
tecken på att systemet innehåller dämpning som transformerar den inmatade energi till någon
form av förlustenergi, t.ex. värme p.g.a. friktionen.
Utgångspunkten för en teoretisk studie systemets uppförande kan enklast göras genom att bestämma massans rörelse. Resonansfrekvensen kan t.ex. bestämmas genom att identifiera alla
krafterna som verkar på massan och skriva sedan att summan av dessa krafter uppfyller Newtons
andra lag. Fjädern verkar på massan med en kraft ffjäder = − kx , denna kraft motsätter sig fjäderns
utsträckning (x > 0) resp. ihoptryckning (x < 0).
Ekvationen för massans rörelse utan dämpningen uttrycks m.h.a. Newtons andra lag som:
F = -kx ⇒ ma = -kx ⇒ m
d 2x
= -kx
dt 2
eller
d 2x k
+ x =0
dt 2 m
En matematisk teknik för att lösa denna typ av differentiellekvation är att anta att lösningen kan
uttryckas som x =A·eiw t där A är amplituden och t tiden. Storheten w , alltså faktorn framför tiden i
exponenten, beskriver massrörelsens periodicitet och kallas därför vinkelfrekvensen. Den verkliga frekvensen f (antalet perioder per tidsenhet, i Hz) är f = w /2p, och periodtiden T=1/f= 2p/w .
När man deriverar x två gånger med avseende på tiden och sedan sätta dess uttryck samt uttrycket
för x i ekvationen ovan (ekvationen för massans fria rörelse) får man w 2= k/m, vilket ger syste1 k
; ju styvare är fjädern, eller är massan lättare, desto snabbare
mets resonansfrekvens f =
2p m
rör sig massan periodiskt kring sitt jämviktläge.
När man tar hänsyn ytterligare till dämpningen får man en extra term i rörelsens ekvation, nämligen:
F = -kx - cv ⇒ ma = -kx - cv ⇒ m
d 2x
dx
d 2 x c dx k
eller
=
kx
c
+
+ x =0
dt
dt 2
dt 2 m dt m
Lösningen för denna ekvation är en periodisk rörelse vars amplitud minskar med tiden, d.v.s. att
massans utslag kring sitt jämviktsläge dämpas som en exponentiellfunktion av tiden. Detta skall
du undersöka m.h.a. excell-programmet där sätter olika värden för parametrarna m, c och k.
LK & DJ & JH
2006
MoVe_HT06VT07_AU4_labmanual