Institutionen för matematik
och matematisk statistik
Umeå universitet
Lars Hellström
1
Delprov 1
Geometri och matematikens historia
Torsdag 22 november 2012
Skrivtid: 9.00–12.00
Inga hjälpmedel
Beskriv principerna (vad fanns det taltecken för, hur kunde man kombinera dem, hur tolkade man tal
skrivna med flera tecken, vilka tal kunde uttryckas?) för de talsystem som användes i:
Babylonien (åtminstone under perioden 2000–600 f.kr.),
Egypten (åtminstone under perioden 2000–600 f.kr.),
den grekisktalande kultursfären (åtminstone från 300 f.kr., och fram till att de ersattes av de romerska
numeralerna).
(2 p)
Förklara vad en »linje« är tänkt att vara – å ena sidan i Elementa och å andra sidan i moderna axiomatiseringar såsom den Kay använder sig av. (Ledning: Ordet betecknar inte samma begrepp i de två
fallen.)
Hur definieras »rät vinkel« i Elementa respektive av Kay?
(1 p)
(2 p)
Berätta om Platons filosofi, hans syn på matematiken, och den betydelse denna fick för matematikens
historia.
(2 p)
4a
b
Formulera satsen med triangelolikheten i absolut geometri (sats 3.5.2 i Kay).
Bevisa ovan nämnda sats för fallet med tre icke kolineära punkter.
(1 p)
(3 p)
5
a
b
c
Vilka (svaret på en delfråga är namnet på en person som levde under antiken) gjorde följande:
Bevisade att det finns oändligt många primtal?
(0,5 p)
Bevisade att klotets volym är 2/3 av volymen för den omskrivna cylindern?
(0,5 p)
Bevisade att om kurvan DZE som i figuren är en parabel och a är så att DH 2 = ZH · a så gäller för en
allmän punkt P på parabeln att PL2 = ZL · a?
(0,5 p)
a
b
c
2a
b
3
(2 p)
(2 p)
Z
P
D
d
e
f
L
H
E
Axiomatiserade och organiserade geometrin som sammanhållen matematisk teori?
(0,5 p)
Sammanställde en omfattande tabell över kordor i cirklar?
(0,5 p)
Formulerade paradoxer som ett led i att argumentera för att rummet och rörelse enbart var illusioner? (0,5 p)
Lycka till! /LH
