Kurs 3

1
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE
FY3 Vågrörelse
3.9.06
MÅL
Kursens mål är att de studerande skall
• få en allmän bild av periodiska fenomen i naturen och bekanta sig med de centrala
principer som förklarar dessa
• göra sig förtrogna med vibrationsrörelsens och vågrörelsens grunder genom att
undersöka mekanisk vibration, ljud eller elektromagnetiska vågrörelser.
CENTRALT INNEHÅLL
• harmoniska krafter och vibrationsrörelser
• vågrörelsers uppkomst och utbredning
• vågrörelsers interferens, diffraktion och polarisation
• reflexion, brytning och totalreflexion
• ljus, speglar och linser
• ljud, hälsoeffekter av buller och olika sätt att skydda sig mot kraftigt ljud
3.1. Harmonisk kraft (FY2 s. 5-19), jfr 4.11
För t.ex. spiralfjädrar gäller (s = x = avståndet från jämviktsläget)
F = -kx
M112
där k = fjäderkonstanten i enheten N/m. Minustecknet anger att fjäderns kraft är i motsatt
riktning till x. F = (-) kx och W = Fs = Fx ger E = ½kx2 grafiskt genom triangelns area:
den elastiska potentiella energin
Ep = ½kx2
M112
Vid harmonisk svängningsrörelse är den totala energin summan av kinetisk
(rörelse)energi och elastisk potentiell energi. Det maximala x-värdet kallas amplitud = A.
Etot = Ep + Ek = ½kA2 = ½mvx2 + ½kx2
M-
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE
2
För en massa m som oscillerar på en fjäder med konstanten k gäller (härledning se kurs 4)
att:
T = 2(m/k)
M113
där T = perioden = tiden för en svängningsrörelse. För en "matematisk pendel" (simple
pendulum) med längden l gäller (g = 9.81 m/s2) ungefärligen, för små vinklar att
T = 2(l/g)
M113
För alla svängningsrörelser eller periodiskt upprepade rörelser (ex. cirkelrörelse) gäller
att frekvensen f med enheten 1 hertz = 1 Hz = 1 s-1 är
f = 1/T
M3.2. Svängningsrörelser i en dimension (FY2 s. 20-25)
Vågrörelse består av två rörelser:
 oscillatorns lokala rörelse (vågor på vatten: vattenmolekyler, ljud:luftmolekyler,
ljus: elektromagnetiska fält som oscillerar)
 vågens rörelse vinkelrätt mot (transversella vågor) eller parallellt med
(longitudinella vågor) oscillationsrörelsen
Om endast den harmoniska kraften beaktas, gäller för oscillatorn att
F = -kx = ma vilket ger a = (-k/m)x
dvs accelerationens graf bör ha formen av lägets graf upp- och nedvänd. Hastigheten
beskriver hur läget förändras (derivatan av läget), accelerationen hur hastigheten
förändras (derivatan av hastigheten). En sinusfunktion har lämpliga egenskaper:
Man kan visa att för oscillatorns läge som funktion av tid gäller:
x(t) = Asin(2ft + )
M112
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE
3
där A = amplituden, f = frekvensen, t = tiden,  = fasförskjutningen = ett eventuellt
försprång oscillatorn har jämfört med en som har x = 0 då t = 0. Då man avbildar detta
grafiskt vore det bättre med y(t) i stället.
Vänster graf: oscillatorns läge kallas nu y istället för x. På x-axeln anges hur långt vågen
rört sig. Detta motsvarar en stillbild av t.ex. en havsvåg. Notera dock att grafen även kan
beskriva longitudinella vågor, även om den ser ut som en transversell!
Höger graf: en enskild oscillators läge som funktion av tid beskrivs. Detta motsvarar t.ex.
en videofilm av en kork som guppar upp och ned på vattenytan, och där man med korta
mellanrum stannar filmen, noterar var korken är och sätter detta värde på y-axeln
 våglängden  = avståndet mellan två vågtoppar (crest) eller dalar (trough)
 perioden T = samma i höger graf
 för en longitudinell vågrörelse kan även avståndet mellan två förtätningar
(compression) och förtunningar (rarefaction) användas.
Då hastigheten v = x/t = /T och f = 1/T fås vågrörelsens grundekvation
v = f
M116
3.3. Elektromagnetisk vågrörelse (FY2 s. 26-29)
Ljus och flere andra vågor är elektromagnetiska svängningar vilka i vakuum rör sig med
ljusets hastighet c = ca 300 000 000 m/s.
Type of EM - wave
Wavelength  (m)
Frequency f (Hz)
Cosmic rays
Gamma rays
10-13...10-10
ca 102
-11
-8
X-rays (röntgen)
10 ...10
ca 1018
Ultraviolet (UV) light
10-9...10-7
ca 1016
-7
-6
Visible light
10 ...10
ca 1015
violet
(380..450 nm)
blue
(450..490 nm)
green
(490..560 nm)
yellow
(560..590 nm)
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE
orange
red
Infrared (IR) or heat
Microwaves
TV, radio waves
(590..630 nm)
(630..760 nm)
10-6...10-4
10-4..10-2
10-2..103
4
ca 1013
ca 1011
104..109
3.4. Vågrörelsers interferens (FY2 s 39,64-65)
Oscillatorläget för en enskilda vågorna adderas vanligen. (Om detta alltid gäller är
osäkert - s.k. monstervågor på havet kräver en annan behandling). Vi får
ytot(t) = y1(t) + y2(t) = A1sin(2f1t + 1) + A2sin(2f2t + 2)
En konsekvens av detta är svävningar (beats) där vågor av något olika frekvens ger en
tilltagande och avtagande total amplitud:
fbeat = f1 - f2 
M-
3.5. Dopplereffekten (FY2 s. 70)
Då en ljudkälla rör sig mot eller från oss med hastigheten v uppfattar vi ljudets frekvens f
som högre respektive lägre än den utsända (f0) p.g.a. att avståndet mellan två vågtoppar
(våglängden) påverkas, medan ljudets hastighet c är oförändrad. Man kan visa (se IBkompendiet) att
f = f0(c/c  v)
M116
Om källan står stilla men observatören rör sig är våglängden oförändrad, men ljudet
träffar oss med en annan hastighet vilket ger:
f = f0(c  v)/c
M116
För ljus förekommer en motsvarande Dopplereffekt, men då relativitetsteorin ger att
ljusets hastighet c är oberoende av rörelse fås endast en formel, vanligen med
förändringen i våglängd angiven som (c = ljushastigheten)
 = 0[(1+v/c)/(1-v/c)]
M-
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE
5
Detta är orsaken till rödförskjutningen i ljuset från avlägsna galaxer som rör sig bort från
oss.
3.6. Reflektion och stående vågrörelse (FY2 s. 31, 53-58)
När en vågpuls på ett rep når en vägg reflekteras den tillbaka och vänds upp och ned
p.g.a. Newtons III lag. Även en lös repände ger reflektion men utan denna invertering av
vågen.
Om en våg startas på en sträng som är fastsatt i båda ändarna (ex. gitarrsträng) kommer
den att reflekteras fram och tillbaka. Vi kommer att få en stående vågrörelse om någon av
följande situationer uppkommer:
N = nod = plats där ingen vågrörelse sker ("no displacement"). På en sträng fastsatt i
ändarna har vi noder där.
A = antinod = plats där den stående vågens amplitud är maximal
För strängens grundton f0 gäller då strängens längd är L:
 L = /2 vilket med v = f =>  = v/f ger :
 L = (v/f)/2 = v/2f => f = v/2L = 0.5(v/L) = f0
Följande ton - en överton - fås då:
 L =  which with  = v / f gives
 L = v / f and then f = v/L = 1.0(v/L) = 2f0
och därpå följande fall då:
 L = 1.5 or L = 3/2 which with  = v / f gives
 L = 3(v/f)/2 = 3v/2f => f = 3v/2L = 1.5(v/L) = 3f0
I en rör med längden L öppet i båda ändarna kommer ljudet att delvis reflekteras (som vid
en öppen repända)
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE
6
och för grundtonen gäller igen att L = /2, för den första övertonen L =  och för
följande att L = 1.5 varför samma frekvenser fås som för gitarrsträngen.
För en pipa öppen endast i ena änden blir sambanden dessa:
 L = /4 which with v = f =>  = v / f gives L = (v/f)/4 = v/4f giving
 f = v/4L = 0.25 (v/L) = f0
och för övertonerna
 L =3/4 which with  = v / f gives L = 3(v/f)/4 = 3v/4f giving
 f = 3v/4L = 0.75 (v/L) = 3f0
och
 L = 5/4 which with  = v / f gives L = 5(v/f)/4 = 5v/4f and
 f = 5v/4L = 1.25 (v/L) = f3 = 5f0
3.7. Huygens princip för vågor i två dimensioner (FY2 s. 24, 40)
Släpps en sten i en ankdamm sprider sig vågfronter (wavefronts, linjer eller kurvor som
visar var vågtoppar eller -dalar finns) åt alla håll. En stråle (ray, beam) vinkelrät mot
dessa visar vart vågorna rör sig.
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE
7
Huygens princip: vågfronter sprids genom att skicka ut halvcirkelformade
elementarvågor (wavelets) vilka bildar en ny vågfront av samma form. Att detta är så
noteras då vågfronten passerar en öppning eller ett hinder av samma storleksordning som
våglängden.
3.8. Diffraktion och interferens (FY2 s. 43-48)
1,5
1
0,5
y1
0
y2
0
1
2
3
4
5
6
sum
-0,5
-1
-1,5
Om fasförskjutningen ("försprånget") för en våg är 0, , 2, 3 etc. så kommer vågorna
att vara i fas och interfererar konstruktivt (jfr avsnitt 3.4). Om fasförsjkutningen är 0.5,
1.5, 2.5 etc. är de ur fas och interfererar destruktivt (detta illustreras i grafen ovan).
Om en vågfront passerar två (eller flere) öppningar på avståndet d från varandra (där d är
av ungefär samma storleksordning som ) kommer vågorna att interferera konstruktivt i
vissa riktningar där fasförskjutningen S2X = 0, , 2, 3, .....
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE
8
Då S2X är motstående sida i en triangel till vinkeln  fås enligt definitionen för sinus att
 sin  = k / d vilket ger dsin  = k, där k = 0, 1, 2, 3, ....
I MAOL kallas vinkeln  och vi får
dsin = k
M117
(Ett sätt att undersöka detta är med laser och en vägg eller skärm där ljusprickar ses i de
riktningar där konstruktiv interderferens sker). För små vinklar där tangens och sinus är
ungefär lika gäller även att s = D/d där s = avståndet mellan prickarna och D avståndet
från diffraktionsgittret till väggen).
3.9. Brytning (FY2 s. 31-38)
När en vågfront rör sig från en material där dess hastighet är v1 till ett där den är v2 sker
brytning ("refraction"). Låt vinklarna θ1 och θ2 i bilden ovan bytas mot α1 och α2. Vi har
då att
 AY = v1t och XB = v2t för en godtycklig tid t
 vinkeln AXY = α1 och XYB = α2
 sin α1 = AY/XY och sin α2 = XB/XY vilket ger
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE

9
sin α1 / sin α2 = AY/XB = v1t/v2t = v1/v2
sin1/sin2 = v1/v2 = n2/n1 = n12
M117
Ovanstående formel - brytningslagen eller Snells lag - gäller för alla vågrörelser men kan
även skrivas med hjälp av brytningsindex n definierade för ljus som
n=c/v
Mdär c = ljushastigheten i vakuum och v = ljusets hastighet i det aktuella mediet. Vi får då:
 n = c /v => v = c /n
 v1/v2 = (c/n1) / (c/n2) = n2/n1 = "n12"
Notera att ljusets frekvens inte ändras vid övergången från medium 1 till 2 (ett visst antal
svängningar per tidsenhet träffar gränsytan, samma antal måste gå vidare in i medium 2)
men pga v = f kommer då våglängden att förändras. Ett material med högre n-värde är
optiskt tätare, ett med lägre optiskt tunnare.
Dispersion
Brytningsindex är något olika för olika våglängder av ljus, vilket gör att vitt ljus delas
upp i regnbågens färger vid brytning i genomskinliga föremål med icke-parallella ytor ss.
ett prisma:
3.10 Totalreflektion (FY2 s. 80-86)
Om vi går från ett optiskt tätare till ett tunnare medium blir brytningsvinkeln större än
infallsvinkeln. För någon gränsvinkel α1 = αg blir då α2 = 90o och allt ljus reflekteras
tillbaka in i medium 1. Om medium 2 är luft där ungefär n2 = 1 ungefär fås
 sin α1/ sinα2 = n2/n1 blir sinαg = 1/n1 eller
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE
sinαg = 1/n1
10
M-
3.11. Polarisation och Brewsters lag (FY2 s. 50-52)
Ljus är en transversell vågrörelse där elektriska och magnetiska fält oscillerar i alla
riktningar vinkelrätt mot "färdriktningen":
När ljus från luft träffar t.ex. en vattenyta kommer en del att reflekteras, endel att brytas
ned i vattnet. Om vinkeln mellan den brutna och den reflekterade strålen är rät, måste
oscillationerna i den reflekterade strålen vara vinkelräta både mot den brutna strålen och
mot den nya färdriktningen. Bara oscillationer i ett plan (vinkelrätt mot bildens yta
nedan) uppfyller detta: ljuset är då polariserat.
För denna situation gäller då:
 sin α1 / sin α2 = n2/n1 (= n2 om medium 1 är luft där n1 är ca 1).
 då α2 + 90o + αreflektion = 180o (till höger om normalen) och
 αreflektion = αinfall = α1 får vi att α2 = 90o - α1 och därför sin α1 / sin α2 = n2/n1 så
 sin α1 / sin (90o - α1) = n2/n1 vilket ger sin α1/cos α1 = n2/n1 och därmed
tan αB = n2/n1
för α1 = αB = Brewstervinkeln för polarisation
M117
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE
11
3.12. Linser (FY2 s. 94-104)
Brytningen av ljus i linser är resultat av brytning vid dess ytor:
I en konvex lins är strålgången följande; längre ner visas densamma i en konkav lins:



I. Parallell med huvudaxeln -> genom fokus (konvex) eller som från fokus
(konkav nedan)
II. Mot linsens optiskacentrum -> fortsätter samma väg
III. Genom fokus (konvex) eller mot fokus på andra sidan (konkav - denna stråle
saknas ännu i bilden nedan) -> parallell med huvudaxeln
Då föremålets (object) avstånd är a (IB: u) och bildens (image) avstånd är b (IB:v) har vi:
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE
1/a + 1/b = 1/f
12
M117
där f = brännvidden
Teckenregler:
 f positiv för konvex lins, negativ för konkav lins
 a positivt för reellt föremål, negativt för virtuell föremålspunkt (om det "föremål"
som avbildas är en bild producerad av en tidigare lins, och denna bild uppkommer
på "fel" sida om den aktuella linsen)
 b positivt för reella bilder, negativt för virtuella
 reella bilder kan fångas på en skärm, men inte virtuella (även om man kan se på
dem genom linsen)
 bilden rättvänd om b/a är negativt, upp- och nedvänd om b/a är positivt
 den linjära förstoringen m = hi/ho är absolutbeloppet av b/a:
m = │b / a│
M117
Linsstyrka
För dioptritalet D i enheten m-1 gäller, med samma teckenregler som för f:
D = 1/f
M117
Linssystem
Om två linser sätts på avståndet x efter varandra på samma huvudaxel kommer bilden
från den första att fungera som det "föremål" som avbildas i den andra:
 1/f1 = 1/a1 + 1/b1
 a2 = x-b1, negativt om x < b1
 1/f2 = 1/a2 + 1/b2
På detta sätt kan en konkav lins' brännvidd bestämmas experimentellt: en ljuskälla (t.ex.
stearinljusflamma) får avbildas av en konvex lins med känt f1 (b1 kan antingen beräknas
eller direkt bestämmas experimentellt), därefter placeras den okända konkava linsen på
avståndet x < b1 från den konvexa varvid en bild kan fångas på en skärm bakom den
konkava linsen, ty då a2 < 0 fås b2 > 0 då f2 < 0.
[Vinkelförstoring
Om föremålet räknat från linsen syns i en vinkel α1 och bilden i vinkeln α2 gäller att
(ho/a) / (hi/b) = tan α1 / tan α2 = vinkelförstoringen M.
M = tanα1 /tan α2
M117
]
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE
13
3.13. Reflexion i två dimensioner (FY2 s. 30, 87)
I en plan spegel eller annan reflekterande yta kommer strålar att reflekteras så att
infallsvinkeln till normalen är densamma som reflektionsvinkeln. Vågfronterna återfår
efter reflektionen samma form som tidigare.
3.14. Sfäriska speglar (FY2 s. 87-93)
Ovan till vänster en konvex spegel, till höger en konkav spegel. Strålar:
 I. Parallell med huvudaxeln (PA = principal axis) -> genom fokus eller som från
fokus
 II. Mot optiskt centrum C (cirkelns/sfärens centrum) -> tillbaka samma väg
 III. Genom fokus eller mot fokus -> parallel med huvudaxeln
Här gäller liksom för linser
1/a + 1/b = 1/f
M117
Notera att då cirkelns radie är r gäller:
r = 2f
MTeckenreglerna är desamma som för linser, utom den första:

f positiv för konkav spegel, negativ för konvex
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE




14
a positivt för reellt föremål, negativt för virtuell föremålspunkt (om det "föremål"
som avbildas är en bild producerad av en tidigare lins, och denna bild uppkommer
på "fel" sida om den aktuella linsen)
b positivt för reella bilder, negativt för virtuella
bilden rättvänd om b/a är negativt, upp- och nedvänd om b/a är positivt
den linjära förstoringen är absolutbeloppet av b/a
3.15. Lins- och spegelfel (aberrationer, FY 2 s. 88, 97 )


sfärisk aberration: de givna reglerna för strålgången gäller endast ungefär för
sfäriska ytor, egentligen bör paraboliska användas (både speglar och linser)
kromatisk aberration: p.g.a. dispersion bryts olika färger lite olika i linser, vilket
kan korrigeras med en akromatisk lins bestående av olika material sådana att t.ex.
rött bryts mer än blått i den ena, mindre i den andra
3.16. Ljud och buller (FY2 s. 59-69)
Då en vågrörelse transporterar energin per tid = effekten P genom ytan A är dess
intensitet I i enheten W/m2
I = P/A
M116
Då ytan av en tänkt sfär som vågrörelsens energi strömmar ut genom är 4πr2 kommer
intensiteten att vara omvänt proportionell till kvadraten på avståndet.
För ljud gäller decibelskalan för ljudnivån L då hörseltröskeln I0 = 10-12 W/m2 att
L = 10 lg(I/I0) dB
M117
där logaritmen har basen 10 och en ökning av ljudnivån med 10 dB alltså motsvarar en
tio gånger störrre intensitet. För ljudets hastighet (här betecknad v enligt MAOL, i FY2 s.
66 betecknad c) gäller vid temperturen T i enheten kelvin att
v1/v2 = √(T1/T2)
där v = 332 m/s vid T = 0oC = 273K
M117
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY3 VÅGRÖRELSE
15
3.17. Exempel på laborationer i FY3
1. Bestäm experimentellt fjäderkonstanten k på två olika sätt för en eller flere
spiralfjädrar då du kan mäta längd, massa och tid.
2. Bestäm tyngdaccelerationen med hjälp av en pendel.(Kan ha gjorts i kurs 1)
3. (Datorlaboration) Konstruera/använd en datorsimulering av svävningsfenomenet i ett
kalkylbladsprogram (Excel). Vilken relation finns mellan de två vågrörelsernas
frekvenser och svävningsfrekvensen? Påverkas fenomenet av fasförskjutningen? Jämför
med ljudet från två stämgafflar med något olika frekvens. Om tid finns: utveckla
simulationen så att eventuella svävningsfenomen för tre eller flere frekvenser undersöks.
(http://www.vasa.abo.fi/vos/vosusers/tillman/fy3exc1.xls)
4. Bestäm det optiska brytningsindexet för vatten med hjälp av en D-formad behållare
(eller annat).
5. Bestäm våglängden för ljuset från en laser med hjälp av ett diffraktionsgitter.
6. Bestäm experimentellt brännvidden för en a) konvex b) konkav lins genom att låta en
stearinljuslåga avbildas på en pappersskärm.
7. Bestäm experimentellt brännvidden för en konkav spegel genom att låta en
stearinljuslåga avbildas på en pappersskärm.
8. (Grafisk laboration) Rita upp a) ett sfäriskt spegeltvärsnitt b) ett sfäriskt linstvärsnitt på
ett A3-papper samt några strålar som träffar spegeln/linsen parallellt med huvudaxeln.
Mät infallsvinkeln och rita ut reflektions-/brytningsvinkeln. För linsens del innebär detta
två brytningar per stråle, antag t.ex. att linsmaterialet har n = 1.5. Vad observeras?
(Sfärisk aberration).