Energi och arbete

Energi och arbete
9
Vad innebär energiprincipen?
Hur fungerar ett kylskåp?
Vad menas med energikvalitet?
Energins bevarande
Energiomvandlingar sker hela tiden i naturen. De flesta ligger
utanför mänsklig kontroll, men vissa utnyttjar vi dagligen – till
stort som smått.
I ett vattenkraftverk omvandlas vattnets lägesenergi till elenergi
och värme. Den sammanlagda effekten av alla vattenkraftverk i
Sverige är ca 16 GW (1,6 · 1010 W). I kroppen omvandlas ständigt
den kemiskt bundna energi vi får i oss via maten till bl.a. rörelseenergi och värme. Den mänskliga hjärnans effekt är ungefär 15 W,
och ändå är det bara en bråkdel av energiomvandlingarna som har
med tankeverksamhet att göra.
Många människor och liten energiomsättning. Transporter med ett myller
av kärror.
De senaste hundra åren har vi ständigt ökat våra energibehov. Man
kan se ett tydligt samband mellan ett lands materiella standard och
dess energiomsättning – dessvärre är fördelningen mycket skev
mellan olika delar av vår planet.
Energiprincipen
Energi kan bara omvandlas mellan olika former. Trots detta
uttrycker vi oss ofta slarvigt och pratar om energiförbrukning då
vi borde säga energiomsättning eller energiomvandling. I energiprincipen uttrycks detta som:
Den totala energin i ett slutet system är konstant.
Ett slutet system är ett fysikaliskt system som inte har något energiutbyte med omgivningen. Detta brukar kallas för termodynamikens första huvudsats. I bilderna på nästa sida ser du exempel på
avgränsade fysikaliska system. Vilka av systemen är slutna?
Få människor och stor energiomsättning. Vi har vant oss vid att ha ljust på
vägarna även på natten.
236
Energi och arbete
© Författarna och Zenit AB
Entropi
Att energin alltid bevaras känner de flesta till, men vad är det då som
händer? Energin finns kvar, men sprids ut och blir mindre och mindre
användbar. Detta gör att oordningen alltid ökar vid varje energiomvandling. Oordningen i ett system beskrivs av systemets entropi.
Entropiändringen, ∆S, definieras som: ∆S = ∆W/T och mäts i J/K.
I alla spontana processer ökar entropin och många ser detta som det
som pekar ut tidens riktning! Låt oss ta ett enkelt exempel:
Solsystemet
Hoppare på
studsmatta
En behållare är avdelad med en vägg i mitten så att vi kan hålla två vattenmassor skilda från varandra. I ena halvan av behållaren häller vi två liter
vatten med temperaturen 10 °C och i den andra halvan två liter vatten
med temperaturen 50 °C. Tar vi bort skiljeväggen kommer vattnet efter
ett tag att ha blandats. Om inget utbyte med omgivningen skett kommer
temperaturen att vara 30 °C. Det innebär att det kalla vattnet tagit upp
energin ∆W = mc∆T = 167 kJ. Motsvarande energimängd har avgetts av
det varma vattnet. Entropiändringen för det kalla vattnet blir:
ΔS =
ΔW 167 kJ
=
= 590 J K
T
283 K
För det varma vattnet gäller på motsvarande sätt:
Termoskanna
ΔS =
ΔW −167 kJ
=
= −520 J K
T
323 K
 4
 5
 6
 9
Detta brukar kallas för termodynamikens andra huvudsats och innebär
bland annat att energi inte spontant kan transporteras från en kall till
en varmare kropp. Många påstår att det är denna riktning som pekar ut
tidens riktning!
Energi och arbete
 3
 8
Systemets entropi har således ökat med 70 J/K.
Motsatsen till ovanstående exempel, att en behållare med fyra liter trettiogradigt vatten helt plötsligt skulle dela upp sig så att ena halvan innehöll vatten med temperaturen 10 °C och den andra halvan vatten med
temperaturen 50 °C har aldrig observerats och är enligt termodynamikens andra huvudsats inte möjlig.
© Författarna och Zenit AB
 2
 7
Entropin i ett slutet system ökar alltid.
Tre fysikaliska system. Vilka av systemen är slutna?
 1
237
10
S
Mekanisk energi
I de energiomvandlingar där materia på ett eller annat sätt rör sig, sker
en omvandling till eller från mekanisk energi. Det kan handla om så
skilda saker som en människa som arbetar, en hiss på väg upp till andra
våningen eller en kanot som rör sig nedför ett vattendrag.
Arbete
När du lyfter en sten från marken uträttar du ett arbete. För att lyfta
stenen behövs en kraft som är lika stor som stenens tyngd. Ju högre du
lyfter stenen, desto längre sträcka måste kraften verka. Ju tyngre sten du
ska lyfta, och ju högre du ska lyfta den, desto större blir arbetet. Den
fysikaliska definitionen av arbete skiljer sig inte mycket från hur du
använder ordet arbete till vardags.
Flyft
mg
h
Vi tittar lite närmare på när du lyfter stenen från marken. Eftersom du
behöver använda en kraft som är lika stor som stenens tyngd, blir lyftkraften:
Wpot = Alyft = m · g · h
Flyft = m · g
Om du lyfter stenen höjden h blir lyftarbetet:
Alyft = Flyft · h = m · g · h
Resultatet av lyftarbetet är att stenen, genom sitt högre läge, får en ökad
lägesenergi eller potentiell energi. Ökningen av stenens lägesenergi är
lika stor som det lyftarbete som utförts:
Wpot = Alyft = m · g · h
Fysikalisk definition
F
s
A=F·s
238
Energi och arbete
Den generella fysikaliska definitionen av
arbete kan skrivas som storleken av kraften
i förflyttningens riktning multiplicerad med
förflyttningens längd, eller med symboler:
A=F·s
där F är kraften i vägens riktning och s den
sträcka som föremålet flyttas.
© Författarna och Zenit AB
Uträttat arbete
Beroende på friktionens storlek får arbetet på lådan i bilden olika konsekvenser:
•
•
•
Hur stort arbete utför gymnasten om
han hänger på detta sätt i 10 sekunder?
Om friktionen är liten ökar lådans fart – ett accelerationsarbete
uträttas som ger en ökning av lådans rörelseenergi. Ju mindre friktion desto mer rörelseenergi. Ett annat ord för rörelseenergi är kinetisk energi.
Det uträttade arbetet kan också vara ett rent friktionsarbete. Om
det finns en lika stor motriktad friktionskraft på lådan, sker ingen
ökning av lådans fart. Det uträttade arbetet ger enbart värmeenergi.
Till vardags är det uträttade arbetet en blandning av accelerationsoch friktionsarbete. Rörelseenergin ökar hos en bil som accelererar
vid en omkörning, men mycket energi omvandlas också till värme
genom friktion.
Ett systems mekaniska energi är summan av lägesenergi och rörelseenergi. Friktionsarbetet minskar den mekaniska energin och avges som
värmeenergi. Vi kommer att titta närmare på accelerationsarbete, lyftarbete och friktionsarbete senare i kapitlet.
I alla tidigare exempel har kraft och rörelse varit i samma riktning.
Men vilket arbete uträttar en kraft som inte har samma riktning som
rörelsen?
F
Kraften på stenen är konstant och lika
med tyngdkraften. Hastigheten varierar
enligt sambandet v = v0 + at.
© Författarna och Zenit AB
 2
 3
 4
 5
 6
 7
Kraft och arbete
v
 1
Så fort en sten som kastas vertikalt uppåt lämnat handen påverkas den
endast av tyngdkraften. Till en början är denna kraft i motsatt riktning
mot rörelsen.
Stenens fart motsvarar en viss rörelseenergi. Eftersom den mekaniska
energin är summan av läges- och rörelseenergi kan ett lyftarbete uträttas genom att rörelseenergin minskas. När rörelseenergin är noll, kan
lyftarbetet inte längre uträttas – stenen vänder och faller tillbaks. Tyngdkraften uträttar nu ett arbete i samma riktning som rörelsen – stenens
fart och rörelseenergi ökar.
Energi och arbete
239
 8
 9
10
S
F
j
F
Fvinkelrät
s
När kälken förflyttas sträckan s uträttas arbetet:
j
A = Fväg · s
Fväg
Kraften bildar en spetsig vinkel med
rörelseriktningen.
där Fväg betecknar kraften längs det horisontella planet. I bilden till vänster ser du att:
Fväg
cos j =
dvs. Fväg = F ⋅ cos j
F
Arbetet blir alltså:
A = Fväg · s = F · s · cos j
Vilken inverkan har då den kraft som är vinkelrät mot förflyttningen
(Fvinkelrät)? I det här fallet ser vi att den lyfter kälken något från underlaget
och på så sätt minskar kälkens tryckkraft mot underlaget – friktionskraften minskar alltså. Däremot uträttar Fvinkelrät i sig själv inget arbete,
eftersom den är vinkelrät mot förflyttningen.
Om du går med konstant fart längs ett horisontellt underlag med en
tung sten i famnen uträttar du alltså inget arbete. Kraften är ju vinkelrät
mot förflyttningens riktning. Här skiljer sig den fysikaliska definitionen
av arbete från den vardagliga. Alla som burit en tung sten vet att det är
jobbigt, men fysikaliskt uträttas alltså inget arbete.
EX EMPEL 1
Arbetet på lådan är:
Enok släpar en trälåda. Hur stort arbete
uträttas på lådan? Hur stort arbete
uträttar Enok?
A= Fväg · s = F · s · cos ϕ = 130 ·200 ·cos 40° Nm ≈ 19,9 ·103 Nm= 20kJ
F = 130 N
Det arbete som uträttas av Enok är lika stort.
Svar: Arbetet är 20 kJ.
j = 40ϒ
Lös uppgifterna 901-902 på sidan 266
s = 200 m
240
Energi och arbete
© Författarna och Zenit AB
Lyftarbete och potentiell energi
Anta att du vill flytta en tung tunna från marken upp till en lastbrygga.
Det finns två sätt att flytta den. Det ena är att lyfta tunnan, det andra att
rulla den uppför en ramp. Vi vet av erfarenhet att det krävs en större kraft
att lyfta tunnan än att rulla den uppför rampen. Men hur stort är egentligen det arbete du måste uträtta mot tyngdkraften i de olika fallen?
Tunnan lyfts
Om vi betecknar tunnans massa m, är dess tyngd Flyft = m · g, och det
arbete vi måste uträtta mot tyngdkraften:
FN
Frull
s
h
mg
Resultanten till mg och FN är F1 och
verkat nerför planet. Frull = F1
 2
 3
 4
Alyft = Flyft · h = m · g · h
F1
 1
Tunnan rullas
Om vi rullar tunnan längs rampen flyttar vi den sträckan s. Den kraft
som behövs är lika stor som tyngdkraftens komposant utmed planet.
Kraften är alltså mindre om vi rullar tunnan, men i gengäld är sträckan
längre. Man kan matematiskt visa att den kraft som behövs att rulla
tunnan är lika många gånger mindre som vägen är längre.
 5
 6
 7
h
Arull = Frull ⋅ s = m ⋅ g ⋅ ⋅ s = m ⋅ g ⋅ h
s
Det uträttade arbetet blir alltså lika stort oavsett om man rullar tunnan
eller lyfter den. Det spelar med andra ord ingen roll vilken väg vi flyttar
tunnan, så länge inga andra krafter verkar (t.ex. friktion längs rampen).
Generellt gäller att:
 8
 9
10
Arbetet att föra en kropp mellan två punkter
är oberoende av vilken väg vi väljer.
Att rulla en tunna uppför en ramp är ett exempel på hur mekanikens gyllene regel kan utnyttjas för att kunna flytta ett tungt föremål:
S
Det du vinner i kraft förlorar du i väg.
© Författarna och Zenit AB
Energi och arbete
241
Denna regel innebär att ju längre sträcka du flyttar föremålet, desto
mindre kraft behövs (ju längre rampen är, desto mindre kraft behövs
för att rulla upp tunnan).
m
Ju högre upp tunnan befinner sig, desto större är dess potentiella energi
(eller lägesenergi). Vi har ökat tunnans potentiella energi lika mycket
som det arbete vi uträttat på den:
DWpot = Alyft = Arull
v
En vikt med stor massa lyfts upp i
ett snöre och får en viss lägesenergi. Den
andra änden av snöret sitter fast i en
generatoraxel. Om vi släpper vikten faller
den nedåt, och lägesenergin omvandlas
till el- och värmeenergi.
Vi kan omvandla den potentiella energin till andra energiformer – om
vi låter tunnan rulla ner för rampen igen, omvandlas lägesenergin till
rörelseenergi. I bilden visas hur potentiell energi kan omvandlas till
andra energiformer.
Nollnivå
Referensnivån för den potentiella energin kallas nollnivån, eftersom den
tilldelas värdet 0 J. På höjden h över referensnivån gäller alltså generellt
att föremålet har den potentiella energin:
Wpot = m · g · h
Nollnivån kan vara på marken, på ett bord på tredje våningen eller på
botten av en djup brunn och ska alltid anges.
EX EMPEL 2
Elida väger 54 kg. Hon går upp på
övervåningen i huset för att leta efter
dagstidningen, hittar den efter ett tag
och går sedan ner igen.
Hur stort arbete uträttar Elida då hon
går upp på ovanvåningen, går runt
och letar efter tidningen och går ner
igen? I vilken energiform överförs
arbetet?
För att lösa uppgiften måste du göra
ett antagande. Gör ett realistiskt
sådant!
242
Energi och arbete
Antag att det är 3,0 meter mellan våningsplanen. Elidas tyngdpunkt flyttas alltså 3,0 meter upp då hon går upp på ovanvåningen.
Lyftarbetet då Elida går upp är:
A = F · s = m · g · h = 54 · 9,82 · 3 Nm ≈ 1,59 · 103 J ≈ 1,6 kJ
Detta arbete övergår i lägesenergi hos Elida.
När Elida går runt och letar efter tidningen uträttar hon inget
arbete. (Kraften i förflyttningens riktning är noll.)
När Elida går ner till bottenvåningen på nytt uträttar tyngdkraften
ett arbete på henne som är 1,6 kJ. Vi kan också säga att Elida uträttar arbetet -1,6 kJ. I detta fall omvandlas lägesenergin till värmeenergi. Den värme som utvecklas i Elidas muskler för att bromsa
in rörelsen.
© Författarna och Zenit AB
EX EMPEL 3
Sätt jordytan som nollnivå. Lägesenergin är då:
Ett flygplan med massan 8,0 ton befinner sig 1,5 km över jordytan. Hur stor
är planets lägesenergi i förhållande till
jordytan?
Wpot = m · g · h = 8,0 · 103 · 9,82 · 1,5 · 103 J ≈ 118 MJ
 1
Svar: Lägesenergin relativt jordytan är 120 MJ.
 2
Lös uppgifterna 903-904 på sidan 324
 3
Friktionsarbete och värmeenergi
 4
 5
Ffriktion
Alla föremål påverkas i större eller mindre grad av friktion. Friktionskraften är alltid riktad motsatt föremålets rörelseriktning och bromsar
in föremålet. När detta sker omvandlas läges- eller rörelseenergin till
värmeenergi.
Om friktionstalet mellan föremålet och underlaget är μ, så är friktionskraften:
 6
 7
 8
Ffriktion = μ · FN.
där FN betecknar normalkraften från underlaget. Om underlaget är
horisontellt är normalkraften lika stor som tyngden och motriktad:
Ffriktion = μ · m · g
Friktionsarbetet, dvs. det arbete vi måste uträtta för att flytta föremålet
med konstant fart är då:
 9
10
Afriktion = Ffriktion · s = μ · m · g · s
Låg friktion
och den mekaniska energi som omvandlas till värmeenergi är lika stor
som friktionsarbetet:
Wvärme = Afriktion
Lös uppgifterna 905-906 på sidan 266
© Författarna och Zenit AB
Energi och arbete
243
S
Accelerationsarbete och kinetisk energi
När ett godståg startar behövs det en kraft från loket för att få tåget
i rörelse. Kraften från loket uträttar dels ett arbete för att öka tågets
hastighet och dels ett arbete mot friktionen. Accelerationsarbetet gör att
tågets rörelseenergi eller kinetiska energi ökar.
Om friktionen är försumbar är det uträttade arbetet lika stort som
tågets ökning av rörelseenergi. Om tåget från början är i vila, dvs. har
farten 0 m/s, kan vi uttrycka detta som:
1
1
Wkin = A = F ⋅ s = m ⋅ a ⋅ s = m ⋅ ⋅ v 2 = mv 2
2
2
eftersom den accelererande kraften är F = m · a och:
1
a ⋅ s = v2
2
Den senare likheten följer av att om begynnelsefarten är noll gäller att:
a=
v
1
och s = v medel ⋅ t = v ⋅ t
t
2
Om vi multiplicerar dessa båda uttryck får vi att:
v 1
v2
a ⋅ s = ⋅ v ⋅t =
t 2
2
Det generella sambandet för att beräkna rörelseenergin hos ett föremål
ges alltså som:
1
Wkin = mv 2
2
Ur sambandet ser vi att rörelseenergin beror av kvadraten på farten.
Det innebär att om ett föremålets fart fördubblas, blir rörelseenergin
fyra gånger så stor. Detta kan vara viktigt att tänka på t.ex. vid bilkörning. För att bromsa in bilen till stillastående krävs en fyra gånger så
lång bromssträcka eftersom det bromsarbete som krävs för att reducera
rörelseenergin till 0 J är A = F · s.
244
Energi och arbete
© Författarna och Zenit AB
EX EMPEL 4
Hur stor rörelseenergi har en projektil
med massan 5 g om farten är 300 m/s?
Rörelseenergin är:
1
1
Wkin = mv 2 = ⋅ 5 ⋅10−3 ⋅ 3002 J = 225 J
2
2
 1
Svar: Rörelseenergin är 200 J.
 2
a) Hur stor är bilens rörelseenergi?
a) För att kunna räkna ut rörelseenergin, måste vi först ange
farten i m/s:
90
90 km/h =
m/s = 25 m/s
3,6
b) Hur lång blir bromssträckan då bilen
bromsas in till stillastående? Friktionstalet mellan däck och vägbana är 0,8 och
vägbanan är horisontell.
Bilens rörelseenergi blir alltså:
Ds 300 m
v=
=
= 5, 8 m/s
D
t
52 s
c) Hur lång blir stoppsträckan om föraren har en reaktionstid på 1 s?
b) Vid inbromsningen omvandlas rörelseenergin till värme
genom friktionsarbete. Friktionskraften är:
EX EMPEL 5
En bil med massan 1,3 ton kör med
farten 90 km/h.
 3
 4
 5
Ffrik = m · Fnormal = m· m · g
där Fnormal är normalkraften på bilen från underlaget och m är
bilens massa. Då blir bromsarbetet:
Abroms = Ffrik · s = m · Fnormal = m · m · g · s
där s är bromssträckan. Eftersom rörelseenergin omvandlas till
bromsarbete är:
Wkin = Abroms = m · m · g · s
 6
 7
 8
 9
Alltså är bromssträckan:
Wkin
4,06 ⋅105 J
=
≈ 39,8 m
s=
μ ⋅m ⋅ g 0,8 ⋅1,3 ⋅103 ⋅ 9,82 N
c) Under den sekund som passerar innan föraren hinner bromsa,
rör sig bilen:
10
s = v · t = 25 m/s · 1 s = 25 m
Den totala stoppsträckan blir alltså (25 + 40) m = 65 m.
Svar: a) Rörelseenergin är 0,41 MJ. b) Bromssträckan är 40 m. c) Stoppsträckan är 65 m.
Lös uppgifterna 907-909 på sidan 266
© Författarna och Zenit AB
Energi och arbete
245
S
Energiprincipen
Vi har visat att när vi uträttar ett mekaniskt arbete på ett föremål kan
det handla om ett lyft-, ett accelerations- eller ett friktionsarbete.
Det finns en väsentlig skillnad mellan de två första och den sista. Om
arbetet är ett lyft- eller ett accelerationsarbete lagras det uträttade arbetet som potentiell respektive kinetisk energi. Om ett föremål befinner
sig högt upp (lägesenergi) eller har fart (rörelseenergi) kan det alltså åter
uträtta ett arbete, och energin kan omvandlas till andra energiformer.
Ett systems mekaniska energi är alltså summan av dess lägesenergi och
rörelseenergi:
Wmek = Wpot + Wkin
Vid friktionsarbete bildas istället värmeenergi. Denna energi kan inte
uträtta något nytt arbete, och kan inte omvandlas till andra energiformer. Vi diskuterar denna skillnad senare i kapitlet.
Experiment Mekanisk energi
Fäst ett lod i en tempografremsa och låt lodet falla från
drygt en meters höjd. Studera hur långt lodet fallit och
vilken fart det har. Du kan t.ex. välja startpunkten som
nollnivå för lägesenergin.
Studera sedan lägesenergin, rörelseenergin och
summan av dessa båda som funktion av tiden. Rita
diagram och dra slutsatser.
Vad innebär det att du väljer startpunkten som nollnivå för lägesenergin?
En studsande boll
Tänk dig att du lyfter upp en boll från golvet. När du håller bollen stilla
har den en viss lägesenergi. Om golvet väljs som referensnivå, dvs. golvet
har lägesenergin noll, är den potentiella energin på höjden h över golvet
Wpot1 = m · g · h
och bollens kinetiska energi Wkin1 = 0 (bollen är stilla).
När bollen släpps, minskar lägesenergin och rörelseenergin ökar. På
motsvarande sätt är lägesenergin i en punkt som befinner sig på höjden
s över golvet:
Wpot2 = m · g · s
246
Energi och arbete
© Författarna och Zenit AB
Wpot1 = m · g · h
Wkin1 = 0
Wpot2 = m · g · s
Wkin2 = mv 2 /2
h
s
Wpot3 = 0
Wkin3 = mv max2 /2
Bollen före studs, på väg mot golvet.
startläge
vändläge
h
hstuds
och rörelseenergin om hastigheten är v:
1
Wkin2 = mv 2
2
Bollens totala mekaniska energi är summan av dess lägesenergi och
rörelseenergi. Under förutsättning att vi kan bortse från luftmotståndet
är den mekaniska energin konstant under hela vägen ned mot golvet
och lika stor som den ursprungliga lägesenergin. När bollen fallit ner till
höjden s över golvet, gäller alltså att:
1
Wpot1 = Wpot2 + Wkin2 eller m ⋅ g ⋅ h = m ⋅ g ⋅ s + ⋅ m ⋅ v 2
2
Detta är ett specialfall av energiprincipen – energin i ett slutet system är konstant.
När bollen befinner sig omedelbart ovanför golvet har den maximal
hastighet och rörelseenergi. Nu är lägesenergin noll, och alltså gäller:
1
Wpot1 = Wkin3 eller m ⋅ g ⋅ h = ⋅ m ⋅ v max 2
2
Under studsen mot golvet pressas bollen ihop. Systemets energi finns
upplagrad som inre energi i den hoptryckta bollen.
Precis när bollen lämnar golvet har den inre energin på nytt övergått till
rörelseenergi och bollen studsar upp på nytt. I sin högsta punkt (hstuds) har
all rörelseenergi på nytt övergått till lägesenergi. Vi vet av erfarenhet att
bollen inte studsar lika högt som från den höjd vi släppte den (hstuds < h).
För att inse att detta inte strider mot energiprincipen får vi studera
själva studsen på nytt. Bollen deformeras och när den på nytt återtar
sin form har en del av arbetet omvandlats till värme – bollen är något
varmare. Eftersom en del av den totala mekaniska energin finns kvar i
systemet som inre energi hos bollen kommer alltså bollen inte att studsa
lika högt.
Bilden visar schematiskt hur energin omvandlas till olika former av
mekanisk energi under fallet. Om vi inte kan bortse från luftmotståndet
kommer den totala mekaniska energin att reduceras genom värmeutvecklingen, men den totala energin är hela tiden densamma.
Bollen efter studs. Jämför bollens läge
då den släpps (h) och när den vänder efter
första studsen (hstuds).
© Författarna och Zenit AB
Energi och arbete
247
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
S
Experiment Rörelsen hos en studsande boll
Montera en avståndsmätare, t.ex. en CBR, 1,5–2 meter
från golvet, så att den mäter i nedåtriktningen.
Håll en boll en halvmeter under detektorn, starta ett
program för mätvärdesinsamling och släpp bollen så att
den studsar flera gånger under detektorn. Det räcker att
detektorn mäter 25 punkter per sekund. Utnyttja mätvärdena för att bestämma:
1) den ursprungliga lägesenergin
2) den totala mekaniska energin i en mätpunkt där
bollen fallit ungefär halvvägs mot golvet
EX EMPEL 6
En boll hålls alldeles intill taket i ett rum,
2,40 m över golvet. När bollen släpps
studsar den och vänder åter på höjden
1,95 m över golvet.
a) Hur stor fart har bollen precis innan
den slår i golvet?
b) Hur stor fart har bollen precis då den
lämnar golvet efter studsen?
c) Hur stor del av den mekaniska energin omvandlas till värme vid studsen
mot golvet?
d) Hur mycket energi omvandlas till
värme vid studsen? För att kunna
beräkna detta måste du göra ytterligare
antaganden.
3) den totala mekaniska energin i en mätpunkt då boll­en
efter studsen stigit till ungefär halva den nya höjden
4) lägesenergin i det nya vändläget
5) den totala mekaniska energin i en mätpunkt där
bollen åter fallit ungefär halvvägs mot golvet.
Upprepa gärna mönstret för ytterligare studsar. För att
bestämma farten i en punkt under rörelsen använder
du lämpligen en symmetrisk förändringskvot runt den
aktuella punkten.
Jämför de beräknade energierna på lämpligt sätt.
a) Vi väljer golvet som nollnivå. Om bollen har massan m och
släpps från höjden h1 = 2,40 m får den lägesenergin:
Wp1 = mgh1
Om v1 betecknar farten precis innan bollen slår i golvet är den
kinetiska energin:
1
Wk1 = mv12
2
Eftersom den totala mekaniska energin är konstant om luftmotståndet försummas är Wp1 = Wkl :
1
mgh1 = mv12
2
1
g ⋅ h1 = ⋅ v12
2
v12 = 2 · g · h1
v = 2 gh1 = 2 ⋅ 9,82 ⋅ 2,40 (m/s)2 ≈ 6,87 m/s
1
Farten är alltså ca 6,9 m/s.
b) Bollen vänder på höjden h2 = 1,95 m och har då lägesenergin
Wp2 = mgh2
Om v2 här farten precis efter studsen är den kinetiska energin:
1
Wk2 = mv 22
2
248
Energi och arbete
© Författarna och Zenit AB
Eftersom Wp2 = Wk2 om luftmotståndet kan försummas är:
2, 0 m/s
= 0, 20 m/s2
10
s
 1
vilket innebär att vi kan beräkna farten på samma sätt som i
uppgift a:
v = 2 gh2 = 2 ⋅ 9, 82 ⋅1, 95 (m/s)2 ⊕6,19 m/s
2
Farten är alltså ca 6,2 m/s.
c) Förhållandet mellan rörelseenergin precis efter och precis
före studsen anger andelen mekanisk energi som finns kvar i
bollen:
1 2
2
2
mv
Wk2 2 2 v 22  v 2   6,19 
=
= 2 =   = 
 ≈ 0,8125
Wk1 1 mv 2 v1  v1   6,87 
1
2
Eftersom 81 % av den mekaniska energin finns kvar har alltså
19 % omvandlats till värme.
Anmärkning: Jämför istället den ursprungliga lägesenergin,
Wp2, med den slutliga, Wk2. Beräkna andelen mekanisk energi i
bollen på samma sätt som tidigare, men beräkna istället förhållandet mellan rörelseenergierna:
Vilket sätt var beräkningsmässigt enklast?
d) För att kunna beräkna den mängd energi som omvandlas till
värme, måste vi känna bollens massa. Vi antar att den väger
80 g.
Bollens ursprungliga lägesenergi är:
Wp1 = mgh1 = 80 · 103 · 9,82 · 2,40 J ≈ 1,89 J
Eftersom 19 % omvandlas till värme blir mängden värme­energi:
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
Wvärme = 0,19 · 1,89 J ≈ 0,35 J
Svar: a) Bollens fart precis före studsen är 6,87 m/s.
© Författarna och Zenit AB
b) Bollens fart precis efter studsen är 6,19 m/s.
c) 19 % har omvandlats till värme.
d) Om vi antar att bollen väger 80 g har 0,35 J omvandlas till värme.
Energi och arbete
S
249
EX EMPEL 7
Marianne är på cykeltur i ett backigt
landskap. Precis innan backen börjar,
har hon farten 4,5 m/s. Marianne väger
tillsammans med cykeln 65 kg.
v = 4,5 m/s
a) Vi väljer nollnivå för lägesenergin längst nere i svackan. Lägesenergin resp. rörelseenergin i det avbildade läget är:
Wp1 = mgh1 = 65 · 9,82 · 16,0 J ≈ 1,02 · 104 J
1
1
Wk1 = mv12 = ⋅ 65 ⋅ 4,52 J ≈ 658 J
2
2
Den totala mekaniska energin är alltså:
W1 = Wp1 + Wk1 = (1,02 · 104 + 658) J ≈ 1,09 · 104 J
16,0 m
7,0 m
a) Hur stor rörelseenergi har Marianne
och cykeln längst nere i svackan om vi
förutsätter att 30 % av den mekaniska
energin omvandlas till värme? Hur stor
är hennes fart?
b) Hur stor fart har Marianne då hon
kommer upp för uppförsbacken om
samma andel mekanisk energi omvandlas till värme?
Längst nere i svackan har 70% av den mekaniska energin blivit
rörelseenergi och resten till värme. Om vi kallar farten v2 är
rörelseenergin:
1
W2 = Wk2 = mv 22 = 0,70 ⋅1,09 ⋅104 J ≈ 7,61 ⋅103 J
2
Vi kan nu lösa v2 och beräkna farten i svackan:
v 2 =
2 ⋅W2
2 ⋅ 7,61 ⋅103
=
(m/s)2 ≈ 15,30 m/s ≈ 55,1 km/h
m
65
Det är nog bäst att Marianne bromsar i nerförbacken!
b) När Marianne kommer uppför backen till platån har ytterligare 30 % av energin omvandlats till värme. Den kvarvarande
mekaniska energin är alltså:
W3 = 0,70 · 7,61 · 103 J ≈ 5,33 · 103 J
Eftersom lägesenergin är:
Wp3 = mgh3 = 65 · 9,82 · 7,0 J ≈ 4,47 · 103 J
ges den kinetiska energin av:
1
Wk3 = mv 32 = W3 – Wp3 = 5,33 · 103 J - 4,47 · 103 J ≈ 8,59 · 102 J
2
Vi kan nu lösa v3 och beräkna farten på platån:
v 3 =
2 ⋅Wk3
2 ⋅ 8,59 ⋅102
=
(m/s)2 ≈ 5,14 m/s ≈ 18,5 km/h
m
65
Svar: a) Rörelseenergin är 7,6kJ, farten 15m/s b) Farten är 5,1m/s.
Lös uppgifterna 910-912 på sidan 266
250
Energi och arbete
© Författarna och Zenit AB
Arbete med varierande kraft
De flesta krafter varierar med tiden. Att beräkna det arbete de uträttar är
lite svårare än om kraften är konstant. Låt oss titta på ett exempel.
x
Ffjäder
Fdrag
 1
 2
 3
x
x0
 4
Det arbete som behövs för att dra ut en spiralfjäder varierar med fjäderns förlängning. Om vi utgår från jämviktsläget och drar ut fjädern så
att dess förlängning blir x0, måste vi använda en allt större kraft Fdrag, för
att motverka fjäderkraften, Ffjäder. Storleken på dragkraften är proportionell mot förlängningen av fjädern enligt Hookes lag:
 5
 6
F=k·x
För att kunna beräkna arbetet tänker vi oss att vi drar ut fjädern ett litet
stycke Δx i taget. Om Δx är så litet att vi kan anse kraften konstant
under den lilla förflyttningen, är det arbete som uträttas under förflyttningen:
F1
x
Dx
Om vi drar ut fjädern ytterligare ett litet stycke, behövs det en något
större kraft F2, som uträttar arbetet:
F2
Dx
A1 = F1 · Δx
x
A2 = F2 · Δx
 7
 8
 9
10
För nästa lilla förlängning blir arbetet:
A3 = F3 · Δx osv.
Det sammanlagda arbete som uträttas för att dra ut fjädern är summan
av alla dessa små delar dvs:
A = F1 · Δx + F2 · Δx + F3 · Δx + ...
© Författarna och Zenit AB
Energi och arbete
251
S
F
F7
F
A3 = F3·Dx
F
F37
F3
I grafen har vi ritat in en mängd rektanglar. Som du ser motsvarar
höjden kraften F1, F2, F3 ... och basen den förflyttade sträckan Δx. Arean
för var och en av rektanglarna motsvarar alltså det utförda arbetet under
sträckan Δx.
F7
A3 = F3·Dx
F7
Dx
DxDxDxDx
Dxx
DxDxDxDx
x
ΔA = F · Δx
Summan av areorna representerar det arbete vi uträttat.
F
F
Om vi gör intervallet Δx kortare, dvs. drar fjädern en kortare sträcka
och mäter kraften, blir vårt antagande att kraften är konstant i hela
intervallet bättre och närmar sig det värdet på det arbete vi i verkligheten uträttat.
A7 = F7·Dx
A7 = F7·Dx
Om vi tänker oss att vi gör intervallet Δx mycket litet, kommer rektanglarna att vara så smala att vi kan beräkna det uträttade arbetet som
arean under grafen fram till det sista intervallet, x0. Denna area motsvarar hela det uträttade arbetet, A. Triangeln har höjden (k · x0) och basen
x0, och arbetet blir:
x
F
k · x0
x
F = k·x
1
A = ⋅ k ⋅ x02
2
x0
x
EX EMPEL 8
En fjäder med fjäderkonstanten 34 N/m
förlängs 15 cm. Hur stort arbete uträttas?
Arbetet att förlänga fjädern är:
1
1
A = kx 02 = ⋅ 34 ⋅ 0,152 J ≈ 0,38 J
2
2
Svar: Arbetet är 0,38 J.
Experiment Fjäder
Utnyttja metoden med att dela in arbetet i smådelar för
att bestämma arbetet med en varierande kraft.
Använd en linjal, en dynamometer och en fjäder med
känd fjäderkonstant som visas i försöksuppställningen
i figuren. Utför experimentet på samma sätt som ovan
och jämför med det beräknade värdet!
Lös uppgifterna 913-916 på sidan 267
252
Energi och arbete
© Författarna och Zenit AB
Stavhopp
En stavhoppare som utför ett hopp utnyttjar många omvandlingar
mellan olika typer av mekanisk energi. Förr i tiden användes en kort och
mindre elastisk bambustav vid stavhopp. Nu används istället en nästan
5 meter lång lättböjlig glasfiberstav. På de följande bilderna kan vi se de
olika faserna i ett stavhopp.
D
E
 1
 2
 3
 4
C
 5
B
 6
A
 7
F
 8
 9
1 Under ansatsen, fram till punkten A, springer stavhopparen
och ökar den rörelseenergi som används senare i hoppet.
2 Mellan punkterna A och B sätter stavhopparen ned staven i
marken, men fortsätter att springa. Härigenom tillförs stavhopparen ytterligare energi som lagras som ”fjäderenergi” i staven.
Resten av rörelseenergin används för att rörelsen ska fortsätta
framåt. Eftersom hopparen har större fart än den punkt på
stången som han håller i, svänger hans kropp runt och lyfts
upp i luften. Rörelseenergi hos hopparen omvandlas alltså till
lägesenergi.
3 Mellan B till C fortsätter kroppen att vridas så att tyngdpunkten kommer allt högre. Det mesta av rörelseenergin överförs
till lägesenergi hos hopparen.
© Författarna och Zenit AB
4 Mellan C och D rätas staven ut och den fjäderenergi som fanns
upplagrad i staven blir lägesenergi hos hopparen – hopparen
lyfts alltså ännu ett stycke. Samtidigt sträcker hopparen ut sina
armar och uträttar ett arbete att lyfta kroppen ytterligare ett
litet stycke.
5 Mellan D och E utnyttjas den lilla delen resterande rörelseenergi till att hopparen ska kunna passera över ribban utan att
riva den.
6 Mellan E och F faller hopparen fritt och lägesenergin omvandlas till rörelseenergi. När hopparen landar på skumgummi­
madrassen omvandlas slutligen denna rörelseenergi till
värmeenergi. En försumbar del av energin använder hopparen
i jubelvrålet efter det lyckade hoppet.
Energi och arbete
253
10
S
Undersök Projekt stavhopp
En experimentell undersökning av stavhopp kan bli
en omfattande och intressant uppgift. Arbetet kan
fördelas mellan flera olika grupper. Några förslag på
deluppgifter kan vara:
• att bestämma kroppens tyngdpunkt
• att undersöka om Hookes lag kan användas på staven
• att bestämma slutfarten hos hopparen i ansatsen.
Vilken metod som används för att göra dessa undersökningar beror på vilken materiel som är tillgänglig
– varför inte samarbeta med idrottsämnet?
q
Lös uppgift 917 på sidan 267
Energiomvandling
I det här avsnittet använder vi ofta ordet energiförbrukning. Det korrekta uttrycket är energiomvandling, men energiförbrukning är allmänt
accepterat och förekommer ofta i massmedia.
Samhällets energiförsörjning bygger på att vi har tillgång till olika resurser. Det kan handla om kemisk energi upplagrad i olja, kol eller naturgas, mekanisk energi upplagrad i vattendrag, tidvatten eller vindar eller
om kärnenergi som frigöres vid fission i våra kärnkraftverk eller vid
fusion i solen.
Vissa av våra energikällor är förnybara. Det innebär att vi inte förbrukar
någon naturresurs när vi använder dessa. Exempel på förnybara energikällor är vindenergi, solvärmeenergi, vattenkraftsenergi och energi som
omvandlas med hjälp av värmepump. Sveriges årliga energiförbrukning
uppgick år 2009 till 568 TWh. Bilden på nästa sida visar hur energiförbrukningen fördelas på olika energikällor.
254
Energi och arbete
© Författarna och Zenit AB
TWh
Sveriges totala energitillförsel 1970-2000
700
600
500
Kärnkraft
400
 1
Naturgas
 2
Vattenkraft
300
Biobränsle
200
100
70
Olja
75
80
85
90
 3
Kol, koks
95
 4
00
Som en jämförelse kan nämnas att i ett våra grannland, Danmark, sker
energiförsörjningen till en övervägande del i förbränning av kol, olja
naturgas. Drygt 90 % av energin tillgodoses på detta sätt.
 5
 6
Kraftverk
Ett traditionellt kraftverk bygger på att elektrisk energi alstras av en
generator. Generatorn omvandlar rörelseenergi till elektrisk energi
genom ett fysikaliskt fenomen som kallas induktion. I Orbit 2 får du en
utförlig beskrivning av detta fenomen.
För att hålla igång generatorn måste alltså mekanisk energi på något sätt
tillföras. Detta sker genom att generatorn är monterad på samma axel
som ett turbinhjul. I vatten- och vindkraftverk snurrar turbinhjulen när
de träffas av snabbt strömmande vatten respektive luft och driver på
så sätt generatorn som omvandlar den mekaniska energin till elektrisk
energi.
I kärnkraftverk och i kraftverk som förbränner fossila bränslen används
energin till att koka vatten till vattenånga. Turbinhjulet kommer i
rotation genom att vattenångan träffar det under högt tryck. Vanligen
kopplas flera turbiner till generatoraxeln för att optimalt kunna utnyttja
den mekaniska energi som finns upplagrad i vattenångan. I ett kärnkraftverk omvandlas alltså kärnenergin först till värmeenergi. Denna
omvandlas i turbinen till rörelseenergi, som i sin tur omvandlas till
elenergi i generatorn.
© Författarna och Zenit AB
Energi och arbete
255
 7
 8
 9
10
S
ånga
turbin
generator
transformator
ånga
högt
tryck
lågt
tryck
Principen för ett kraftverk som drivs
av vattenånga.
vattenkokare
matarvattenpump
1 Ånga produceras i en stor vattenkokare genom att energi
tillförs från ett fossilt bränsle eller genom fission i en reaktor.
Ångan bildas under högt tryck, vilket ger en betydligt högre
kokpunkt än 100 °C (vid 250 atm tryck är vattens kokpunkt
hela 450 °C).
2 Ångan leds först genom en högtrycksturbin och sedan (då
vattenångans temperatur och tryck minskat) genom turbiner
avsedda för lägre tryck.
3 Turbinerna driver en trefas växelströmsgenerator som producerar växelspänning på ca 20 kV. Denna spänning transformeras sedan upp till 400 kV innan den elektriska energin skickas
matarvatten kondensor
filter
kylvattenpump
ut för distribution till konsumenterna. Innan elenergin når
hemmen transformeras den ner i flera steg till nätspänning,
dvs. 230 V.
4 Då ångan passerat turbinhjulet och avgett en stor del av sin
mekaniska energi, måste den snabbt ledas bort för att inte
hindra ny ånga från att passera. Detta sker genom att ångan
snabbt kyls av och kondenseras i en kondensor.
5 I kondensorn pumpas kallt kylvatten in (ofta havsvatten) och
kyler av vattenångan. Kylvattnet pumpas ut till havet.
6 Den kondenserade vattenångan pumpas tillbaka till vattenkokaren genom tunna rör, och förångas på nytt.
Som nämndes i principbeskrivningen ovan är det viktigt att kondensera
ångan snabbt för att kunna utnyttja ångans rörelseenergi. Detta medför
att en betydande del av den från bränslet tillförda energin leds bort
eftersom vi värmer upp en stor mängd kylvatten.
Det finns en teoretisk gräns för hur mycket energi som kan utvinnas ur
ett kraftverk (vi återkommer till detta senare i kapitlet). Detta teoretiska
värde uppnås aldrig i ett kraftverk, utan i bästa fall omvandlas ca 40 %
av den mekaniska energin till elektrisk energi, resten blir värmeenergi
hos kylvattnet. Det finns därför många kraftvärmeverk som utnyttjar
kylvattnet för uppvärmning av bostäder, så kallad fjärrvärme. Detta förbättrar inte effektiviteten i elproduktionen, men eftersom överskottsenergin utnyttjas på ett bättre sätt ökar verkningsgraden i hela processen.
I ett vattenkraftverk sker elproduktionen på ett liknande sätt. Skillnaden
är att man istället utnyttjar lägesenergin hos vattnet. När vattenmassorna faller övergår lägesenergin till rörelseenergi som sätter fart på turbinen och driver generatorn. I övrigt är principen densamma.
256
Energi och arbete
© Författarna och Zenit AB
 1
 2
 3
 4
Vattenkraftverk
Motsvarande gäller vindkraftverk, förutom att det istället är luftens
rörelseenergi som används.
I ett kärnkraftverk har vattenkokaren en annorlunda utformning eftersom det radioaktiva bränslet måste hållas väl isolerat från omgivningen.
Själva reaktorn med vattenkokaren finns därför i en reaktorinneslutning som ska ge säkert skydd för alla tänkbara haverier och sabotagemöjligheter. De svenska kärnkraftverken anses internationellt som de
säkraste på jorden.
EX EMPEL 9
Ett vattenkraftverk utnyttjar en sjö som
reservoar. Sjön är belägen 23 meter
högre upp än kraftverket.
Hur stor effekt kan kraftverket leverera om verkningsgraden är 54 % och
genomströmningshastigheten är 4 000
liter vatten per sekund?
Massan av 4 000 liter vatten är 4 000 kg. När vattnet faller 23 m
omvandlas vattnets potentiella energi till rörelseenergi:
Wkin =Wp1 = mgh = 4 000 · 9,82 · 23 J ≈ 907 kJ
Eftersom verkningsgraden är 54 %, omvandlas 54 % av rörelseenergin till elektrisk energi:
 6
 7
 8
 9
10
Wel = 0,54Wkin = 0,54 · 907 J = 490 kJ
Eftersom denna energi omvandlas varje sekund blir effekten
490 kJ/s = 490 kW.
Svar: Kraftverket kan leverera 0,49 MW.
© Författarna och Zenit AB
 5
Energi och arbete
257
S
Vindkraftverk
Solens olika uppvärmning på skilda delar av jordytan
gör att det uppkommer högtryck och lågtryck (se s. 81).
När luftmassorna rör sig från högtryck mot lågtryck
uppkommer vindar. I ett vindkraftverk utnyttjas den
kinetiska energin i vindarna för att producera elektrisk
energi. Istället för att drivas av en turbin sitter generatorn monterad på samma axel som propellern.
Om en viss mängd luft med massan m och farten v passerar propellern till ett vindkraftverk är rörelseenergin
hos luftmassan:
1
Wkin = mv 2
2
För att bilda oss en uppfattning om hur stor energi vi
kan utvinna ur luften tänker vi oss att den luft som
under tiden t träffar propellern, finns i ett ”rör” av längden s framför propellern. Volymen av denna luft är: V=A·s
Om densiteten är ρ har luften massan:
Vindkraftverk
m=ρ·V=ρ ·A·s
Det innebär att den rörelseenergi som finns upplagrad i det luftpaket
som träffar propellern under tiden t är:
1
Wkin = r ⋅ A ⋅ s ⋅ v 2
2
Effekten blir alltså:
A
s
Ett ”luftrör” med volymen V= A . s.
258
Energi och arbete
1
r ⋅ A ⋅ s ⋅ v2
1
Wkin 2
P=
=
= ⋅ r ⋅ A ⋅ v3
2
t
t
eftersom farten hos luftmassan är detsamma som v = s / t.
Effekten hos ett vindkraftverk beror alltså både av den yta vingarna
sveper över och av vindhastigheten. Som framgår av sambandet är beroendet av vindhastigheten stort (om vindhastigheten fördubblas, blir
effekten åtta gånger större).
© Författarna och Zenit AB
All rörelseenergi hos luften kan inte avges till vindmöllan – då skulle ju
luften stå stilla på andra sidan propellern. Luften måste alltså ha en liten
fart efter att den passerat propellern.
vföre
vefter
A
Luften har lägre fart efter att ha passerat vindkraftverket.
E X EMPEL 10
Hur stor effekt kan ett vindkraftverk
med 14 m långa propellervingar leverera vid en vindhastighet på 10 m/s om
verkningsgraden då är 43 %?
Det går att visa teoretiskt att den energi som finns i ett luftpaket kan
utnyttjas högst till 59 %. Den högsta teoretiskt möjliga effekt som ett
vindkraftverk kan leverera är:
1
P = ⋅ h ⋅ r ⋅ A ⋅ v3
2
med verkningsgraden η = 0,59. Verkningsgraden hos ett vindkraftverk
beror av vindhastigheten. Vid låga och höga vindhastigheter är verkningsgraden låg.
Luft har densiteten ρ = 1,3 kg/m3. Verkningsgraden η = 0,43. Vingarna sveper över arean:
A = π · r2 = π · 142 m2 = 616 m2
 1
 2
 3
 4
 5
 6
Vindkraftverkets effekt blir alltså:
1
1
P = ⋅ η ⋅ ρ ⋅ A ⋅ v 3 = ⋅ 0,43 ⋅1,3 ⋅ 616 ⋅103 W ≈ 172 kW
2
2
 7
Svar: Effekten är 170 kW.
 8
Lös uppgifterna 918-919 på sidan 267
 9
10
S
© Författarna och Zenit AB
Energi och arbete
259
Det möjligas konst
Betraktar vi hela jorden som ett enda stort fysikaliskt system säger energiprincipen att den samlade energin i världen är konstant. Här finns
oanade möjligheter till uppfinningsrikedom, även om det finns tekniska
svårigheter som måste övervinnas.
Låt oss till exempel uppskatta den energi som finns lagrad i världshaven.
Vattenmassan i världshaven uppskattas till 1,4 · 1021 kg, vilket innebär
att en temperatursänkning på bara 1 °C skulle frigöra hela 5,9 · 1024 J.
Som jämförelse är Sveriges totala årliga energiförbrukning 1,4 · 1018 J.
En grads temperatursänkning skulle alltså frigöra en energi som är mer
än fyra miljoner gånger större än Sveriges årliga energiförbrukning.
Om vattentemperaturen skulle kunna sänkas, borde jorden alltså kunna
försörjas med energi under några generationer! Det innebär väl att de
stora mängder inre energi som finns lagrade i vattnet borde kunna
omvandlas till mekanisk energi – eller?
Tyvärr är det omöjligt. I början av 1800-talet lade den franske ingenjören Sadi Carnot fram en teori som diskuterar omvandlingen från värme
till arbete i en ångmaskin. Carnot kom fram till att alla maskiner som
omvandlar värme till arbete, värmekraftmaskiner, måste växelverka med
två fysikaliska system – ett med hög och ett med låg temperatur.
Maskinen tar emot en energimängd, Whög, från systemet med hög temperatur och avger en energimängd, Wlåg, till systemet med låg temperatur. Det arbete som kan utföras av maskinen är alltså skillnaden:
A = Whög - Wlåg
Använder vi detta samband för ett kraftverk ser vi att systemet med den
höga temperaturen är kokaren och systemet med den kalla temperaturen är kondensorn med kylvatten.
varmt system
Thög
maskin
Whög
kallt system
Wlåg
Tlåg
A = Whög –Wlåg
260
Energi och arbete
© Författarna och Zenit AB
Carnot upptäckte också att det finns en gräns för hur stor verkningsgraden kan bli i en värmekraftmaskin. Verkningsgraden är, som tidigare
nämnts, kvoten mellan nyttig och tillförd energi.
h=
Wnyttig
Wtillförd
=
A
Whög
Carnot visade att den maximala teoretiska verkningsgraden enbart
beror på de två temperaturerna (i Kelvin):
hmax =
 1
 2
 3
Thög − Tlåg
Thög
Denna storhet kallas ofta Carnotfaktorn och anger den övre gränsen för
en värmekraftmaskins verkningsgrad.
 4
I ett kraftverk där temperaturen i kokaren är 540 °C och med en kylvattentemperatur på 10 °C blir den maximala verkningsgraden:
 5
hmax =
813 K − 283 K
= 0, 65
813 K
kokare
 6
turbin
kondensor
813 K
283 K
 7
 8
 9
A
Det är alltså teoretiskt omöjligt i ett sådant kraftverk att omvandla mer
än 65 % av den tillförda värmeenergin till elektrisk energi. En av orsakerna till att verkningsgraden i praktiken är väsentligt lägre är att ångan
kyls av på sin väg genom turbinerna. Om ångan t.ex. passerar genom tre
turbiner är dess temperatur i den tredje turbinen lägre än de 540 °C den
hade från början – verkningsgraden i den tredje turbinen är alltså lägre.
Det är alltså för att öka den maximala verkningsgraden som man i t.ex.
ett kärnkraftverk hettar upp vattnet under högt tryck.
© Författarna och Zenit AB
Energi och arbete
261
10
S
Om vi återgår till det ursprungliga exemplet med havsvatten där vi ville
omvandla vattnets temperatur till elektrisk energi, så blir den maximala
verkningsgraden:
hmax =
284 K − 283 K
= 0,0035
283 K
om vi antar att allt vatten på jorden har medelvattentemperaturen 10 °C.
I verkligheten skulle verkningsgraden vara mycket mindre än så.
Värmepumpar och kylskåp
Två intressanta – och till synes ologiska – varianter av värmekraftmaskiner är värmepumpen och kylskåpet. I båda fallen är idén att ta energi
från ett system med låg temperatur för att sedan avge denna energi till
ett system med hög temperatur. Att detta fungerar ser du bevis på varje
gång du öppnar kylskåpet eller frysen, men hur fungerar de egentligen?
Kylskåpet
Molekylerna i vätskor förhindras av atmosfärens tryck från att göra
sig fria och övergå i gasform. Om trycket minskar blir det lättare för
vätskemolekylerna att förångas. Det ser vi genom att vattens kokpunkt
minskar ju lägre lufttrycket är. På toppen av Mount Everest kokar vatten
redan vid 70 °C.
Inuti kylskåpet är trycket i rören lågt och kylmediet kan förångas trots
den låga temperaturen. Vid förångningen tas energi från omgivningen
och luften i kylskåpet blir kallare.
På baksidan av kylskåpet passerar kylmediet (som nu är i gasform) en
kompressor som ökar trycket i gasen. Det höga trycket gör att mediet
kondenserar trots att temperaturen är högre. Vid kondensationen avges
den värme kylmediet tog upp vid förångningen och det blir varmt på
kylskåpets baksida.
För att få ett så effektivt kylskåp som möjligt, används ämnen där kokpunkten varierar mycket då trycket ändras. Ett sådant ämne är freon,
vilket tidigare användes i nästan alla kylskåp. Tyvärr är freon skadligt för
ozonskiktet, och i dag används istället olika kolväten.
262
Energi och arbete
© Författarna och Zenit AB
Experiment Kokning och tryck
Häll upp rumstempererat vatten i en bägare och placera
bägaren i en glaskupa som är ansluten till en vakuumpump. Pumpa ut luften ur glaskupan och lägg märke till
vad som händer med vattnet. Låt därefter luften pysa in
igen och mät temperatur på vattnet. Beskriv vad som
hände och förklara varför det hände.
 1
 2
Experiment Avdunstning
Linda två pappersbitar runt var sin termometer.
Fukta den ena pappersbiten och sväng runt de båda
termometrarna i luften. Avläs efter några minuter termometrarnas temperaturer och försök förklara resultatet.
Som du kanske minns från energikapitlet, måste vi
tillföra energi till en vätska för att få den att förångas.
Den energi som behövs beror på vilken vätska det är.
För vatten behövs ca 2,3 MJ för att förånga 1 kg.
När vattenångan kondenserar, dvs. återgår till vätskeform, avges åter energin. I ett kylskåp använder vi dessa
två processer för att förflytta energi från insidan av
kylskåpet, som vi vill ska vara kall, till utsidan. Baksidan
av ett kylskåp är alltså varmt (testa själv därhemma).
Tricket är att få vätskan att koka inne i kylskåpet för att
sedan kondensera den när den kommer till utsidan.
 3
 4
 5
 6
Värmepumpen
En motsvarighet till kylskåpet är värmepumpen, där man tar energi
från marken, från en sjö eller från luften för att värma upp inomhusluften eller vatten för hushållsbruk. Principen är exakt densamma som
för kylskåpet. Skillnaden är att förångaren är en slinga som grävts ner
i marken, stoppats ned i en sjö eller som hänger utanpå huset och att
kondensorn motsvarar varmvattenberedaren inne i huset.
Energi tas ”gratis” ur luften, marken eller vattnet och används inomhus.
Värmepumpen fungerar alltså som ett bakvänt kylskåp – det blir kallare
utomhus och varmare inomhus. Det enda som kostar är den elektriska
energi som driver kompressorn.
 7
 8
 9
10
S
© Författarna och Zenit AB
Energi och arbete
263
Energikvalitet
Energiprincipen innehåller bara en del av sanningen om energins
natur. Som vi sett tidigare innehåller den inte något om vilka energiomvandlingar som är möjliga. Mekanisk energi kan t.ex. genom friktion helt omvandlas till värmeenergi, medan värmeenergi aldrig helt
kan omvandlas till mekanisk energi. Därför är det naturligt att införa
begreppet energikvalitet eller exergi.
Mekanisk energi har hög energikvalitet medan värmeenergi har låg
energikvalitet. Ju lägre temperatur ett system har desto lägre är kvaliteten på dess värmeenergi. Detta framgår av den tidigare definierade
maximala verkningsgraden, den s.k. Carnotfaktorn:
Exempel på kvalitetsfaktor
q
Kinetisk energi
1,00
Potentiell energi
1,00
Elektrisk energi
1,00
Solstrålning
0,95
Kemisk energi
0,85-0,90
Termisk energi vid 285 °C
0,46
Termisk energi vid 70 °C
0,13
Energikvalitet
Mekanisk energi,
elektrisk energi,
kemisk energi
Värmeenergi med
hög temperatur
Värmeenergi med
låg temperatur
264
Energi och arbete
h = Thög − Tlåg
max
Thög
Detta gör att många hellre pratar om exergi än energi. Exergi definieras som ”den mängd kinetisk energi som kan utvinnas ur en viss energimängd”. Detta gör att vi kan definiera en kvalitetsfaktor, q, på olika
energislag som:
q=
exergi
energi
Eftersom både energi och exergi mäts i Joule blir q en dimensionslös
konstant.
Mekanisk och elektrisk energi kan omvandlas till vilka andra energiformer som helst och har därför kvalitetsfaktorn 1,0. Tabellen till vänster
visar kvalitetsfaktorn för några olika energislag.
Alla processer i naturen går från energi med hög till energi med låg kvalitet. Vid varje process minskar mängden högkvalitativ energi medan
mängden lågkvalitativ energi ökar. Kommer universum så småningom
att sluta som ett system med bara lågkvalitativ värmeenergi, där all materia har samma temperatur? I så fall kommer alla kemiska och fysikaliska
processer att avstanna, ett tillstånd som fysiker kallar värmedöden.
Vi får trösta oss med att universum funnits i många miljarder år, och
att det fortfarande finns mängder med högkvalitativ energi kvar – tillräcklig för att vi ska kunna fortsätta fundera över världen omkring oss i
ytterligare ett antal miljarder år.
© Författarna och Zenit AB
Sammanfattning
Energibevarande
Den totala energin i ett system är bevarad om det
inte sker något energiutbyte med omgivningen.
Arbete
När ett föremål flyttas under inverkan av en kraft
uträttas arbetet:
A=F·s
där F är kraftens komposant utmed den riktning
föremålet flyttas och s är sträckan.
Arbetet kan t.ex. vara ett lyftarbete:
A = Flyft · s = m · g · h
där m är massan, g tyngdfaktorn och h höjden över
en referenspunkt, eller ett accelerationsarbete:
1
A = Facc ⋅ s = mv 2
2
där v är föremålets hastighet, eller ett friktionsarbete:
A = Ffriktion · s = μ · m · g · s
Mekanisk energi
Ett föremål med massan m som rör sig med farten v
har den kinetiska energin (rörelseenergin):
1
Wk = mv 2
2
Ett föremål med massan m som befinner sig på
höjden h över en referensnivå har den potentiella
energin (lägesenergin):
Wp = m · g · h
där g betecknar tyngdfaktorn.
Ett systems totala mekaniska energi är summan av
lägesenergin och rörelseenergin.
Energikvalitet
Mekanisk energi kan omvandlas till 100 % till inre
energi, men det omvända gäller inte. Därför har
mekanisk energi högre energikvalitet än inre energi.
Vid alla fysikaliska förlopp minskar energin av hög
kvalitet medan den av låg ökar.
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
där μ är friktionstalet.
Den maximala teoretiska verkningsgraden hos en
värmemaskin ges av Carnotfaktorn:
 9
Arbetet är vanligen en kombination av dessa tre.
10
Då en fjäder pressas samman eller om den dras ut
sträckan x uträttas arbetet:
1
A = ⋅ k ⋅ x2
2
där Thög och Tlåg är temperaturen i K hos det varma
respektive kalla systemet.
S
där k är fjäderkonstanten för fjädern.
Om ett arbete uträttas av en kraft som varierar i
storlek, kan arbetet beräknas som arean under den
graf som visar kraften som funktion av sträckan.
© Författarna och Zenit AB
Energi och arbete
265
Uppgifter
901 En container lyfts 15 meter rakt upp med
konstant fart. Containern väger 7,5 ton.
a Hur stor kraft behövs för lyftet?
b Hur stort arbete uträttas vid lyftet?
902
B
907 Beräkna rörelseenergin hos ett tågset som
består av lok och arton vagnar. Loket väger
25 ton och var och en av vagnarna 2,5 ton.
Tåget har farten 70 km/h.
908 Beräkna din rörelseenergi då du springer
med farten 6,0 m/s.
909 Hur stor fart hade bilen i uppgift 906 då
6m
C
8m
A
En kornsäck som väger 100 kg lyfts först vertikalt från A till B enligt bilden. Sedan glider
säcken med konstant fart mellan B och C.
Slutligen bärs säcken mellan C och A.
Redogör med beräkningar för de energiomvandlingar som sker under säckens hela
rörelse.
903 En simhoppare befinner sig i ett hopptorn
3 meter över vattenytan. Gör lämpliga
antaganden och beräkna simhopparens
läges­energi relativt vattnet.
904 Vilken lägesenergi har ett flygplan relativt
marken då det flyger på en höjd av 10 000
meter om planets massa är 185 ton.
905 En låda äpplen med massan 30 kg släpas 8,0
m längs ett horisontellt trägolv. Friktionstalet
mellan golvet och lådan är 0,65. Hur stort
arbete uträttas av friktionskraften under
rörelsen?
inbromsningen påbörjades? Bilen står stilla
efter den uppmätta bromssträckan. Är någon
information överflödig i uppgift 906 för att
kunna lösa denna uppgift?
910 En boll som väger 100 g faller från ett 21 m
högt torn. Anta att bollen faller utan nämnvärt luftmotstånd. Välj en lämplig nollnivå
för den potentiella energin och beräkna
sedan bollens potentiella, kinetiska och totala
mekaniska energi.
a vid början av fallet
b då bollen fallit 12 meter
c precis innan bollen slår i marken.
911 En sten som väger 450 g faller från ett föns-
ter. Vid ett tillfälle är farten 12 m/s. Då stenen
fallit ytterligare 6,0 m har den farten 14 m/s.
a Hur mycket energi har omvandlats till värme
under det 6,0 meter långa fallet?
b Hur stor är den genomsnittliga bromskraften
från luften under denna tid?
906 Under en bromskontroll uppmättes ett
7,5 meter långt bromsspår på den torra asfalten. Bilen vägde 1,2 ton. Komplettera med
lämplig information och beräkna bromsarbetets storlek under inbromsningen.
266
Energi och arbete
© Författarna och Zenit AB
916 Jens laddar sin leksakspistol genom att pressa
912
ihop en fjäder 6 cm. Fjäderkonstanten är
61 N/m. Jens avfyrar pistolen och plastkulan,
som väger 8 g, skjuts iväg horisontellt. Vilken
utgångsfart får kulan?
50°
2,0 m
 1
 2
917 En stavhoppare, som väger 65 kg, klarar ett
hopp på 4,30 meter. Den sista sträckan på
80 cm lyfter hopparen sig med armarna.
a Hur stort arbete uträttar hon då?
b Hur hög fart måste stavhopparen ha uppnått
under ansatsen för att klara av detta hopp?
h
800 g
En pendelkula som väger 800 g är upphängd
i ett 2,0 m långt snöre. För att få kulan att
svänga i en pendelrörelse förs den ut i sidled
med sträckt snöre tills snöret bildar vinkeln
50° mot lodlinjen. Kulan släpps och får
svänga.
a Hur stor lägesenergi i förhållande till jämviktsläget (lägsta punkten) har kulan när den
släpps?
b Hur stor fart har kulan då den passerar jämviktsläget?
913 En fjäder med fjäderkonstanten 2 300 N/m
förlängs med 5,0 cm.
a Hur stort arbete uträttas?
b Hur stort arbete skulle uträttats om fjädern
istället förlängts 10,0 cm?
918 I exempel 10 studerade vi ett vindkraftverk.
Verkningsgraden hos denna vindmölla
varierar med vindens hastighet. Beräkna den
avgivna effekten vid olika vindhastigheter.
Vindhastighet (m/s)
Verkningsgrad
7
39 %
10
43 %
13 28 %
16 17 %
19 11 %
919 Ett litet vattenkraftverk har en årlig elpro-
duktion på 1,8 GWh. Den genomsnittliga
mängden vatten som passerar är 1,3 m3/s och
fallhöjden är 24,5 m. Hur stor del av vattnets
potentiella energi omvandlas till elenergi i
detta kraftverk?
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
914 Det behövs ett arbete på 40,0 J för att trycka
ihop en fjäder 10,0 cm. Hur stor är fjäderkonstanten?
11
915 En fjäder, vars fjäderkonstant är 800 N/m,
S
förlängs först 12,0 cm och därefter ytterligare
8,0 cm. Hur stort arbete uträttas vid den
andra förlängningen?
© Författarna och Zenit AB
Energi och arbete
267
Blandade uppgifter:
924 En bil som väger 950 kg panikbromsar för att
undvika en kollision, men krockar lätt med
en stillastående bil.
Till vissa av de blandade uppgifterna måste du göra egna
antaganden. Glöm inte att redovisa dessa!
920 Beräkna hur stor energi som behövs för att
öka massan av ett föremål ett gram.
921 Solen strålar med en effekt på 3,8 · 1026 W.
a Hur mycket minskar solens massa varje
sekund?
b Hur stor är solens massminskning under ett
århundrade?
c Hur stor del av solens massa ”försvinner”
under ett århundrade?
d Varför är det lämpligt att sätta citationstecken runt ordet försvinner i uppgift c? 922 En blomkruka faller ut från ett fönster på
tredje våningen. Hur stor fart har den då den
slår i marken?
922 Ett passagerarflygplan flyger på 9 800 meters
höjd med farten 880 km/h. Planet väger med
last 265 ton. Hur stor mekanisk energi har
flygplanet relativt marken?
923 Då 1 m3 olja förbränns, omvandlas
6000 kWh till värme och det bildas ca 2,8 ton
koldioxid som förbränningsgas.
Anta att en reaktor med en producerad eleffekt
på 600 MW, ersätts med oljeproducerad el.
a Hur mycket olja måste dagligen förbrännas
för att ersätta bortfallet av en reaktor av Barsebäcks storlek. Du kan räkna med en verkningsgrad vid omvandlingen av värmeenergi
till el på ca 30 %.
b Hur mycket koldioxid bildas?
268
Energi och arbete
I polisrapporten uppger bilisten att han
körde i 50 km/h eller möjligen obetydligt
mer. Vidare står det att bromsspårens längd
är 18,0 m, att bildäcken är i bra kondition
och att asfaltvägen är torr.
a Hur stor rörelseenergi hade bilen före
inbromsningens början enligt förarens uppgifter?
b Vilken rörelseenergi bör den haft enligt
polisrapporten.
c Hur fort körde bilisten?
925 I en leksakskanon finns en fjäder med fjä-
derkonstanten 1 500 N/m. Kanonen laddas
genom att fjädern pressas samman 5,0 cm
och avfyras i vertikalt läge med en kula som
väger 100 g.
a Hur högt når kulan?
b Hur högt skulle en kula som väger 25 g nå?
c Skulle höjden på skottet bli annorlunda på
månen där tyngdfaktorn är 1,65 N/kg?
© Författarna och Zenit AB
926 Vid ett vattenkraftverk har man bestämt
A
nivå 2
927 Anna vill uppskatta vilken effekt som krävs
för att driva hennes bil med en konstant fart
på 60 km/h. Hon accelererar bilen till 65 km/h
och frikopplar sedan (dvs. kopplar bort den
drivande kraften). Bilens fart minskar till 55
km/h på 7,2 s och massan inklusive förare
var 1 450 kg.
Hur stor effekt krävs för att driva Annas bil?
928 Utanför Falkenberg finns ett av världens
största solvärmeverk, som ger 2 GWh per år.
Solpanelernas sammanlagda area är 5 500 m2.
Vilken nyttig effekt per kvadratmeter solpanel ger solstrålningen under årets ljusa
timmar?
929 En jumbojet (Boeing 747) har en maximal
”take-off ”-vikt på 390 ton. Då den lämnar
startbanan har den uppnått en fart på
260 km/h. Anta att ungefär hälften av den
energi som motorerna avger kan användas
för att accelerera flygplanet, och att resten
är friktionsförluster, t.ex. luftmotstånd. Hur
stor dragkraft ger motorerna i genomsnitt
om startbanans längd är 1,6 km?
930 När du ligger på golvet efter att ha gjort 25
armhävningar börjar du fundera över hur
mycket energi som omsatts. Gör en uppskattning!
© Författarna och Zenit AB
 1
nivå 1
B
931
sig för att utnyttja en 2,5 km2 stor sjö som
ligger 35 meter högre upp som ”energilager”
att användas i perioder med hög belastning.
Kraftverket kan utnyttja 48 % av vattnets
potentiella energi för elproduktion.
Hur mycket elenergi kan man producera om
man gör ett vattenuttag ur sjön som är så stort
att vattennivån i sjön sänks med en meter?
A
 2
B
Två små lättrörliga vagnar, A och B, släpps
samtidigt från vila vid nivå 1 och får åka
nerför var sin bana till nivå 2.
Vagn A åker nedför en linjär bana och B
nedför en mjukt böjd. Båda banorna är lika
långa.
Vilka av följande påståenden är riktiga?
(A) Vid nivå 2 har vagn A större fart än vagn B
(B) Vid nivå 2 har vagnarna samma fart
(C) Vid nivå 2 har vagn B större fart än vagn A
(D) Vagn A når nivå 2 före vagn B
(E) Vagn A och B når nivå 2 samtidigt
(F) Vagn B når nivå 2 före vagn A
 4
 5
 6
 7
 8
932 Då 1 m3 olja förbränns, omvandlas
6 000 kWh till värme och det bildas ca 2,8 ton
koldioxid som förbränningsgas.
Anta att en reaktor med en producerad eleffekt
på 600 MW, ersätts med oljeproducerad el.
a Hur mycket olja måste dagligen förbrännas
för att ersätta bortfallet av en reaktor av Barsebäcks storlek. Du kan räkna med en verkningsgrad vid omvandlingen av värmeenergi
till el på ca 30 %.
b Hur mycket koldioxid bildas?
933 Hur stor rörelsemängd har en elektron som
rör sig med farten 2,5 · 105 m/s ?
Energi och arbete
 3
269
 9
10
11
S
934 En brandman glider nerför ett rep. Han har
då en acceleration som är 3 m/s2. Vilka krafter verkar på brandmannen? Gör en figur
över kraftsituationen där du redovisar krafterna med korrekta inbördes storlekar. Gör
rimliga antaganden för att kunna beräkna
hur stor kraft repet minst måste kunna tåla
för att hålla för belastningen.
937
935 Erika spelar squash. Vid ett tillfälle när hon
smashar bollen är den på väg in mot racketen med farten 14 m/s och lämnar den med
farten 55 m/s i rakt motsatt riktning.
En squashboll väger 24 g.
a Hur stor är bollens rörelsemängdsändring ?
b Hur stor är medelkraften på bollen om
bollen och racketen antas vara i kontakt med
varandra i 5 ms.
936 En lastbil, som med last väger 12,5 ton, kör
på en bergsväg. Under en 5,0 km lång sträcka
går det konstant uppför med en stigning på
8 %. Detta svarar mot en lutning på vägen
som är 4,6° mot horisontalplanet.
På hemvägen är lastbilen tom och väger då
8,5 ton. Föraren bromsar under hela nerfärden för att hålla farten konstant.
a Beräkna hur stort lyftarbete som uträttas då
lastbilen kör upp,
b Beräkna hur stor minskningen är i läges­
energi då lastbilen kör tillbaks.
c Bestäm den genomsnittliga bromskraften på
lastbilen under nerfärden.
Skaffa ett kraftigt rep som är (minst) fem
meter långt. En bogserlina kan användas.
Häng upp ett tungt föremål, t.ex. en hink
delvis fylld med vatten, mitt på repet. Har du
tillgång till en vikt med massan 5 kg är det
ett bra alternativ.
Jobba tre och tre. Två personer ställer sig
med repet sträckt mellan sig och lyfter upp
föremålet så att repet ”sviktar ner” så lite
som möjligt och den tredje mäter. Se bilden!
a Vad händer? Beskriv och förklara!
b Hur mycket ”sviktar” repet, dvs. hur mycket
avviker upphängningspunktens läge från en
rät linje som förbinder de båda händerna?.
c Försök beräkna storleken av krafterna i repet
baserat på längdmätningar.
938 Tyngdkraften på en satellit som befinner sig
utanför jorden varierar med avståndet till
jordytan så som diagrammet visar.
F/N
3 000
2 000
1 000
0
0
2 000
4 000
6 000 s / km
a Hur mycket väger satelliten?
b Gör en uppskattning av hur stort arbete
som behövs för att öka satellitens höjd från
1 000 km till 6 000 km.
270
Energi och arbete
© Författarna och Zenit AB