7 tRIGoNometRI

FÖRDJUPNING
M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber
7 trigonometri
Trigonometri handlar om sidor och vinklar i trianglar. Ordet kommer från
grekiskans ”trigonon” (tre vinklar) och ”métron” (mått). Trigonometri
har använts under de senaste 2000 åren inom astronomi, lantmäteri och
navigation. Används numera också inom t ex ellära och optik.
Säkert minns du från M1a att den rätvinkliga triangeln har två kateter.
Eftersom det är viktigt att man vet vilken som är vilken av dessa kateter,
kallas de närliggande respektive motstående katet, och då utgår man från en
av de spetsiga vinklarna.
Den katet som är närmast vinkeln v kallas närliggande katet.
Den katet som är mitt emot vinkeln v kallas motstående katet.
usa
oten
hyp
v
närliggande katet
motstående
katet
!
sin v =
cos v =
tan v =
motstående katet
hypotenusa
=
närliggande katet
hypotenusa
motstående katet
närliggande katet
a
c
=
=
b
c
a
v
c
b
a
b
EXEMPEL 1
Bestäm den sida som är markerad med x.
Definitionen av cosinus ger
x
cos34° =
7,1
x = 7,1 · cos 34°
(cm)
7,1
34°
x
x ≈ 5,9
svar: Sidan är 5,9 cm.
7 Trigonometri
213
FÖRDJUPNING
M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber
EXEMPEL 2
Bestäm vinkeln v. Svara i hela grader.
(cm)
15
v
31
Eftersom vi vet båda kateterna använder vi definitionen av tan v.
tan v =
31
15
v ≈ 64° (64, 17…)
svar: 64°
EXEMPEL 3
I en likbent triangel är toppvinkeln 76,0° och
motstående sida 21,6 cm enligt figuren.
Beräkna triangelns omkrets och area.
76°
21,6 cm
Vi drar en höjd från toppvinkeln mot basen. Höjden delar basen mitt
itu och är dessutom bisektris till toppvinkeln. I den halva likbenta
triangeln kallas sidorna a och b enligt nästa figur.
10,8
a
10,8
a=
sin38°
sin38° =
b
38°
a
10,8 cm
a ≈ 17,54...
Vi använder räknarens värde på a när omkretsen beräknas.
Omkretsen = (2 · 17,54… + 21,6) cm ≈ 56,7 cm.
Nu beräknar vi sidan b, som är den ursprungliga triangelns höjd.
10,8
b
10,8
b=
tan38°
tan38° =
b ≈ 13,82
Triangelns area är
13,82 ⋅ 21,6
≈ 149
2
svar: Omkretsen är 56,7 cm och arean 149 cm2.
214
7 Trigonometri
FÖRDJUPNING
M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber
152
Beräkna de markerade vinklarna.
Svara i hela grader.
a)
b)
11
v
5
c)
5
5
v
3
2
d)
7
9
v
v
153
Beräkna den sida som är markerad med x. Avrunda till två
värdesiffror.
a)
b)
15 cm
27°
c)
31 dm
x
x
x
42°
35°
d)
17 cm
x
19°
23 m
154
I en rätvinklig triangel är kateterna
36 mm och 85 mm långa. Bestäm triangelns minsta vinkel.
155
Titta på rektangeln.
(m)
a) Beräkna vinkeln v i hela grader.
23,5
15,1
v
b) Beräkna rektangelns area i hela m .
2
156
a) omkrets
157
B
Triangeln ABC är likbent. Beräkna
med två värdesiffror triangelns
b) area.
(cm)
A
37°
37°
10,2
C
Utgå från en vinkel x. Förklara
varför sin x och cos x inte kan bli
större än 1, medan däremot tan x kan bli hur stort som helst.
7 Trigonometri
215
FÖRDJUPNING
158
M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber
Beräkna triangelns area med två värdesiffror.
(cm)
8,2
41°
11,4
159
160
Rita, utan att använda gradskiva,
en rätvinklig triangel som har en
vinkel 58°. Förklara hur du tänker.
Vilka koordinater har punkterna P och Q i koordinatsystemen
nedan? Svara med en decimal.
y
y Q
P
5 le
4 le
x
37°
161
80°
x
Beräkna husgavelns area.
(m)
31°
4,5
9,2
162
En båt seglar rakt mot en fyr enligt skissen nedan.
Vid två punkter A och B mäter man vinkeln till fyrens topp.
Avståndet mellan A och B är 530 m.
a) Beräkna avståndet från B till fyren, dvs BC.
b) Beräkna hur högt över vattenytan som fyrens top ligger,
dvs CT.
T
3,5°
5,6° B
C
216
7 Trigonometri
530 m
A
FÖRDJUPNING
M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber
8VEKTORER
Man brukar skilja på skalärer och vektorer.
En vektor är en storhet som har både storlek och riktning.
Exempel på vektorer är kraft, hastighet och acceleration.
En skalär en storhet som har en storlek, men saknar riktning.
Exempel på skalärer är temperatur, area och energi.
En vektor markeras med ett streck ovanför beteckningen, t ex kraften F .
Vektorer visas med pilar eftersom en pil har både storlek och riktning.
Är några av dessa vektorer lika?
Ja u = v eftersom de är lika till både storlek och riktning.
u
B
v
AB
w
A
Här ska vi utgå från två parallella vektorer,
nämligen de två krafterna F 1 = 3 N och F 2 = 2 N.
Hur blir det då dessa krafter adderas?
F1 = 3 N
F2 = 2 N
F1 = 3 N
F2 = 2 N
R = F1 + F2 = 5 N
Bilden ovan visar att vi adderar vektorerna genom att låta dessa
”bita varandra i svansen” ! Resultatet av additionen kallas resultant
och betecknas ofta R .
Låt oss nu addera en positiv och en negativ vektor,
nämligen F 1 = 3 N och F 2 = –2 N.
De här vektorerna har motsatt riktning och olika storlek. När vi adderar
vektorerna placerar vi den andra vektorn där den första vektorn slutar.
F1 = 3 N
R
–F2
R = F1 + (–F2) = 1 N
Summan av vektorerna, dvs resultanten R = 1 N.
8 Vektorer
217
FÖRDJUPNING
M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber
Till sist ska vi addera två vektorer som inte är parallella.
Vi konstruerar resultanten genom att rita en parallellogram och dess
diagonal, enligt bilden.
Nu gäller att diagonalen = resultanten.
E xempel 1
F
Bilden visar vektorn F .
3F
a) Rita vektorn 3 F . –2F
b) Rita vektorn –2 F .
E xempel 2
u1 = 3 m/s
a) Bilden visar två vektorer
u1 och u2 .
u2 = 4 m/s
3 m/s
Konstruera grafiskt u1 + u2 .
Vi ser att summan
(resultanten) blir diagonalen
i en rektangel.
4 m/s
b) Beräkna summan algebraiskt.
Summan beräknas med Pythagoras sats.
u2 = 32 + 42 ⇒ u = 5
svar: u = 5 m/s
218
8 Vektorer
FÖRDJUPNING
M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber
163
Utgå från krafterna F1 = 24 N och F2 = 10 N.
Hur stor blir krafternas summa om krafterna
a) har samma riktning
b) har motsatt riktning
c) är vinkelräta?
164
Här gäller att F = 6 N. Ange följande vektorers storlek.
2F
a) 3 F b)
c) 4 F + F
3
165
Nedan ser du två vektorer u1 och u2 .
Bestäm genom att rita på rutat papper.
a) u1 + u2 . b) 2 u1 + u2 . u1
u2
166
Addera de tre vektorerna grafiskt och rita den resulterande vektorn.
u1
u3
u2
167
Utgå från två krafter som är 3 N och 5 N. Vilken blir det största
respektive den minsta möjliga resultanten? Motivera!
168
Beräkna x då summan av de vinkelräta vektorerna
F 1 = x och F 2 = 50 blir 130.
8 Vektorer
219
FÖRDJUPNING
M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber
9VEKTORER och trigonometri
När man använder vektorer i t ex fysiken,
är vektorns riktning ofta angiven med en vinkel.
E xempel 1
En basebollspelare skjuter med en vinkel på 42º
med utgångshastigheten 25 m/s.
Bestäm hastighetens
komposanter
i x-led och y-led.
höjd
y
v = 25 m/s
v = 25 m/s
vy
utslagsvinkel
x
40°
Vi placerar vektorn i ett koordinatsystem
och beräknarhöjd
komposanterna.
v = 25 m/s
vx
cos42° =
ger vx = 25 · cos 42° ≈ 19
25 utslagsvinkel
sin 42° =
vy
25
ger vy = 25 · sin 42° ≈ 17
längd
y
v = 25 m/s
vy
x
40°
vx
längd
svar: vx ≈ 19 m/s vy ≈ 17 m/s
E xempel 2
Bestäm vinkeln a mellan resultanten R
och komposanten Fx. Svara i hela grader.
8N
5
cos a = ⇒ a ≈ 51,3
8
a
svar: a ≈ 51°
5N
I följande uppgifter är det lämpligt att avrunda till 2 värdesiffror.
169
Beräkna komposanterna i x-led och y-led.
y
v = 30 m/s
41°
220
x
9 Vektorer och trigonometri
vx
FÖRDJUPNING
M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber
170
Bestäm vinkeln a mellan en kraft F = 50 N och
komposanten Fy = 30 N, när du vet att Fx = 40 N.
171
En kraft F kan delas upp i två komposanter,
Fx och Fy enligt figuren.
Hur stora blir Fx och Fy om F = 14 kN?
172
F
Fy
32°
Fx
Bestäm den resulterande kraften till storlek och riktning.
F1 = 25 N
F2 = 45 N
173
En bil åker nerför en brant backe med 15 graders lutning.
Hastighetsmätaren visar 90 km/h. Dela upp hastigheten i
en horisontell och en vertikal komposant.
174
En kraft med storleken 640 N delas upp i två mot varandra
vinkelräta komposanter. Vinkeln mellan kraften och den ena
komposanten är 29º. Beräkna komposanterna.
175
En kraft är uppdelad i två mot varandra vinkelräta komposanter.
Den ena komposanten är 85 N och bildar vinkeln 63º med kraften.
Beräkna resultantens storlek och den andra komposantens storlek.
176
Bestäm resultanten till storlek
och riktning.
y
13 N
55°
x
35°
28 N
9 Vektorer och trigonometri
221
FACIT
M 2a ISBN 978-91-47-10891-6 © Liber
hypotenusans längd.
Här är alltså nämnaren
större än täljaren, och
svaret blir alltid mindre
än 1. Vad gäller tanx, kan
kvoten bli t ex 3/1 eller
7/2 osv.
158 31 cm2
⇒ motstående katet ska
vara 1,6 gånger större
än närliggande katet.
Rita en triangel där t ex
närliggande katet = 2 cm
och motstående katet =
1,6 · 2 cm = 3,2 cm.
160 P ≈ (3,2; 2,4)
161 54 m2
170 53°
171 Fx ≈ 12 kN Fy ≈ 7,4 kN
171 51 N riktad 29° snett
173 vx ≈ 87 m/s vy ≈ 23 m/s
175 190 N och 170 N
b) 86 m
176 31 N riktad 10° nedåt
8VEktorer
163 a) 34 N
b) 14 N
164 a) 18 N
b) 4 N
c) 26 N
169 vx ≈ 23 m/s vy ≈ 20 m/s
174 560 N och 310 N
162 a) 880 m
9VEKTORER OCH
trigonometri
uppåt
Q ≈ (0,9; 4,9)
=3N+5N=8N
då krafterna har
samma riktning.
Minsta resultanten
=5N–3N=2N
då krafterna har motsatt
riktning.
168 x = 120
159 Utgå från tan 58° ≈ 1,6
167 Största resultanten
c) 30 N
165 a)
u1
a) 34°
153 a) 6,8 cm
c) 25 cm b) 53°
b) 16°
u1 + u2
b) 272 m2
156 a) 23 cm
b) 20 cm2
längsta sidan i en triangel.
Både i sinx och cosx
dividerar vi med
248
2u1
FACIT
166
u1
u2
u3
u1 + u2 + u3
u2
2u1 + u2
157 Hypotenusan är alltid den
155 a) 40°
b) 25 dm
d) 7,9 m
154 23°
b)
7trigonometri
152 a) 27°
u2