Fysikens världsbild: Föreläsning II
Antikens fysiker, astronomer och
tekniker
och Aristoteles syn på världen
• Platons
matematiker och fysiker
• Arkimedes:
• Astronomiska iakttagande och beräkningar
1
Babylonien 2000 f.Kr.
2
Var det indiska eller arabiska siffror? Den enda
förklaring jag har fått fram att det indiska systemet
blev importerat till Sydeuropa från arabländerna,
som i sin tur fick systemet från indierna.
Detta är ju inte så osannolikt om man tittar på
en karta.
3
4
Lite tidsperspektiv ... 400-250 f.Kr.
Pythagoras
569
475
o
n
e
Z
490
425
427
Platon
Aristoteles
347
384
Alexander den Store
322
356 323
Euklides
325
265
287
Arkimedes
5
212
Aristoteles började vid 17 års ålder vid
Platons akademi. Han var framförallt en
skicklig biolog och utvecklade idén om
det “naturliga” tillståndet för alla ting.
Aristoteles förespråkade observationer och
inte räkningar: Platon raka motsatsen.
6
Platons lyceum hade bara en matematisk institution.
Aristoteles startade de naturvetenskapliga
institutionerna.
Aristoteles tog också strid med annat
t.ex. Utopia
7
Aristoteles observationer av växter
och djur var utsökta. Han tillämpade
dessa med mindre framgång på fysikaliska
principer...
Grundprincipen var att alla ting, vare sig levande
eller ej, strävar mot sitt naturliga tillstånd. Endast
häftig rörelse kan motverka strävan efter det
naturliga tillståndet.
Allting bestod av substanserna jord, eld, vatten
och luft i kombination med egenskaperna varmt /
kallt och torrt/fuktigt
8
Aristoteles idé: Alla ting har fyra egenskaper.
T.ex. ett bord
substans
form
skapande orsak
slutgiltigt ändål
trä
bord
snickaren
att placera maten på
Nu kommer vi till Aristoteles “klavertramp”
9
Aristoteles rörelselagar:
1) Tyngre saker faller snabbare än lätta
2) Hastigheten med vilket en kropp faller är
omvänt proportionell till densiteten av
mediet genom vilket det faller.
För häftiga rörelse är hastigheten proportionell
mot den tillämpade kraften.
Slutsatsen är att ett vakuum kan inte existera; då
skulle saker röra sig oändligt fort.
10
I viss utsträckning var Aristoteles idéer korrekta när
det gällde att observera naturen och därigenom dra
kvalitativa slutsatser. Rörelse i antiken var ju mest
skapad av levande varelser. Tyvärr så
var han inte tillräckligt kvantitativ i detta avseende
och hans huvudantagande om det naturliga tillståndet
inte tillräckligt preciserat för att gå vidare.
Det tog dock 1900 år innan Galileo kastade omkull
dessa idéer.
11
Arkimedes 287-212 f.Kr.
var anmärkningsvärt mångfaldig: som
matematiker, fysiker och ingenjör tog han det
bästa av Aristoteles och Euklides och preciserade
till slut i min mening den första helt korrekta
fysikaliska principen.
Vi börjar med hans kunskap om matematik och
geometri.
12
π
Arkimedes räknade ut
approximationer.
genom systematiska
3 10/71 ≤ π ≤ 3 1/7
3.14085 ≤ 3.1415965... ≤ 3.14286
L = 2πr
13
Basic Ideas in Greek Mathematics
Basic Ideas in Greek Mathematics
Following Archimedes, we first draw a circle of radius equal to one (so the diameter is 2), and inscribe in it a regular
(that is, all sides of equal length) hexagon. It is evident that the hexagon is made up of six equilateral triangles, sinceCalculating
the
the perimeter of the dodecagon is not as simple as it was for the hexagon, but all it require is Pythagoras'
360 degree angle at the center of the circle is equally divided into six, and the angles of a triangle add to 180 degrees.
theorem. Look at the figure. We need to find the length of one side, like AB, and multiply it by 12 to get the total
Therefore, each side of each triangle is equal to the radius of the circle, that is, equal to one. Thus the perimeter of the
perimeter. AB is the hypotenuse of the right-angled triangle ABD. We know the length AD is just ! (recall the radius
hexagon is exactly 6. It is clear from the figure that the circumference of the circle, the total distance around, is greater
of the circle = 1). We don't know the other length, BD, but we do know that BC must equal 1, because it's just the radius
than the perimeter of the hexagon, because the hexagon can be seen as a series of shortcuts on going around the circle.
of the circle again. Switching our attention to the right-angled triangle ACD, we see its hypotenuse equals 1, and one
We conclude that pi, the ratio of the circumference of the circle to its diameter, is greater than 3, but not much-the
side (AD) equals !. So from Pythagoras, the square of CD must be ". We will write CD = !#sqrt3.
hexagon looks quite close. (For example, much closer than, going around a square boxed around the circle, which
would be a distance of 8 radii. If we approximated the circumference of the circle by this square, we would guess pi =
Having found CD, we can find DB since CD + DB = CB = 1, that is, DB = 1 - !#sqrt3. So we know the two shorter
4.)
sides of the right-angled triangle ADB, and we can find the hypotenuse using Pythagoras again.
So the first step-comparing the circle with the hexagon-tells us that pi is greater than three. Archimedes' next move was
to find a polygon inscribed in the circle that was closer to the circle than the hexagon, so that its perimeter would beThe dodecagon turns out to have a perimeter 6.21, giving pi greater than 3.1. This is not quite as close as the Egyptians,
closer to the circumference of the circle. His strategy was to double the number of sides of the polygon, that is, to but Archimedes didn't stop here. He next went to a 24-sided regular polygon inscribed in the circle. Again, he just
needed to apply Pythagoras' theorem twice, exactly as in the preceding step. The perimeter of the 24-sided regular
replace the hexagon by a twelve-sided regular polygon, a dodecagon. Obviously, from the figure, the perimeter of the
polygon turns out to be 6.26, giving pi greater than 3.13. (We are giving a slightly sloppy version of his work: he
dodecagon is much closer to that of the circle than the hexagon was (but it's still obviously less, since, like the hexagon,
always worked with rationals, and where the square root of 3 came in, he used 265/153 < sqrt3 < 1351/780. These limits
it is a series of shortcuts on going around the circle).
came from an algorithm originating with the Babylonians. For further information, click here.)
Genom geometrin satte han gränser för värdet pi
In fact, Archimedes went on as far as the 96-sided regular polygon inscribed in the circle. He then started all over again
with regular polygons circumscribed about the circle, so that the circle is touching the middle of each side of the
polygon, and is completely contained by it. Such a polygon clearly has a perimeter greater than that of the circle, but
http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/lectures/greek_math.htm (5 of 10)9/7/2004 4:26:31 AM
14
http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/lectures/greek_math.htm (6 of 10)9/7/2004 4:26:31 AM
Han bevisade:
A = πr
2
A = 4πr
15
(lätt)
2
(svårt!)
Vcylinder /Vsphere = 3/2
Han bad sina vänner att skapa en gravsten ristat med cylindern och
klotet och kvoten som han hade upptäckt... graven beskrivs av
Cicero, 75 f.Kr.
16
Arkimedes som ingenjör
Många av hans maskiner
utnyttjade hävstången
som han utvecklade
17
Han byggde krigsmaskiner för att bekämpa
romarna
18
1/60 skala modell
av Harry G. Harris
Drexel University
1999
19
20
Design från 300 f.Kr.
21
Jämför krigsmaskiner, medeltiden
22
Han konstruerade brännglas för att rikta
mot fiendernas skepp
23
Var det sanning eller skröna med brännglasen?
Experiment gjorda 1973 visade att
det var fullt möjligt med många speglar
24
Rekonstruktion av
planetmodell
från Arkimedes tid,
funnen på en
sjunken båt från den
tiden. Precision i
verket = 1/86000
25
Arkimedes uppfann vattenskruven”
som fortfarande används.
26
27
Seven Archimedes screws pump wastewater in a treatment plant
in Memphis, Tennessee, USA. Each of these screws is 96 inches
(2.44 meters) in diameter and can lift 19,900 gallons per minute.
Manufactured by Lakeside Equipment Company of Bartlett,
Illinois, USA.
28
Arkimedes som den första riktiga fysikern.
Ett guldhalsband och ett guldhalsband
med inslag av silver väger jämnt, men
då det sänks i vatten, väger det rena guldet
mer. Detta illustrerar Arkimedes princip.
29
Arkimedes princip:
Något som flyter undantrycker exakt den vattenvolym
som motsvarar dess vikt.
1kg = 1 liter
1 kg
1kg = 1/2 liter
30
Objekt motsvarande
1 kg vikt och 1 liter
volym sänks i vatten
Nu tycks det väga 1 kg mindre!
nivån höjs motsv. 1 liter
och objektet väger 1 kg
mindre
31
Arkimedes princip
En kropp som helt eller delvis nedsänkts i vatten
flyter upp med en kraft som är lika med vikten av
det undanträngda vattnet. Om flytkraften (det
undanträngda vattnets volym) är mindre än
kroppens tyngd sjunker kroppen.
32
En perfekt formulerad fysikalisk princip
• Kvantitativ och precis
• Reproducerbar (gäller överallt och alltid)
• Kan testas var och när som helst
• Kan generaliseras (vatten ersätts med annat)
33
Alltså, Hiero kunde sätta dit guldsmeden
34
Text
En romersk soldat dödade Arkimedes vars sista
ord var “rör inte mina cirklar.”
35
Arkimedes död markerade slutet på den
fantastiska grekiska intellektuella
epoken. Den romerska kulturen gav inte
några naturvetenskapliga framgångar,
dock utvecklades ingenjörskonsten.
Enligt William Rankin .. den enda
romare som förekommer i matematikens
historia är den som högg ner Arkimedes.
36
Romarnas tid var inte aktiv ur den intellektuella
vetenskapens perspektiv. Men deras ingenjörer och
arkitekter var ytterst imponerande.
37
Panteon i Rom:
Den byggdes 184 e.Kr.
och var 43 m
diameter; det var den
största kupol i 1000 år
därefter.
38
Dörrarna har använts i 1800 år!
39
Heron, Alexandria
Heron (Alexandria), ca 100 e.Kr. (alltså mycket
långt efter grekernas storhetstid) hittade på ett stort
antal fiffiga mekaniska uppfinningar. Han skrev
“Pneumatika” som med stor noggrannhet beskrev
ca 70 smarta och mestadels outnyttjade prylar.
40
Spruta
Det låter när man öppnar
dörren
41
Orgel med pump
Figurer som rör sig genom
mekaniska påfund.
(Jämför klockan i Prag, 1200-tal)
42
Brandspruta
En automat beskrevs: om man
lägger en peng i “A” så kommer en
lagom mängd heligt vatten ut
genom “M”.
43
Automatisk
tempeldörröppnare
Ångturbin
44
Ångturbinen
45
THE
PNEUMATICS
OF
HERO OF ALEXANDRIA
FROM THE ORIGINAL GREEK
TRANSLATED FOR AND EDITED BY
BENNET WOODCROFT
PROFESSOR OF MACHINERY IN UNIVERSITY
COLLEGE, LONDON
LONDON
TAYLOR WALTON AND MABERLY
UPPER GOWER STREET AND IVY LANE PATERNOSTER ROW
1851
Contents
1. The bent Siphon 2. Concentric or inclosed Siphon 3. Uniform discharge Siphon 4.
Preface.
SiphonEditors
which
is capable of discharging a greater or less quantity of Liquid with
Translators
uniformity
5. APreface.
Vessel for withdrawing Air from a Siphon 6. A Vessel for retaining
A Treatise ona Pneumatics.
or discharging
Liquid at pleasure. 7. A Vessel for discharging Liquids of different
temperatures
pleasure 8. A Vessel for discharging Liquids in varying proportions
1. The bentatSiphon
9. A Water
Jet produced
by mechanically compressed Air 10. A Valve for a Pump
2. Concentric
or inclosed Siphon
11. Libations
on an Altar produced by Fire 12. A Vessel from which the contents
3. Uniform discharge Siphon
flow when filled to a certain height
4. Siphon which is capable of discharging a greater or less quantity of Liquid with
uniformity
5. A Vessel for withdrawing Air from a Siphon
46
Section 27
27. The Fire-Engine.
The siphons used in conflagrations are made as follows. Take two vessels of bronze, A B C D, E F G H,
(fig. 27), having the inner surface bored in a lathe to fit a piston,
(like the barrels of water-organs), K L, M N being the pistons
fitted to the boxes. Let the cylinders communicate with each
other by means of the tube X 0 D F, and be provided with valves,
P, R, such as have been explained above, within the tube X 0 D F
and opening outwards from the cylinders. In the bases of the
cylinders pierce circular apertures, S, T, covered with polished
hemispherical cups, V Q, W, Y, through which insert spindles
soldered to, or in some way connected with, the bases of the
cylinders, and provided with shoulders at the extremities that the
cups may not be forced off the spindles. To the centre of the
pistons fasten the vertical rods S E, S E, and attach to these the
beam A' A', working, at its centre, about the stationary pin D,
and about the pins B, C, at the rods S E, S E. Let the vertical tube S' E' communicate with the tube X 0 D
F, branching into two arms at S', and provided with small pipes through which to force up water, such as
were explained above in the description of the machine for producing a water-jet by means of the
compressed air. Now, if the cylinders, provided with these additions, be plunged into a vessel containing
water, I J U Z, and the beam A' A' be made to work at its extremities A', A', which move alternately
about the pin D, the pistons, as they descend, will drive out the water through the tube E' S' and the
revolving mouth M'. For when the piston M N ascends it opens the aperture T, as the cup W Y rises, and
shuts the valve R; but when it descends it shuts T and opens R, through which the water is driven and
forced upwards. The action of the other piston, K L, is the same. Now the small pipe M', which waves
backward and forward, ejects the water to the required height but not in the required direction, unless the
whole machine be turned round; which on urgent occasions is a tedious and difficult process. In order,
therefore, that the water may be ejected to the spot required, let the tube E' S' consist of two tubes, fitting
closely together lengthwise, of which one must be attached to the tube X 0 D F, and the other to the part
from which the arms branch off at S'; and thus, if the upper tube be turned round, by the inclination of
the mouthpiece M' the stream of water can be forced to any spot we please. The upper joint of the double
tube must be secured to the lower, to prevent its being forced from the machine by the violence of the
water. This may be effected by holdfasts in the shape of the letter L, soldered to the upper tube, and
sliding on a ring which encircles the lower.
Section 28.
Index.
47
13. Two Vessels from which the contents flow, by a Liquid being poured into one only
14. A Bird made to whistle by flowing Water 15. Birds made to sing and he silent
alternately by flowing Water 16. Trumpets sounded by flowing Water 17. Sounds
produced on the opening of a Temple Door 18. Drinking horn from which either Wine
or Water will flow 19. A Vessel containing a Liquid of uniform height, although a
Stream flows from it 20. A Vessel which remains full, although Water be drawn from it
21. Sacrificial Vessel which flows only when Money is introduced 22. A Vessel from
which a variety of Liquids may be made to flow through one Pipe 23. A Flow of Wine
from one Vessel, produced by Water being poured into another 24. A Pipe from which
flows Wine and Water in varying proportions 25. A Vessel from which Wine flows in
proportion as Water is withdrawn 26. A Vessel from which Wine flows in proportion as
Water is poured into another 27. The Fire-Engine 28. An Automaton which drinks at
certain times only, on a Liquid being presented to it 29. An Automaton which may be
made to drink at any time, on a Liquid being presented to it 30. An Automaton which
will drink any quantity that may he presented to it 31. A wheel in a Temple, which, on
being turned liberates purifying Water 32. A Vessel containing different Wines, any one
of which may be liberated by placing a certain Weight in a Cup 33. A self-trimming
Lamp 34. A Vessel from which Liquid may be made to flow, on any portion of Water
being poured into it 35. A Vessel which will hold a certain quantity of Liquid when the
supply is continuous, will only receive a portion of such Liquid if the supply is
intermittent 36. A Satyr pouring Water from a Wine-skin into a full Washing-Basin,
without making the contents overflow 37. Temple Doors opened by Fire on an Altar 38.
Other intermediate means of opening Temple Doors by Fire on an Altar
48
Astronomi under antiken
Babylonierna studerade noggrant planeterna
och stjärnorna. De kunde förutse solförmörkelse
och var intresserade av astronomiska fenomen.
Varför?
Dagens ord meteorologi knyter an till vädret som
kommer från himlen. (Meteor var ju en astronomisk
företeelse. ) Planeternas rörelser i himlen var
förknippade med årstiderna och längre cykler som
man trodde påverkade skörd. Gräshoppor var 17:e år
osv.
49
Var går gränsen mellan molnen, himlen,
månen, solen och stjärnorna? Det
var omöjligt att sätta någon skala på
allt som var ovanför bergstopparna.
Babylonierna förde noggranna anteckningar
över astronomiska händelser. Dessa skrevs på
lertavlor som sedan Alexander den Store “gav”
grekerna.
50
astronomiska
tabeller skrivna på
lertavlor
51
Modern version ...
52
För att gå vidare måste vi bekanta oss med
solsystemet ...
53
norra
polcirkeln
Nordpolen
ekvatorn
stenbockens
vändkrets
kräftans
vändkrets
Soljuset
Sydpolen
södra
varandra. Och Pluto
är 6 kilometer bort och har en radius på 2 mm.
polcirkeln
Det är tomt omkring
oss! Månen ligger då på 40cm avstånd och är
endast 3.5 mm i diameter.
mm
ameter
000 km
1392
4,88
12,1
r
Som bekant roterar jorden runt solen, och gör en omkrets exakt valje
solår som är 365.256
365.2425dagar.
dagar.Varför vi får sätta in skottår.
Vår egen jord ligger med axeln lutad med c:a 23 grader från
omkretsbanan. Därigenom får man polcirkeln och södra polcirkeln
som ligger 90-23 = 67 grader.
54
Polcirkeln
kräftans vändkrets
stenbockens vändkrets
55
Solsystemet
56
Asteroider, Kuiper bandet och trans-neptuniska kroppar
57
solår som
Skala 1:1miljard
meter
omloppstid
i år
Solen
merkurius
venus
jorden
mars
jupiter
saturnus
uranus
neptunus
pluto
månen
Alfa centaurus
Ljushastiget
mm
solavstånd
milj km
0.24
0.615
1
1.88
11.8
29.45
84.0
164.8
247.7
0
58
108
150
230
778
1427
2869
4496
5900
27.3 dagar
0.384
diameter
1000 km
1392
4,88
12,1
12,76
6,79
139,86
119,3
51,81
49,5
2,25
0
3,48
40.000.000
300,000 km/s motsvarande 30 cm/sek I denna skala
Om dessa siffror verkar meningslösa, kan vi sätta de i proportion
genom att skala om dom och läsa solavstånd i meter och diameter i
millimeter. Alltså, om solen är 1392 mm dv.s. c:a 140 cm, så är
jorden 12 mm stor och är 150 meter bort. Merkurius är blotta 5 mm
58
stort och 60 meter från solen. Planeterna är mycket långt från
Vår egen
omkrets
som ligg
Vad visste grekerna om allt detta?
59
Jordens omkrets mättes av Eratosthenes
200 f.Kr.
60
Storleken på jorden mättes av Eratosthenes
235 f.Kr. med en felmarginal på 5%
Han visste att vid ett visst datum reflekterades
solen på vattenytan i en djup brunn i Syene. Alltså
stod solen i zenith. När solen var högst på himlen
vid Alexandria mätte han skuggvinkeln av en
vertikal stång och räknade därigenom ut jordens
diameter.
61
62
360o
omkrets =
×
5000
stadia
=
250.000stadia
7.20
i dagens mått ger detta ca 40.000 km
63
Aristarchus 300 f.Kr. lyckades mäta avståndet till
månen genom att utnyttja kunskapen om
månförmörkelser.
64
Anaxagoras hade faktiskt gjort liknande
mätningar 300 år tidigare. Dock med en
annan tolkning.
Diameter
600 km
o
7
Avstånd
6000 km
800km
65
Förloppet av en månförmörkelse
66
67
68
Solen
Vid en solförmörkelse täcker jordens skugga
en vinkel som är 3 1/2 gånger större än månen.
Alltså är jordens diameter 3 1/2 gånger större!
69
Aristarchus behövde faktiskt inte vänta på en
månförmörkelse. Han behövde bara veta från
tabeller hur länge den varade (den går ju runt
jorden varje 28 dagar, och han fick därigenom
vinkeln).
70
Aristarchus visste därigenom hur stor
månen var. Då är det en lätt sak att
räkna ut hur långt bort den är.
Vi går ut på natten och täcker månens
skiva med vår tumme och ser hur långt
bort tummen är.
71
72
Om man vet hur stort något är samt vet dess
vinkel kan man räkna ut dess avstånd
a
D
R
a
b
R/D = b/a
R är längden till månen, D månens diameter från
tidigare. a är tummens längd, och b är längden
från ögat när tummen täcker månen.
73
Aristarchus mätte därigenom avståndet
till månen och månens diameter ca
200 f.Kr.
74
Aristarchus försökte också mäta hur långt bort
solen var genom en mycket snillrik metod.
Genom att observera solens och månens
vinkel vid exakt halvmåne ville han upprätta
en rät vinkel där alla vinklar samt en sida var
kända.
75
Tyvärr är solen 20 gånger längre bort än vad han
beräknade då solen är så långt bort och den mätta
vinkeln så nära 90 grader. Men det rätta svaret
är svårt att uppskatta... och man fick vänta till
1700-talet då noggranna klockor, bra teleskop
och en värlsomsegling gjorde denna mätning
möjlig.
76
Vad tog vetenskapen med sig under kudden
när utvecklingen somnade in ca 100 e.Kr. och sedan
sov fram till 1500-talet?
Lyckade idéer som man med framgång gick vidare
med:
observationer och beräkningar
• Astronomiska
verk
• Euklides
verk och princip
• Arkimedes
didaktik
• Aristoteles
• Ptolemaios bild av planeterna (som vi diskuterar
nästa gång)
77
Idéer som hindrade framgång och till slut
blev omkullkastade:
fysikaliska principer
• Aristoteles
icke-empiriska principer
• Platons
• Usla räkneverktyg
78
För mig utgör följande frågor en fullständig gåta
sov vetenskapen i västvärlden
• Varför
det kultur eller religion?
• Var
krig eller ett instabilt samhälle
• Eller
I vilken mån var digerdöden en orsak
•Varför
satte den kinesiska kulturen så små
•
spår i den vetenskapliga världen
79
Why did China not develop modern science during the
Middle Ages when Europe was asleep?
No lack of good astronomers:
Confucius observed sunspots 10 centuries before
Galileo.
Guo Shou Ching determined length of year (= 365.24
days) with accuracy surpassing the best Greek
astronomers.
Chinese astronomers observed many supernovae, the
most famous in 1042, at a time when Europeans
believed that the heavens were immutable.
Chinese astronomers taught that the Earth was a
sphere and rotated once a day on its axis at a time
when Europeans had forgotten everything that the
Greeks had learned.
No lack of good mathematicians:
Invention of zero.
Calculation of π to much greater accuracy than
Archimedes.
No lack of technology:
Invention of printing, gunpowder, wheelbarrow, etc.
Discovery of magnetic compass.
No lack of brave explorers:
Voyages of Chang He in early fifteenth century.
Boats that could carry 3000 people.
80
81
82
83
84
85
