Radiometrisk Datering
Efter en orginal text av R. Roberts, 1996, omarbetad av D. Dyrelius, 1997, P. Schmidt, 2007
Sannolikeheten för att en radioaktiv atomkärna skall sönderfalla är konstant, d.v.s. antalet sönderfall per tidsenhet
(sönderfallshastigheten) i en volym som innehåller N st atomer är
dN
= −λN
dt
(1)
där t är tiden och λ är den s.k. sönderfallskonstanten (med dimension 1/tid).
Genom att integrera ekvation (1) finner vi1 att antalet kvarvarande radioaktiva kärnor avtar exponentiellt med
tiden, d.v.s.
N (t) = No e−λt
(3)
där No var antalet atomer vid tiden t = 0.
Ofta uttrycker man söderfallshastigheten med hjälp av halveringstiden (t1/2 ) i stället för med hjälp av λ. Halveringstiden är den tid det tar för hälften av en mängd kärnor att sönderfalla, d.v.s. tills N = No /2. Sätter vi in detta
i ekvation (3) (eller alternativt direkt i mellersta ledet av ekvation (2) i fotnot 1 nedan) fȧr vi2
No
= No e−λt1/2
2
⇒
t1/2 =
ln 2
0.69315
'
λ
λ
(4)
Observera att vi alltså kan använda antingen t1/2 eller λ för att ange samma sak, nämligen sönderfallshastigheten
för den radioaktiva isotopen, och det är lätt att räkna om emellan dem med hjälp av ekvation (4). Konstanterna
t1/2 och λ har olika, specifika värden för varje förekommande radioaktiv isotop (se Tabell 1).
Vid normalt sönderfall, bildas av den sönderfallande radioaktiva kärnan (moderisotopen) en ny kärna (dotterisotopen). Dotterisotopens masstal och/eller atomnummer skiljer sig från moderisotopens. Om vi med D betecknar
antalet atomer av dotterisotopen som har bildats genom sönderfall av moderisotopen, så gäller
N = No − D
(5)
No kan inte mätas direkt, men kan elimineras om vi kombinerar ekvationerna (3) och (5):
D = N eλt − 1
(6)
eller
t=
t1/2
D
D
D
1
ln 1 +
=
ln 1 +
' 1.4427 · t1/2 ln 1 +
λ
N
ln 2
N
N
(7)
d v s om vi känner halveringstiden för den givna moderisotopen och kan mäta förhållandet D/N (t ex med en
masspektrometer) så kan vi beräkna tiden t.
1 Integrationen
utförs enkelt:
Z
N
No
2 ln
dN
=−
N
t
Z
„
λdt
⇒
ln
0
betecknar den naturliga logaritmen
1
N
No
«
= −λt
⇒
N
= e−λt
No
(2)
Moderisotop
238
U
238
U
235
U
232
Th
87
Rb
147
Sm
40
K
40
K
39
Ar
176
Lu
187
Re
14
C
Dotterisotop
206
Pb
varierande
207
Pb
208
Pb
87
Sr
143
Nd
40
Ca
40
Ar
39
K
176
Hf
187
Os
14
N
Sönderfalls mekanism
(partikelstrålning, etc.)
8α + 6β
fission
7α + 4β
6α + 4β
β
α
β
Elektroninfång
β
β
β
β
Sönderfalls konstant
λ [år−1 ]
1.55 x 10−10
8.36 x 10−17
9.85 x 10−10
4.95 x 10−11
1.42 x 10−11
6.54 x 10−12
4.96 x 10−10
5.81 x 10−11
2.57 x 10−3
1.94 x 10−11
1.52 x 10−11
1.21 x 10−4
Halveringstid
t1/2 [år]
4.468 x 109
8 x 1015
7.04 x 108
1.410 x 1010
4.88 x 1010
1.06 x 1011
1.40 x 109
1.19 x 1010
269
3.50 x 1010
4.56 x 1010
5730
Table 1: Sönderfallsdata för några naturligt förekommande radioaktiva isotoper
Innan vi kan tillämpa radiometriska dateringsmetoder måste vi ta hänsyn till flera viktiga faktorer och problem.
Om noggranna mätningar skall kunna göras måste uppenbarligen det material som skall undersökas (t ex en
bergart) innehålla tillräckliga kvantiteter av de aktuella isotoperna. Detta innebär bl a att den radioaktiva isotopens
halveringstid måste, grovt sett, passa till materialets ålder. Om halveringstiden är mycket för kort kommer N att
vara liten och, omvänt, om halveringstiden är för lång kommer D att vara liten. I båda fallen blir mätningen av
D/N mycket besvärlig eller t o m omöjlig. Dessa problem hanteras genom ett lämpligt val av metod för den
aktuella bergarten och tidskalan. Halveringstider för några relevanta, radioaktiva isotoper visas i Tabell 1.
I ekvationerna (5) - (7) har vi förutsatt att dotterisotopen (D) är stabil (ej radioaktiv) och därför inte försvinner
genom fortsatt sönderfall. Dessutom har vi antagit att alla dotteratomer bildats genom sönderfall av moderisotopen, d v s att inga dotteratomer fanns från början (vid t = 0), samt att moderisotopen endast kan sönderfalla till
en, specifik dotterisotop.
Som vanligt är verkligheten mer komplicerad än så. Ofta har vi en sönderfallsserie, från den radioaktiva moderisotopen, via flera radioaktiva döttrar, till den stabila dotterisotopen. Den totala halveringstiden är en kombination av
alla sönderfall i serien, men domineras av den största enskilda halveringstiden i sönderfallskedjan. Mer kortlivade
produkter i serien kan dock ha stor betydelse i andra sammanhang; ett exempel på detta är radon.
För vissa radioaktiva isotoper finns alternativa sönderfallsserier med olika sannolikhet (d v s med olika sönderfallskonstanter) (se t ex 40 K i Tabell 1). Också detta problem kan hanteras genom att beräkna en modifierad sönderfallskonstant (halveringstid).
För att illustrera hur man i praktiken klarar av sådana problem och genomför den radiometriska dateringen,
diskuterar vi nu lite närmare rubidium-strontium metoden. (Det innebär inte att denna metod är den idag viktigaste, tvärtom har användningen av den minskat under senare år, men den är relativt enkel att beskriva och tjänar
utmärkt som principmodell för övriga metoder).
Rubidium-strontium datering
Rubidium 87 sönderfaller till strontium 87 (jämför Tabell 1), men vanligen fanns redan en viss mängd
materialet när vår klocka startade. Vi måste lägga till den mängden till högerledet i ekvation (6) och får då
2
87
Sr i
87 Sr nu = 87 Sr t=0 + 87 Rb nu eλt − 1
(8)
där hakparentesen kring en isotopbeteckning betyder mängden
av isotopen vid den tidpunkt som
(antalet
atomer)
anges av parentesens index. De nuvarande mängderna 87 Sr nu och 87 Rb nu kan mätas, men vi kan ju inte direkt,
som i ekvation (7), bestämma
tiden (åldern) ur en enda mätning eftersom både tiden t och den extra termen, d v s
ursprungliga mängden 87 Sr t=0 , är obekanta.
Ekvation (8) kan ses som ekvationen för en rät linje y = l + kx om vi sätter y = 87 Sr nu , x = 87 Rb nu ,
k = eλt − 1 , och l = 87 Sr t=0 . En sådan rät linje av typ (8) kallas en isokron3 och kan användas för att
bestämma åldern om vi kan göra flera mätningar, t ex på olika mineral i en bergart och förutsatt att mineralen har
så olika kemisk sammansättning att de innehåller klart olika halter av isotoperna. För att klara av detta behövs
dock en referensisotop eftersom det är osannolikt att de olika mineralen kan ha innehållit samma mängd 87 Sr vid
t = 0. Som tur är finns flera isotoper av strontium i naturen och särskilt lämplig är 86 Sr som utgör ca. 10% av
allt strontium och som varken är radioaktiv eller radiogen (d v s inte är en produkt av radioaktivt sönderfall). Vi
kan anta att förhållandet 87 Sr/86 Sr vid t = 0 var detsamma i alla mineral, så om vi dividerar ekvation (7) med
mängden 86 Sr får vi till sist det användbara uttrycket för isokronen:
87 87 87 Sr t=0
Rb
Sr nu
= 86
+ 86 nu eλt − 1
86
[ Sr]nu
[ Sr]nu
[ Sr]nu
(9)
Masspektrometerbestämningar av förhållandena 87 Sr nu 86 Sr nu och 87 Rb nu 86 Sr nu för olika mineralprov
kan prickas in som punkter i ett diagram (se Fig. 1 nedan) och en rät linje dras i anslutning till punkterna. Ur
linjens lutning k kan nu åldern beräknas som i ekvation (7):
t ' 1.4427 · t1/2 ln (1 + k)
(10)
Figure 1: Principen för rubidium-strontiumdatering med hjälp av isokron, anpassad till mätningar (fyllda
cirklar) av isotopförhållanden för olika mineralprov från en bergart.
3 Detta kommer sig av att alla punkter på linjen är av samma ålder. Iso från lika och kron från Chronos i den grekiska mytologin, en gud
som personifierade tiden
3
Andra metoder
Andra dateringsmetoder som i princip är mycket lika rubidium-strontiummetoden är särskilt uran-bly, torium-bly,
samarium-neodym och kalium-argonmetoderna (jämför Tabell 1).
Tillämplighet, felkällor o dyl
Rubidium-strontiummetoden är på grund av sin stora halveringstid lämpligast för datering av mycket gamla
(prekambriska) bergarter; för yngre bergarter krävs mycket höga Rb/Sr-halter. Metoden är också användbar för
att datera metamorfoser.
Uran-blymetoderna är kanske mest använda av alla. En nackdel är att speciellt uran men även bly kan ha diffunderat ut eller in i materialet under tidens gång. Fördelarna är lämpliga halveringstider som dessutom är de
noggrannast bestämda av alla. Eftersom det finns två parallella sönderfallsscheman får man en extra kontroll av
resultaten och kan dessutom delvis eliminera diffusionsproblemet. Zirkonkristaller har visat sig vara mest stabila
i det avseendet och används idag för datering med hjälp av moderna jonmikrosonder.
Torium-blymetoden kan ibland vara mer framgångsrik än uran-bly eftersom torium har mindre tendens än uran att
diffundera ut ur materialet. P g a toriums mycket längre halveringstid (jämför i Tabell 1) är dock metoden bara
användbar på mycket gamla bergarter.
Samarium och neodym är vitt spridda i bergartsmaterial men förekommer endast som spårelement och sönderfallet
har mycket lång halveringstid. Detta gör samarium-neodymmetoden tekniskt besvärlig att använda, men den har
fördelen att samarium och neodym inte lätt diffunderar ut ur bergartsmaterialet.
Kalium-argonmetoden används i dag allt mer sällan i sin ursprungliga form. 40 K sönderfaller i två alternativa
serier dels till 40 Ar dels till 40 Ca (se Tabell 1) där den senare dotterprodukten är oanvändbar för dateringar. Argon
är en ädelgas och läcker därför lätt ut ur bergarten (en smälta förlorar vanligen allt argon) vilket är metodens stora
nackdel. Åldersbestämningen görs genom tillämpning av ekvation (6) (med en viss modifikation) och kräver bara
mätning av förhållandet 40 Ar/40 K vilket dock innehåller en del tekniska problem. Numera använder man därför
i stället argon-argonmetoden som ger ett alternativt sätt att bestämma 40 Ar/40 K-förhållandet. Metoden innebär
att provet bestrålas med neutroner i en reaktor varvid en liten del av befintligt 39 K omvandlas till 39 Ar, som i sin
tur (efter mätning i masspektrometer) ger ett mått på mängden kalium i provet. 40 Ar/39 Ar-metoden har också
fördelen att kunna användas för bestämning av ett bergartsprovs termiska utvecklingshistoria.
Fissionsspårmetoden
Förutom det vanliga radioaktiva sönderfallet kan 238 U-kärnor omvandlas genom spontan fission (kärnklyvning)
varvid två stora fragment bildas. Processen är mycket sällsynt (se Tabell1) men mycket energirik och rekyleffekten
vid fissionen ger upphov till mikroskopiska skador i kristallen längs de två stora partiklarnas väg efter fissionen.
Spåren av detta i en polerad yta av ett bergartsprov kan etsas fram med syra och räknas i mikroskop. Mängden
uran i provet bestäms genom att inducera nya fissioner med hjälp av neutronbestrålning med känd styrka och
därefter räkna de nya fissionssspår som uppkommit. Fissionsspåren raderas mycket lätt ut om bergarten utsätts
för förhöjd temperatur, vilket är en nackdel med metoden. Å andra sidan kan temperaturkänslighetens variation
mellan olika mineral användas för att studera relativt små metamorfoshändelser i bergartens historia. Datering
med denna metod har använts flitigt på meteoriter och har också använts för att studera meteoriters exponering för
kosmisk strålning.
Kol-14-metoden
Denna metod som bygger på sönderfall av 14 C finns beskriven i boken Earth. Den har halveringstiden 5730 år och
används för att datera organiskt material, framförallt arkeologiska objekt. Här skall bara påpekas att datering med
14
C-metoden innebär en tillämpning av ekvation (3), i vilken No då förutsätts vara känd.
4
