Examinationsuppgifter, Talteori, TATM54. Blad A. Lösningar lämnas

Examinationsuppgifter, Talteori, TATM54. Blad A.
Lösningar lämnas i det röda tråget, c:a 2 meter nordväst om mitt rum. INTE i mitt postfack!
Lösningarna ska vara välskrivna och läsliga, på ena sidan av varje ark. Jag tar inte emot lösningar per
epost. Dra in formeltext hellre för ofta än för sällan. Luft! Jag behöver plats för rättningskommentarer.
Försättsblad: Namn, program, epost, personnummer. Ange vilka uppgifter du löst. Ange vilken bok
du använder.
Allt samarbete med examinationsuppgifterna är förbjudet. Spar tid och tjäna poäng genom att kontrollera svaren, pröva “låga” fall, osv. Ett tips, en gång för alla, är att i allmänna uppgifter studera specialfall
och exempel innan du försöker komma på ett allmänt resonemang.
Felaktiga lösningar och svar leder inte till retur. Eventuella kompletteringar sker i regel på nya uppgifter.
A 0)
a) Visa att 5, 7, 35|n13 − n samt 170|n17 − n för alla heltal n.
b) p är ett primtal ≥ 7. Visa att p4 ≡ 1 (mod 240)
c) Bestäm, för hand, ordningen av 2 modulo 7, 9, 11, 13
d) Bestäm så, direkt ur föregående,
ordningen av 2 modulo 77, 91, 99 och 143.
A 1)
(mod 8); dels de n som kan skrivas
a) Ange dels de n som kan skrivas n ≡ x2 (mod 7), resp.
n = x2 + y 2 (mod 8), x, y heltal. Beskriv fallen.
b) Anta att primtalet p $= 2, 7 kan skrivas på formen p = a2 + ab + 2b2 . Visa att p ≡ 1, 2, eller4
(mod 7). Tips: multiplicera med 4 och kvadratkomplettera.
c) Anta p = a2 + ab + 2b2 . Visa att vi då även kan skriva p = u2 + 7v 2 . Tips: Använd a) och b) till
att visa b jämnt.
A 2)
a) Bestäm alla heltalslösningar till ekvationen a2 − ab + b2 = 1. Tips: multiplicera med 4 och
kvadratkomplettera. Standardtrick även i flera senare uppgifter.
b) Anta att primtalet p > 3 kan skrivas på formen p = a2 − ab + b2 . Visa att p ≡ 1 (mod 3).
c) Anta att heltalet m kan skrivas på formen m = a2 − ab + b2 . Visa att det också kan skrivas på
formen m = x2 + 3y 2 . Särskilj fallen a eller b jämnt och a, b båda udda.
A 3) Låt a, b vara relativt prima heltal.
a) Visa att (a + 2b, 2a + 3b) = 1.
b) Visa att (a + 2b, 2a + b) = 1 eller 3, Exemplifiera fallen!
1
A 4) Anta att heltalen m, n uppfyller n3 + n = m4 . Visa att m, n är jämna, och härur (eller på annat sätt)
att 16|n
(3)
A 5) a är ett heltal, 1 ≤ a ≤ 34 = 5 · 7 − 1. Låt m = 12 = 5 + 7. Bestäm det minsta positiva heltal d för
vilket md a ≡ a (mod 35). Svaret beror endast på om a är delbart med 5, delbart med 7 eller relativt
primt till 35, vilket bör framgå automatiskt av en korrekt lösning.
A 6) Anta att primtalet p är en faktor i n4 − n2 + 1. Visa att ordp (n) = 12 och, t ex härur, att p = 12k + 1
för något naturligt tal k.
A 7) Ett vanligt sätt att faktorisera heltal är att först skriva dem som en skillnad mellan två kvadrater:
n = a2 − b 2 .
a) h är ett positivt udda heltal. Visa att
32h+2 + 3h+1 + 1
är sammansatt.
b) a är ett positivt udda heltal. Visa att
a4 + 4 a
är sammansatt.
A 8) Vilka av följande lineära kongruenser är lösbara. Ange i förekommande fall samtliga lösningar, med
korrekt period.
a) 21x ≡ 12 (mod 35)
b) 21x ≡ 14 (mod 35)
c) 15x ≡ 21 (mod 36)
A 9)
a) p, q skilda primtal. Visa att pq−1 + q p−1 ≡ 1 (mod pq).
b) m är ett positivt heltal. Vissa att m143 − m13 − m11 + m är delbart med 143.
c) Låt p, q vara två olika primtal sådana att 2p ≡ 2 (mod q) och 2q ≡ 2 (mod p). Visa att 2pq ≡ 2
(mod pq).
A 10) Visa, genom att använda begreppet ordning modulo p, samt dess egenskaper, följande lemma: p|bn − 1
medför p|bd −1 där d är en äkta delare i n, eller att p ≡ 1 (mod n). Använd detta till att primfaktorisera
talet 312 − 1.
A 11) Avgör huruvida 45 är pseudoprimtal till baserna 17 resp. 19. Lösningen ska utföras för hand (använd t
ex primfaktoriseringen av 45), med så enkla räkningar det går, men får givetvis kontrolleras elektroniskt.
A 12) Visa att p2 , p udda primtal, är pseudoprimtal till basen n om och endast om
np−1 ≡ 1 (mod p2 )
A 13) Visa att 91 är pseudoprimtal till - ja hur många? - inbördes inkongruenta baser. Relatera återigen till
primfaktoriseringen av 91.
A 14) Låt n = pq vara produkt av två skilda primtal. Visa att n är pseudoprimtal till basen b om och endast
om bd ≡ 1 (mod n) där d = (p − 1, q − 1). Exemplifiera.
2
A 15) Visa att x81 ≡ x (mod 935) för alla heltal x. Handräkning medels underlättande teori - det ska synas
varför med möjlighet att generalisera)
A 16) Låt a, b vara positiva heltal, (a, b) = 1. Anta att primtalet p är en faktor i an − bn men ej i något
am − bm där m är en äkta faktor i n. Visa att p är av formen kn + 1, där k är ett heltal.
A 17)
a) Anta n kvadratfritt, dvs. ej delbart med kvadraten av ett heltal större än ett. Visa att aφ(n)+1 ≡ a
(mod n)., även om (a, n) > 1. Börja med primfaktorerna i n.
b) . Anta omvänt att
aφ(n)+1 ≡ a (mod n)
för alla a. Visa att n är kvadratfritt. Ledning: reducera modulo p2 för någon lämplig primfaktor i
n.
Del a) är grunden för RSA.
A 18) n är ett heltal ≥ 2. Visa att n inte är en faktor i 2n − 1. Ledning: betrakta den minsta primfaktorn i
n.
A 19) Låt a0 , a2 , . . . , an−1 vara givna (positiva) heltal. Visa att det finns (positiva) heltal D, E sådana att
talen Daj + E är parvis relativt prima. Tips: Om p är ett primtal som delar två av talen Daj + E, så
måste p dela deras skillnad. Konstruera D som produkten av vissa primtal och välj E som något annat
primtal.
A 20) Ange alla lösningar till kongruenssystemet x ≡ 1
(mod 7); x ≡ 4
(mod 9); x ≡ 3
(mod 5).
A 21) Ange alla heltal x sådana att 5x + 8 är delbart med både 11 och 13.
A 22)
a) Bestäm alla lösningar till systemet
x≡2
(mod 7)
4x ≡ 5
3x ≡ 2
(mod 11)
(mod 13)
A 23) Bestäm minsta positiva resten av
79
213
modulo 77 = 7 · 11
Handräkning!
A 24) Bestäm det minsta icke-negativa heltalet n med egenskapen n ≡ k − 1
(mod k) för k = 1, 2, . . . , 10.
A 25) Vi betraktar en kvadratisk form Q(x, y) = ax2 + bxy + cy 2 med heltalskoefficienter. x, y antager endast
heltalsvärden.
Vi antar att koeffcienterna är relativt (inte nödvändigtvis parvis) prima. Låt p vara ett primtal. Visa
att Q antar minst ett värde som ej är delbart med p. Låt nu M var ett godtyckligt tal. Visa att det finns
heltal x, y sådana att Q(x, y) och M är relativt prima.
A 26)
3
a) Kongruensen x2 ≡ 1 (mod 91) har exakt fyra lösningar, bestäm dessa, genom att återföra på
enklare kongruenser.
b) Hur många lösningar finns då till
x2 ≡ 1 (mod 1729)?
Bestäm åtminstone en som är
$≡ ±1 (mod 1729)
.
A 27) Talen N = 2, 6, 42 = 6 · 7 har den egenskapen att aN +1 ≡ a för alla heltal a. Visa detta för N = 42 och
slut dig med ledning härav till ännu ett (större) N med denna egenskap.
A 28) φ är Eulers phi-funktion. m, n är positiva heltal och d = (m, n) deras största gemensamma faktor.
Visa:
φ(mn)
d
=
φ(m)φ(n)
phi(d)
A 29) Visa att kongruenssystemet x ≡ a
a).
(mod m); x ≡ b
(mod n) är lösbart om och endast om (m, n)|(b −
A 30) Låt p vara ett primtal > 2. Visa att 2p ≡ 1 (mod 2p + 1) medför att även 2p + 1 är primtal. Tips:
Euler.
Ett exempel ges av p = 1103 (kontrollera gärna elektroniskt, men tänk dig för hur du exponentierar!)
A 31) Anta att primtalet p är en primfaktor i bn + 1. Visa att p är en faktor i bd + 1 där d|n och kvoten n/d
är udda, eller att p ≡ 1 (mod 2n).
En början kan t ex vara att titta på det minsta k för vilket p|bk + 1
A 32) y, M är givna positiva heltal, (y, M ) = 1. m är ännu ett positivt heltal. Visa att det finns x sådant att
(y + M x, m) = 1. Börja med m = primtal(spotens), återför på detta fall medels Kines-satsen.
A 33) N är ett udda positivt tal. Visa att kongruensen aN −1 ≡ −1 (mod N ) är omöjlig. Arbeta modulo N :s
primfaktorer och studera den högsta 2-potens som ingår i ordningen av a modulo dessa, samt modulo
N.
A 34)
a) De positiva heltalen m, p1 , p2 , . . . , pr är relativt prima (inte nödvändigtvis parvis relativt prima).
Exempel: 2 · 3, 3 · 5, 25̇.
Heltalen q1 , q2 , . . . , qr givna. Visa att kongruenssystemet
pj x ≡ qj
är lösbart om och endast om
pi qj ≡ pj qi
(mod m),
j = 1, 2, . . . r
(mod m) i, j = 1, 2, . . . , r
Tips: börja med att en Bézout för talen q1 , q2 , . . . , qr , m
b) Visa att lösningen (i det lösbara fallet) är entydigt bestämd modulo m.
4