Fo 15 [Compatibility Mode]

Kapitel 27: Magnetfält och magnetiska krafter
• Beskriva permanentmagneters beteende
• Samband magnetism-laddning i rörelse
• Ta fram uttryck för magnetisk kraft på laddning
• Magnetiskt flöde, Gauss sats för magnetfältet
• Ta fram uttryck för magnetisk kraft på ledare
• Beskriva magnetisk dipol
• Förklara en permanentmagnets beteende
Magnetism
Vissa material uppvisar spontant magnetism, och
beter sig då som pemanentmagneterna här.
Vi kallar ändarna för Nordpol respektive Sydpol
Observera att både en sydpol och en nordpol
attraherar vissa föremål som ej är permanentmagneter om föremålen är s.k. ferromagneter
(t.ex. Fe, Co, Ni)
Jorden som magnet
Eftersom jorden har ett magnetfält orienteras en fritt rörlig
pemanentmagnet med ena änden mot norr, vi kallar denna ände
Nordpol. (Observera att jordens nordpol alltså är en magnetisk
sydpol!)
Vi definierar ett magnetfält som i varje punkt visar åt vilket håll
nordpilen på en kompassnål pekar. (Vi återkommer till hur det alstras.)
Oersteds experiment 1820 visade att en
elektrisk ström alstrade ett magnetiskt fält!
Två till synes helt separata fenomen:
magnetism och elektricitet visade sig alltså
höra samman. En av seklets viktigaste
upptäckter!
Laddningar i rörelse alstrar ett magnetfält
Laddningar i rörelse påverkas av ett magnetfält
I kap. 27 koncentrerar vi oss på den senare
effekten.
Vid första anblicken kan det verka som om magnets poler liknar
+ och – laddning.
Har vi kanske samma enkla samband för kraften mellan två
magneter som för två laddningar?
q1q2
FElectric ∝ 2
r
FMagnetic = ???
NEJ! Magnetisk kraftverkan är annorlunda och mer
komplicerad! Den magnetiska kraften är en
konsekvens av laddningar i rörelse.
En viktig principiell skillnad: Nordpol och sydpol finns alltid
tillsammans. Det finns inga magnetiska ”Monopoler”!
Vi skall återkomma till varför permanentmagneter beter sig som
de gör. Först skall vi dock undersöka hur elektricitet och
magnetism är kopplade till varandra
Ex. på magnetfält från olika källor (Mer i kap. 28!)
Observera att de magnetiska fältlinjerna alltid bildar slutna kretsar.
(en konsekvens av att det ej finns magnetiska monopoler)
Jämförelse mellan elektriskt och magnetiskt fält
Det elektriska E-fältet verkar på
alla laddningar, och kraften är
alltid med eller motriktad
(beroende på laddningens tecken).
-
Det magnetiska B-fältet verkar på
laddningar i rörelse, och kraften
är vinkelrät mot både B-fältet och
hastighetsvektorn. Riktningen
beror på laddningens tecken.
Den magnetiska kraften
B och v
parallella : F = 0
B och v godtyckligt riktade :
F = qvB sin φ , F = qv × B
B och v vinkrelräta : F = qvB
och vinkelrät mot både B och v
OBS! Kraften ej i fältlinjernas riktning!
Högerregel nummer 1:
Vrid vektorn v med högerhanden den
kortaste vägen från ursprungsläget mot vektorn B .
Tummen pekar då i riktningen v × B
Högerhandsregeln gäller +
laddning! Om q är negativ, så
får kraften motsatt riktning!
Om man kombinerar den elektriska kraften och
den magnetiska kraften på en laddning erhålls den
s.k. Lorentz-kraften
F = q (E + v × B )
Kraftens riktning beror både på vektorernas
riktningar och laddningens tecken.
Begreppet ”Flöde” stötte vi på i kap. 22, Gauss sats
På samma sätt som för det elektriska fältet kan vi
definiera ett Magnetiskt flöde ΦB.
Hur ser Gauss sats för det magnetiska fältet ut?
Gäller alltid!
Detta är en konsekvens av att det magnetiska fältlinjerna
alltid är slutna, dvs alltid lika stort flöde in som ut ur en
godtycklig volym. Jämför med E-fältet!
Bara pilar utåt, dvs E fältet
flödar ut ur den slutna ytan
när laddningen är innesluten.
Lika många pilar in som ut. B fältets
flöde ut ur slutna ytan är noll även när
magneten är innesluten !
Magnetismens enheter
SI - enheten för magnetiskt fält ges från
F
B=
,
qv
N 
 Ns
 Cm = Am  vilket fått namnet Tesla [T ]
[
]
Magnetiskt flöde ΦB = BA har sorten Tm 2 som kallas Weber [Wb]
(Observera att elektriskt flöde ΦE ej fått eget namn)
Med beteckningarna ovan kallas magnetfältet B ibland magnetisk
flödestäthet.
Laddade partiklars rörelse i ett magnetfält
F = qv × B ger alltid en kraft som är vinkelrät mot v .
Från mekaniken vet vi att en sådan
kraft ej gör något arbete på partikeln,
men ändrar dess riktning.
Om hastigheten ligger i tavlans plan i
figuren ger mekaniken att partikeln
kommer att röra sig i en cirkel med
centripetalacceleration v2/R vilket ger:
v2
F = q vB = m
R
mv
radie hos partikel i cirkulär bana
R=
qB
v vqB qB
ω
ω= =
=
,f =
kallas Cyclotronfrekvens
R
mv
m
2π
Kommer laddningen in parallellt med B-fältet: Ingen kraft, dvs går rakt
Kommer laddningen in vinkelrätt: Cirkelrörelse
Kommer laddningen in snett mot fältet: Vinkelräta komponenten ger
cirklar, paralella komponenten ger opåverkad rörelse dvs. laddningen rör
sig i en spiral.
Magnetfält kan användas för att innesluta het
gas vid fusionsexperiment.
Jordmagnetiska fältet skyddar oss från kosmisk
strålning. När laddade partiklar rör sig i spiralbanor
och kolliderar med atomer i översta atmosfären alstras
ljus, Norrsken.
När partikelkollisioner vid acceleratorlaboratorier
skall utvärderas, studerar man hur spår av partiklar
som rör sig i ett magnetfält ser ut.
Magnetisk kraft på strömledare (rät vinkel)
Om ledare ligger vinkelrätt mot
magnetfältet är medelkraften på varje
laddningsbärare: Fe = qvdB
Betrakta en rak ledare av länden l och
tvärsnittsarea A enligt figur och beräkna
summan av kraften på alla laddningar.
Vi har n laddningsbärare/m3.
F = (nAL)(qvdB) = (nqvd A)(lB)
Men J = nqvd, och I=JA
F = BIl
Fig. 27.25
Magnetisk kraft på strömledare (godtycklig vinkel)
F = BIl sin φ
F = Il × B
dF = Idl × B
Kraften på en krokig ledare erhålls
alltså genom att integrera ekvationen
ovan.
Fig. 27.26
Hur kraften på en rak ledare ändras när fältriktning
och strömriktning ändras.
Fig. 27.27
En högtalare är ett bra exempel
på magnetisk kraftverka på en
ledare.
Fig. 27.28
En ”current loop” är viktig eftersom den beskriver en
”magnetisk dipol” med dipolmoment µ = IA där A är
loopens yta.
Observera att nettokraften på
loopen är noll, men krafterna längs
x-axeln ger ett vridmoment τ.
τ = 2F(b/2) sin φ =(IBa)(b sin φ)
Med ba = A och µ =IA
τ= (IA)Bsinφ
τ = µB sin φ
Om vi låter µ får riktning enligt
högerhandsregel 2:
τ = µ ×B
Fig. 27.31
Högerhandsregel 2
Riktningen hos de magnetiska
dipolmomentet är i tummens
riktning om högerhandens
fingrar går i strömmens
ritning.
Fig. 27.32
Energi och vridmoment hos magnetisk dipol
τ = µ ×B
Vridmoment på magnetisk dipol
U = − µB cos φ = − µ ⋅ B
Potentiell energi hos magnetisk dipol
Fältet vill vrida dipolen så att µ står
parallellt med fältet, dvs till φ =0. Då
är U = -µB, dvs minimerad. Tvingar
man den till läget φ = π radianer blir
U = +µB, dvs. maximerad. Stämmer!
(Jämför med samband för elektrisk dipol)
τ = p×E
U = −p⋅E
För en spole (solenoid på engelska)
blir τ = µB sin φ för varje varv.
µ=ΙΑ
Om vi har N varv:
τ = ΝΙΑΒ sin φ
Fig. 27.34
Magnetisk kraft på magnetisk dipol
(Fig. 27.36 är svårtolkad, se sidovy nedan)
B
×
dF = dl × B
.
dF = dl × B
B
Observera att vi får en kraft åt höger eftersom
fältlinjerna går isär, dvs för att fältet är inhomogent!
Nu kan vi börja förklara en permanentmagnet.
Dess atomer har elektroner som bildar strömmar som
cirkulerar runt kärnan, och bildar magnetiska
dipoler. Detta innebär två saker:
• Dessa dipoler alstrar magnetfältet (kap. 28)
• Dessa dipoler förklarar hur en permanentmagnet
beter sig i ett yttre magnetfält.
Permanentmagnet
Varje atom i ett ferromagnetiskt ämne
utgör en magnetiska dipol. Om man kan
få dessa att spontant linjera upp sig har
man en permanentmagnet.
Utsätts permanentmagneten för ett
homogent magnetfält vill den vrida in sig
i fältets riktning, men nettokraften = noll.
Fig. 27.37
Utsätts permanentmagneten för ett
inhomogent magnetfält får man också en
nettokraft
F
Attraktionen mellan en permanentmagnet
och ett omagnetisk föremål av t.ex. järn kan
beskrivas som en tvåstegsprocess:
1: Fältet från magneten orienterar
dipolerna i föremålet.
2: Det inhomogena fältet attraherar
de bildade dipolerna.
Fig. 27.38
Likströmsmotor
τ = µ ×B
Fig. 27.39
Tillämpning: Hastighetsfilter (27.5)
Tillämpning: Mass-spektrometer
Kombinera hastighetsfiltret med magnetisk
avböjning.
1. Jonisera atomer. De flesta förlorar en
elektron och får laddning +e.
2. Hastighetsfiltrera jonerna.
3. Låt jonerna gå vinkelrätt mot B-fält.
R=(mv)/(eB). Mät R.
4. Jonernas massa ges av m=(eBR)/v
Tillämpning 4: Bestämning e/m, kvoten mellan
elektronens laddning och massa.
Ex. 27.8 Magnetisk kraft på böjd ledare