153
15.
15.1.
Ordinära differentialekvationer
Inledning
Differentialekvationer är den gren inom matematiken som beskriver den värld vi lever i
bäst. Sådana ekvationer kan beskriva matematiska modeller för många problem inom teknik, natur- och samhällsvetenskaplig forskning. Ofta söker man beskriva förlopp, dvs man
vill bestämma hur en viss storhet, t.ex läget hos en partikel, massan hos en kropp, formen
av en växt eller en nations bruttonationalprodukt, förändras med tiden. Dessa egenskaper
kan ofta formuleras som samband mellan en funktion och dess derivator.
Differentialekvationer är alltså uppbygda av termer som innehåller derivator av någon funktion, t.ex y ′ (x), funktionen själv y(x) och den oberoende variabeln x för läget eller t för
tiden. Vi ger några exempel.
Exempel 15.1. Radioaktivt sönderfall: Låt m = m(t) vara mängden av ett radioaktivt
ämne efter tiden t och m0 = m(0). Ämnet sönderfaller på så sätt att minskningen
∆m = m(t + ∆t) − m(t)
under ett tidsintervall ∆t från t till t + ∆t är proportionell mot ∆t och m(t), dvs
∆m = m(t + ∆t) − m(t) = −k m(t)∆t,
där k är en positiv konstant. Om vi dividerar med ∆t och låter ∆t → 0, får vi
m′ (t) = −k m(t)
k > 0.
(15.2)
Vi ser alltså att funktionen m(t) uppfyller differentialekvationen (15.2). Dessutom löser
m(t) begynnelsevärdesproblemet
′
m (t) + k m(t) = 0
m(0) = m0
Exempel 15.2. Populations tillväxt: Om antalet bakterier y(t) vid tiden t i en näringslösning
ökar med en hastighet som är proportionellt mot antalet bakterier y(t) vid tiden t så
ges en matematisk modell för detta av
y ′ (t) = k y(t),
k > 0.
(15.3)
Jämför denna modell med den i (15.2).
Exempel 15.3. Logistisk tillväxt: Modellen i (15.3) i Exempel 15.2 är naturligtvis orealistisk då resurser i form av t.ex föda och utrymme är begränsade. Detta sätter ett tak för
populationens storlek, y(t) ≤ M . På grund av konkurrens är det rimligt att anta att även
tillväxten är proportionell mot M − y(t). Detta ger att
y ′ (t) = k y(t)(M − y(t)),
dvs y ′ (t) − k · M · y(t) + k y 2 (t)) = 0.
(15.4)
154
15 ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER
Exempel 15.4. Newtons avkylningslag säger att hastigheten med vilken en varm kropp
svalnar är proportionell mot skillnaden i temperatur mellan kroppen och omgivningen.
Antar vi att y(t) är kroppens temperatur vid tiden t och att y0 är omgivningens temperatur
så gäller alltså att
(15.5)
y ′ (t) = −k (y(t) − y0 ), k > 0.
Exempel 15.5. (Blandningsproblem): Antag att vi har två kärl I och II som rymmer
M1 liter respektive M2 liter. Till kärl I tillförs α liter rent vatten per minut (l/m) och β
l/m rinner över till kärl II. Från kärl II rinner γ l/m tillbaka och α l/m rinner bort. Kärl I
innehöll i startögonblicket A kg salt löst i vattenet medan kärl II innehöll rent vatten. Om
y1 (t) och y2 (t) är mängden salt i kärl I resp. kärl II, så får vi följande matematisk modell:
y (t)
y2 (t)
y1′ (t) = −β · 1
+γ ·
M1
M2
y
(t)
y2 (t)
1
y2′ (t) = β ·
− (α + γ) ·
M1
M2
där y1 (0) = A och y2 (0) = 0. För att upprätthålla samma mängd i kärlen kräver vi att
α + γ = β.
Allmänt gör vi följande definition:
Definition 15.6. Vi säger att ekvationen
an (x)y (n) (x) + an−1 (x)y (n−1) (x) + · · · + a2 (x)y ′′ (x) + a1 (x)y ′ (x) + a0 (x)y(x) = h(x),
(15.6)
är en ordinär, inhomogen, linjär differentialekvation av n-te ordningen.
Ekvationen är
1. ordinär för att lösningsfunktionen y är funktion av endast en variabel; här x.
2. inhomogen om h 6= 0 och homogen om h = 0.
3. linjär eftersom varje term innehåller högst en faktor y k , k = 0, 1, 2, . . . , n.
4. av n-te ordningen eftersom högsta ordningen derivata som förekommer i ekvationen är av ordning n.
Med en lösning till differentialekvationen (15.6) menas en funktion y som är definierad
på ett intervall och som på hela detta intervall uppfyller differentialekvationen (15.6).
15.1
155
Inledning
Låt oss titta på begreppet linjär lite närmare:
Definition 15.7. En funktion F säges vara linjär om
1. F är addititv om
F (y1 + y2 ) = F (y1 ) + f (y2 )
2. F är homogen om för varje konstant λ gäller
F (λy) = λF (y).
Exempel 15.8. Vi ger några exempel på linjära och icke linjära funktioner:
1. Funktionen F (y) = ky, där k är en konstant, är linjär, ty
(a) F (y1 + y2 ) = k(y1 + y2 ) = ky1 + ky2 = F (y1 ) + F (y2 ).
(b) F (λy) = k(λy) = λ(ky) = λF (y).
2. För ett fixt x är funktionen F (y) = y ′ + g(x)y linjär, ty
1.
F (y1 + y2 ) = (y1 + y2 )′ + g(x)(y1 + y2 ) = y1′ + y2′ + g(x)y1 + g(x)y2
= (y1′ + g(x)y1 ) + (y2′ + g(x)y2 ) = F (y1 ) + F (y2 ).
2.
F (λy) = (λy)′ + g(x)(λy) = λ(y ′ + g(x)y) = λF (y).
3. Funktionn F (y) = yy ′ är inte linjär, ty
F (y1 + y2 ) = (y1 + y2 )(y1 + y2 )′ = (y1 + y2 )(y1′ + y2′ )
= y1 y1′ + y1 y2′ + y2 y1′ + y2 y2′ 6= y1 y1′ + y2 y2′ = F (y1 ) + F (y2 ).
4. Funktionen F (y) = y ′ (t)− k ·M ·y(t)+ k y 2 (t) som förekommer i modellen om logistisk
tillväxt är inte linjär.
5. Polynom av högre grad än 1, trigonometriska funktionerna, arccusfunktionerna, exponentialoch logaritmiska funktionerna är icke linjära.
15616
FÖRSTA ORDNINGENS ORDINÄRA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER
16.
Första ordningens ordinära linjära differentialekvationer
Definition 16.1. En första ordningens linjär differentialekvation är en ekvation
på formen
(16.2)
y ′ + g(x)y = h(x).
Idén att lösa ekvationen i (16.2) hämtar vi från följande exempel.
Exempel 16.2. Lös differentialekvationen esin x y ′ + cos xesin x y = 1.
Lösning:
16.1
16.1.
157
Metoden med integrerande faktorn
Metoden med integrerande faktorn
Problem: Lös ekvationen i (16.2), dvs
y ′ + g(x)y = h(x).
(16.3)
Idé: Låt G(x) vara en primitiv funktion till g(x). Multiplicera båda leden i ekvation (16.3)
med den integrerande faktorn eG(x) :
eG(x) y ′ + g(x)eG(x) y = h(x)eG(x) .
Eftersom vänstra ledet i ekvation (16.4) är derivatan av en produkt:
eG(x) y ′ + g(x)eG(x) y =
d G(x) e
y
dx
kan ekvation (16.4) nu skrivas:
d G(x) e
y = h(x)eG(x) .
dx
Vi integrerar båda leden och får:
Z
Z
d G(x) e
y dx =
h(x)eG(x) dx,
dx
dvs
G(x)
e
Z
y=
h(x)eG(x) dx + C.
Nästa steg är att lösa ut y i vänstra ledet:
−G(x)
y = Ce
−G(x)
+e
Z
Exempel 16.3. Lös begynnelsevärdesproblemen
2
1. y ′ + (1 + 2x)y = e−x , y(0) = 2.
2. 2xy ′ − y = x3 , y(1) = 1.
3. (x2 + x)y ′ − y = 1, lim y(x) = 1.
x→∞
Lösning:
h(x)eG(x) dx.
(16.4)
158
17.
17 SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER
Separabla differentialekvationer
Ekvationen (15.4) i Exempel (15.3) är förvisso av första ordningen men den är inte linjär,
ty funktionen
F (y) = y ′ (t) − k y(t)(M − y(t)) = y ′ (t) − kM y(t) + y 2 (t)
är inte linjär och därmed kan metoden med integrerande faktorn ej användas.
Definition 17.1. En differentialekvation på formen
g(y)y ′ (x) = h(x)
(17.2)
säges vara separabel.
Följande exempel visar idén hur man ska lösa separabla differentialekvationer av typen (17.2).
Exempel 17.2. Lös ekvationen ey y ′ = 1, y(0) = 1. (Icke linjär som inte kan lösas med I.F.)
Lösning:
159
Problem: Lös ekvationen i (17.2), dvs
g(y)y ′ (x) = h(x).
(17.3)
Idé: Om G är en primitiv funktion till g så gäller enligt kedjeregeln att
g(y)y ′ (x) =
d
G(y(x)),
dx
och då kan vänstra ledet i (17.3) skrivas:
d
G(y(x)) = h(x).
dx
Integrerar vi med avseende på x och antar att h har en primitiv funktion H så får vi
Z
Z
d
G(y(x)) dx = h(x) dx ⇔ G(y(x)) = H(x) + C.
dx
dy
, så att vi separerar variablerna
Detta betyder att vi formellt skulle kunna dela på y ′ , dvs
dx
x och y enligt nedan:
g(y)y ′ (x) = h(x) ⇔ g(y)
dy
= h(x) ⇔ g(y) dy = h(x) dx.
dx
Vi integrerar varje led med avseende på respektive variabel:
Z
Z
g(y) dy = h(x) dx ⇔ G(y(x)) = H(x) + C.
2
Exempel 17.3. För ekvationerna i Exempel 16.3 är y ′ + (1 + 2x)y = e−x och 2xy ′ − y = x3
1
1
ej separabla och (x2 + x)y ′ − y = 1 separabel, ty den kan skrivas
y′ = 2
.
1+y
x +x
Exempel 17.4. Lös ekvationerna
a) yy ′ = x3
Lösning:
b) y ′ = y 2 − 3y + 2.
