c 2005 Eric Järpe
Högskolan i Halmstad
Kapitel 2: De hela talen
Divisionsalgoritmen
"
a
r
= q + , 0 ≤ r ≤ |d|
∀ a ∈ Z, d ∈ Z\{0}∃ q, r ∈ Z :
d
d
där q kallas kvoten och r kallas principala resten vid heltalsdivision.
Primtal
d är delare till a om a och d 6= 0 är heltal och det finns något heltal, q, sådant att
a = qd. Om d är delare till a skrivs detta d|a, om ej skrivs det d6 |a.
Lär faktor, delbarhet, multipel, triviala och äkta delare.
Sats 2.1
Om a, b, c heltal
så
1. a|b ∧ b|c ⇒ a|c
2. a|b ∧ a|c ⇒ a|(b + c)
3.
a|b ⇒ a|bc
4. ∀ x ∈ Z : (a|b ⇒ a|(ax + by))
5. ∀ x, y ∈ Z : (c|a ∧ c|b ⇒ c|(ax + by))
Exempel Finns x, y, z ∈ Z : 4x + 12y + 20z = 101?
Lösning: Eftersom ett jämnt tal gånger ett heltal alltid är jämnt (2q ·a = 2·(qa)) så
måste alltid 4x, 12y och 20z vara jämna. Dessutom är summan av jämna tal alltid
jämn (2q + 2r = 2(q + r)). Men talet 101 är udda. Alltså kan det inte vara summan
av 4x, 12y och 20z, dvs det finns inga heltal x, y, z så att påståendet stämmer. 2
Ett postivt heltal p 6= 1 som inte har äkta delare kallas primtal. (Om ett heltal ej
är primtal så kallas det sammansatt tal.)
Sats 2.3 Det finns oändligt många primtal.
Läs beviset!
Sats 2.4 Varje heltal kan primtalsfaktoriseras (dvs skrivas som en produkt
av primtal).
Läs och begrunda beviset.
Exempel Är 8 delare till 9602?
Lösning: Enl. Sats 2.1 ovan gäller a|b ⇒ a|(ax + by). Med a = 8, b = 96 och
y = 100 har vi att a|b ⇒ a|by (dvs 8|9600), och med x = −1, 0, 1 har vi att 8|9592,
8|9600 och 8|9608. Men om 8 hade varit delare till 9602 skulle detta funnits mellan
9600 och 9608. Alltså är inte 9602 en multipel av 8. Dvs 86 |9602.
2
1
Räkning med rester
Sats 2.5
Om a har rest r vid division med d
b har rest s vid division med d
så
har
a
+ b rest r + s
a − b rest r − s
ab rest rs
an rest r n
Obs! Sats 2.5 säger inget om principal rest.
Denna sats kan även skrivas
a ≡ r
(mod d) ⇒
b ≡ s
a+b ≡ r+s
a−b ≡ r−s
(mod d)
ab ≡ rs
an ≡ r n
vilket uttalas “a kongruent med r modulo d, b kongruent med s modulo d, a + b
kongruent med r + s modulo d, osv.” med innebörden att a − r är en multipel av d,
b − s är en multipel av d, a + b − (r + s) är en multipel av d, osv.
Exempel
Bestäm det minsta positiva heltal som är kongruent med 1112 + 13 · 1415 (mod 16).
Lösning: 1112 + 13 · 1415 = 112·6 + 13 · (2 · 7)3·5 = 1216 + 13 · (8 · 49 · 7)5 ≡
≡ (121 − 7 · 16)6 + 13 · ((56 − 3 · 16)(49 − 3 · 16))5 = 96 + 13 · 85 ≡
≡ (81 − 5 · 16)3 + 13 · 8 · (64 − 4 · 16)2 = 13 + 0 = 1 (mod 16).
2
SGD Euklides algoritm
För att förkorta ett bråk primtalsfaktoriserar man och stryker sedan från täljare och
nämnare.
På gymnasiet får man lära sig MGN (minsta gemensamma nämnare). Vi ska nu
introducera SGD och MGM.
d kallas största gemensamma delare för a och b betecknat SGD(a, b) om
1. d > 0
2. d|a ∧ d|b
3. (c|a ∧ c|b) ⇒ c|d
2
Exempel Är SGD(12, 16) = 2?
Lösning:
1. 2 > 0 (ok)
2. 2|12 och 2|16 (ok)
men t.ex. 4|12 och 4|16 fast 46 |2 så SGD(12, 16) 6= 2. För att bevisa att 4 är
SGD(12, 16) kan man resonera: Klart att a|12 ⇔ a| − 12. Enl. Sats 2.1 gäller
a|b ∧ a|c ⇒ a|(b + c) där a, b, c var är godtyckliga heltal. Speciellt med b = −12 och
c = 16 gäller a| − 12 ∧ a|16 ⇒ a|(−12 + 16) dvs a|4. Därmed är SGD(12, 16) = 4.2
Bättre sätt att ta reda på SGD är genom att använda Euklides algoritm eller genom
primtalsfaktorisering.
Euklides algoritm
För att bestämma SGD(a, b), antag att a > b och låt
a = c1 b + r1 där 0 ≤ r1 ≤ |b|
b = c2 r1 + r2 där 0 ≤ r2 ≤ r1
För i = 3, 4, 5, . . . låt
ri−2 = ci ri−1 + ri 0 ≤ ri ≤ ri−1
tills ri = 0 (där r1 , r2 , . . . , ri−2 , ri−1 , ri , . . . alla betecknar principala rester). Då är
SGD(a, b) = ri−1 , dvs den näst sista resten, dvs den sista icke-försvinnande resten.
Metod med primtalsfaktorisering
Ett alternativ till Euklides algoritm är att man skriver bråket: a/b och primtalsfaktoriserar1 a och b. De faktorer som är gemensamma för täljare och nämnare är
gemensamma delare och produkten av dessa: största gemensamma delare!
Låt oss ta ett exempel som vi löser på båda sätten.
Exempel Finn största gemensamma delare till 516 och 156.
Lösning:
Euklides algoritm
156 + 48 ←−
516 = 3 · |{z}
|{z}
det större
icke-försvinnande rest
det mindre
156 = 3 · 48 + 12 ←−
48 = 4 · 12 + 0 ←−
sista icke-försvinnande rest
försvinnande
rest
Eftersom r3 = 0 är SGD(516, 156) = r2 = 12.
1
Primtalsfaktoriseringen görs lämpligen genom att först dividera a med 2, om detta är ett
heltal dividera med
√ √2 igen, osv. tills det tar stopp, fortsätt med 3 tills det tar stopp, sen
5, 7, 11, . . . , min( a, b).
3
Primtalsfaktorisering
primtal
z }| {
2 · 258
2 · 2 · 129
516
2 · 2 · 3 · 43
=
=
=
156
2 · 78
2 · 2 · 39
· 3 · 13}
|2 · 2 {z
primtal
De faktorer som är gemensamma i täljare och nämnare är 2, 2, 3 så produkten dvs
SGD(516, 156) = 2 · 2 · 3 = 12.
2
Två heltal a, b sådana att SGD(a, b) = 1, kallas relativt prima.
Sats 2.7 “p primtal” ∧ p|ab ⇒ p|a ∨ p|b
Om a, b heltal så kallas m minsta gemensamma multipel, betecknat MGM, om
1. m > 0
2. a|m ∧ b|m
3. (a|c ∧ b|c) ⇒ m|c.
Obs! ∀ a, b ∈ Z \ {0} : SGD(a, b) · MGM(a, b) = |ab|.
Exempel Bestäm
a) SGD(5005, 4056)
b) MGM(5005, 4056).
Lösning:
a) Primtalsfaktorisering
5005
5 · 1001
5 · 7 · 143
5 · 7 · 11 · 13
5 · 7 · 11 · 13
=
=
=
=
3
3
4096
4 · 1014
2 · 507
2 · 3 · 169
23 · 3 · 132
dvs SGD(5005, 4096) = 13.
b) MGM(a, b) =
ab
.
SGD(a, b)
Detta är ju enkelt då vi just beräknat SGD(5005, 4096):
MGM(5005, 4096) =
5005 · 4056
= 1561560
13
2
4
Obs! Alla jämna tal kan skrivas 2k och alla udda 2k + 1 där k är ett heltal.
Divisionsalgoritmen är användbar för att bevisa allmänna utsagor om rest från
heltalsdivision:
Exempel Bevisa att kuben av ett udda tal, a, (dvs ett udda tal, a, upphöjt till
3) alltid bildar resten 1 vid division med a − 1.
Lösning:
Låt b = a − 1. Då är b jämnt eftersom a är udda. Vidare är
a3
(b + 1)3
=
a−1
b
3
b + 3b2 · 1 + 3b · 12 + 13
=
b
1
= b2 + 3b + 3 +
b
där b2 + 3b + 3 är ett heltal (eftersom b är ett heltal) och resten är 1.
Man kan också resonera:
Låt a = 2k + 1. Då är a − 1 = 2k och
(2k + 1)3 = (2k)3 + 3 · (2k)2 · 1 + 3 · (2k) · 12 + 13
= 8k 3 + 12k 2 + 6k + 1
= 2k(4k 2 + 6k + 3) + 1
(2k + 1)3
1
varmed
= 4k 2 + 6k + 3 +
2k
2k
dvs resten är alltid 1.
2
5
Exempel på heltalsdivision
Vad blir resten vid heltalsdivision av 10101 + 11 · 110 med 12?
Resten vid heltalsdivision av 10101 med 12:
8 4 1
1 2 1 0 1 0 1
- 9 6
9
10101
5 0
=A+
⇒
- 4 8
12
12
2 1
1
2
9
Resten vid heltalsdivision av 11 med 12:
11
11
=0+
12
12
Resten vid heltalsdivision av 110 med 12:
9
1 2 1 1 0
110
2
⇒
=B+
- 1 0 8
12
12
2
Sats 2.5 ⇒
2 · 11
10
11 · 110
= C+
= C +1+
12
12
12
10101 + 11 · 110
9 + 10
= D+
12
12
9 + 10 − 12
= D+1+
12
7
= D+1+
12
Dvs resten är 7.
Sats 2.5 ⇒
6
2
