Repetition av cosinus och sinus
Av Eric Borgqvist, 2010-08-26, Lund
Syftet med detta dokument är att få en kort och snabb repetition av vissa
egenskaper hos de trigonometriska funktionerna sin och cos. Det som gås
igenom här ska inte på något sätt ses som heltäckande utan är helt enkelt
till för att bekanta sig med dessa funktioner.
Pythagoras sats ges som bekant av
a2 + b2 = c2
(1)
Där a och b är längden på respektive katet i en rätvinklig triangel och c är
längden på hypotenusa. Pythagoras sats kan bevisas på väldigt många olika
sätt och det nns hemsidor dedikerade åt endast detta. Ett sätt att bevisa
pythagoras sats kan fås genom att betrakta kvadraten nedan.
AA
A
A
A
A
A
A
A
A
c
A A
a
b
Figur 1: Pytagoras sats
Övning 1: Bevisa pythagoras sats med hjälp av gur 1.
Cosinus och sinus är denierade utifrån enhetscirkeln. Betrakta gur 2.
Givet en vinkel α, som mäts enligt gur 2, så får man denitionen på cosinus
och sinus som är x respektive y koordinaten på enhetscirkeln. Det vill säga
x = cos α
y = sin α
Med hjälp av vinkeln α kan man alltså nå alla x och y på enhetscirkeln.
(2)
(3)
6
(0, 1)
sin α
α
(−1, 0)
r (x, y)
cos α
-
(1, 0)
(0, −1)
Figur 2: Enhetscirkeln
Övning 2: Visa trigonometriska ettan cos2 α + sin2 α = 1 med hjälp av enhetscirkeln och pythagoras sats
Övning 3: Visa med hjälp av enhetscirkeln att cos (−α) = cos (α)
Övning 4: Visa med hjälp av enhetscirkeln att sin (−α) = − sin α
Ett vanligt och praktiskt vinkelmått som används inom matematiken är radianer. Begreppet radianer är också denierad utifrån enehetscirkeln (gur 2).
Genom att starta i punkten (1, 0) och sedan följa enhetscirkeln moturs tills
man kommer tillbaks till (1, 0) igen så säger man att vinkeln har ändrats
med 2π radianer. I grader säger man att vinkelförändingen är 360◦ . Det vill
säga:
360◦ = 2π rad ⇐⇒ 1◦ =
π
rad
180
(4)
Betrakta nu en större cirkel med radien r med origo i (0,0), se gur 3. Multipliceras (2) och (3) med denna radie så kan man nå alla punkter i xy -planet
(genom att variera radien r och vinkeln α).
x = r cos α
y = r sin α
2
(5)
(6)
6
(0, r)
r
-
(−r, 0)
(1,0) (r, 0)
(0, −r)
Figur 3: Cirkel med radie r
Övning 5: Med hjälp av gur 3 samt ekvationerna (5) och (6) visa att i en
rätvinklig triangel gäller
Motstående katet
Hypotenusa
Närliggande katet
cos α =
Hypotenusa
sin α =
Några vanligt förekommande vinklar är 0, π, π2 , π3 , π4 , π6 och det är viktigt att
man behärskar cosinus och sinus av dessa standardvinklar. Några av dessa
vinklar kan fås genom att betrakta vissa trianglar. Se gur 4.
(7)
2
√
1
1
3
1
Figur 4: En rätvinklig och en liksidig triangel
3
Cosinus av π6 fås genom att betrakta den liksidiga triangeln i
gur 4. I en liksidig triangel är alla vinklar lika stora, och eftersom summan
av vinklarna i en triangel är π så vet vi att varje hörn har vinkeln π3 . En
rätvinklig triangel bildas sedan ur den liksidiga genom att dela det översta
hörnet med en linje, se gur 4. Det översta hörnet i denna rätvinkliga
√ trianπ
geln har alltså vinkeln 6 rad. Vi ser att den närliggande kateten är 3 enligt
guren och hypotenusan är 2. Utnyttjar vi resultatet i övning 5 har vi alltså:
EXEMPEL 1:
√
π
3
cos =
6
2
Övning 6: Med hjälp av trianglarna i gur 4 och enhetscirkeln i gur 2 fyll
i resten av tabell 1.
α
π
6
cos
α
√
sin α
3
2
π
3
π
4
π
2
π
0
2π
Tabell 1: Några standardvinklar för cosinus och sinus
Ett par trigonometriska formler för cosinus och sinus kommer att slutligen
presenteras i detta dokument. Två användbara formler är sinus samt cosinus
för dubbla vinkeln och ges av
sin 2α = 2 sin α cos α
2
2
cos 2α = cos α − sin α
(8)
(9)
Övning 7: Med hjälp av (9) samt trigonometriska ettan, visa att cos 2α =
2 cos2 α − 1 samt cos 2α = 1 − 2 sin2 α.
4
Additions- och subtraktionsformler för cos och sin presenteras nedan. Subtraktionsformeln för cosinus (10) kommer att bevisas senare i linjär algebra
kursen och de återstående formlerna (11-13) kan sedan härledas med hjälp
av denna och några trigonometriska samband. Även formlerna för dubbla
vinkeln är special fall av (11) och (13).
cos (α − β) = cos (α) cos (β) + sin (α) sin (β)
cos (α + β) = cos (α) cos (β) − sin (α) sin (β)
sin (α − β) = sin (α) cos (β) − cos (α) sin (β)
sin (α + β) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β)
(10)
(11)
(12)
(13)
Övning 8: Visa trigonometriska ettan, cos2 α + sin2 α = 1, med hjälp av
subtraktionsformeln för cosinus (10)
Tips övning 1: Hitta två stycken uttryck för arean av den större kvadraten,
sätt dem lika med varandra och förenkla sedan.
Referenser
[1]
Analys i en variabel.
Studentlitteratur, Lund.
Arne Person , Lars-Christer Böiers.
Denna bok i analys beskriver mer ingående de trigonometriska funktionerna och går till exempel att hitta i Matte-biblioteket.
[2] http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml,
2010-08-26
Hemsida med bland annat 86 bevis för pythagoras sats .
5
