Föreläsning 10

Endimensionell analys (FMAA05)
Anders Källén
Föreläsning 10
Innehåll: Trigonometriska funktioner
Satser om trianglar
Kapitel 8.4, T.3-T.4
1. Definition av de trigonometriska funktionerna
2. Samband mellan de trigonometriska funktionerna
3. Ekvationslösning
4. Satser om trianglar
5. Halva och dubbla vinkeln
Efter dagens föreläsning måste du kunna
- definiera de trigonometriska funktionerna med hjälp av enhetscirkeln.
- de grundläggande trigonometriska sambanden (trigonometriska ettan och hur man får sinus ur cosinus)
- formulera och bevisa areasatsen, sinusssatsen och cosinussatsen för
trianglar
- formulera och härleda de trigonometriska formlerna för dubbla och
halva vinklen
Definition av de trigonometriska funktionerna
c
a
β
γ
α
b
bc sin α
2
Bevis: beräkna höjden med hjälp av sinusfunktionen
sin α
sin β
sin γ
Sinussatsen:
=
=
a
b
c
Bevis: areasatsen! (alt: dra höjder)
Cosinussatsen: a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
Bevis: Pythagoras sats 2 gånger + lite algebra
Areasatsen: Arean =
Halva och dubbla vinkeln
Betrakta nedanstående triangel.
x
1
x
1
tan x
sin x
x
cos x
2 sin x
Areasatsen medför att
Anmärkning Tangens är inte definierad för ±π/2 och är π-periodisk
istället för 2π-periodisk som sinus och cosinus är.
Anmärkning Om en linje lutar α (radianer) relativt x-axlen, så är dess
riktningskoefficient tan α.
1
1
sin 2x = 2 sin x cos x
2
2
⇔
sin 2x = 2 sin x cos x
och cosinussatsen att
(2 sin x )2 = 1 + 1 − 2 cos 2x
⇔
sin2 x =
1 − cos 2x
.
2
Anmärkning Röd triangel ≤ cirkelsektor ≤ Rätvinklig triangel (areor)
⇒
1
x
1
sin x
sin x ≤ ≤ tan x ⇔ cos x ≤
≤ 1.
2
2
2
x
Den första ger första likheten i
Relevant då | x | är litet. Medför att
andra och tredje följer ur trigonometriska ettan. Tillsammans med
cos 2x = 1 − 2 sin2 x = cos2 x − sin2 = 2 cos2 x − 1;
sin 2x = 2 cos x sin x
sin x
→ 0 då x → 0.
x
Samband mellan de trigonometriska funktionerna
Självklara samband direkt ur definitionen ovan (VV-fall för triangel)
1. cos2 x + sin2 x = 1,
sin x
2. tan x =
,
cos x
1
3. 1 + tan2 x =
,
cos2 x
4. cos( π2 − x ) = sin x och sin( π2 − x ) = cos x
5. cos( π2 + x ) = − sin x men sin( π2 + x ) = cos x
6. sinus är en udda och cosinus en jämn funktion
Ekvationslösning
A och O här är att rita figur! Lös
sin x =
1
,
2
cos x =
1
,
2
tan x = 1,
Exempel Att mäta höjden på ett berg...
cos 2x = sin 5x.
ger detta formlerna för dubblan vinkeln. Vi får också formlerna för
halva vinkeln:
sin2 x =
1 − cos x
,
2
cos2 x = 1 − sin2 x =
1 + cos 2x
.
2
Exempel Lös ekvationen cos 2x = 1 + sin x.
Att fundera på till nästa gång
1. Ett högt berg står vid stranden vid Atlanten. Du mäter dess höjd
(över havet) på toppen till h m. Hur kan du nu genom att bestämma en vinkel bestämma jordens omkrets? Vilken är vinkeln och
vilken formel får man för jordradien?
2. Beräkna sin π8 .
3. Varför är arcsin x + arccos x = π2 ? Vad gäller för arctan x +
arccot x?