2.4
2.4.
23
Linjärkombination
Linjärkombination
Definition 2.30. Låt v 1 , v 2 och v 3 vara vektorer i rummet. Ett uttryck av typen
u = λ1 v 1 + λ2 v 2 + λ3 v 3 ,
där λ1 , λ2 och λ3 är reella tal kallas för en linjärkombination av vektorerna v 1 , v 2
och v 3 .
1024
2
Exempel 2.31. Vektorn u =
är en linjärkombinaton av vektorn v =
, ty
512
1
u = 512v. Geometriskt säger vi att u och v är parallella.
2
1
1
0
Exempel 2.32. Vektorn u =
är en linjärkombination av vektorerna v 1 =
0
och v 2 =
, ty det finns λ1 = 2 och λ2 = 1, så att
1
1
0
2
λ1 v 1 + λ2 v 2 = 2
+1
=
= u.
0
1
1
1
0
Eftersom vektorerna
och
är vinkelräta och har längd 1 brukar dessa kallas
0
1
för standardbasen för planet.
1
−1
Exempel 2.33. Vektorn u =
är en linjärkombination av vektorerna v 1 =
1
och v 2 =
, ty det finns λ1 = 3 och λ2 = −2, så att
2
1
1
1
λ1 v 1 + λ2 v 2 = 3
−2
=
= u.
1
2
−1
3
4
Exempel 2.34. Vektorn u =
är ej en linjärkombination av vektorerna v 1 =
2
och v 2 =
, ty det finns inga λ1 och λ2 , så att
2
1
2
3
λ1
+ λ2
=
1
2
4
har lösning.
1
1
1
1
24
2
VEKTORGEOMETRI
1
3
Exempel 2.35. Vektorerna v 1 = 1 och v 2 = 3 är parallella, ty den ena
−1
−3
är en linjärkombination av den andra; det finns λ = 1/3 så att
1
v1 = v2 .
3
Eller om man vill så finns λ = 3 så att v 2 = 3v 1 .
1
1
Exempel 2.36. Vektorerna v 1 =
0
och v 2 =
1 är ej parallella, ty den ena är
1
0
inte en linjärkombination av den andra; det finns inget λ så att v 1 = λv 2 .
1
1
Exempel 2.37. Vektorn u = −2 är en linjärkombination av v 1 = 0 och
3
1
1
v 2 = 1 , ty ekvationssystemet
0
1
1
3
λ 1 + λ2
1
λ1 v1 + λ2 v 2 = u ⇔ λ1 0 + λ2 1 = −1 ⇔
λ2 = −2
1
0
3
3
λ1
har lösningen λ1 = 3 och λ2 = −2.
1
1
Exempel 2.38. Vektorn u = 1 är ej en linjärkombination av v 1 = 0 och
1
1
1
v 2 = 1 , ty ekvationssystemet
0
1
1
1
λ 1 + λ2
3
λ1 v 1 + λ 2 v 2 = u ⇔ λ 1 0 + λ 2 1 = 1 ⇔
λ2 = −1
1
0
1
3
λ1
saknar lösning.
2.4
25
Linjärkombination
1
1
Exempel 2.39. Antag att v 1 = 0 och v 2 = 1 . Undersök om
1
0
0
a) v 3 = 1
1
3
b) v 4 = 2
1
kan skrivas som en linjärkombination av mängden {v 1 , v 2 }.
Lösning:
26
2
VEKTORGEOMETRI
Exempel 2.40. Vi har sett att det finns
vektorer somär linjärkombination
respektive
1
1
inte är en linjärkombination av v 1 = 0 och v 2 = 1 Kan man bestämma alla
1
0
linjärkombinationer av v1 och v 2 ?
x
Lösning: Om u = y skall vara en linjärkombinationer av v 1
z
vi hittar λ1 och λ2 som löser systemet
1
1
0
1 =
λ1 v 1 + λ2 v 2 = u ⇔ λ1
+ λ1
1
0
Vi multiplicerar in
λ1 + λ2
λ2 =
λ1
och v 2 , så krävs det att
x
y .
z
λ1 och λ2 och skriver systemet på matrisform:
x
1 1 x
0
λ 1 + λ2 = x
y ⇔
λ2 = y ⇔ 0 1 y ⇔ 0
z
λ1 = z
1 0 z
1
0
1
0
x−y−z
.
y
z
Enligt första raden i sista matrisen ovan så måste gälla att
x − y − z = 0.
Detta är ekvationen
för
det plan som går igenom origo och är parallellt med v 1 och v 2 .
x
Alltså, alla u = y som uppfyller ekvationen x − y − z = 0 är en linjärkombination av
z
1
1
v 1 och v 2 ; t.ex. vektorn
−2
men inte
1 .
3
1
2.5
2.5.
Linjärt oberoende och beroende
27
Linjärt oberoende och beroende
Definition 2.41. Låt v 1 , v 2 och v 3 vara en uppsättning vektorer i rummet. Vektorerna
v 1 , v 2 och v 3 är linjärt beroende om det finns reella tal λ1 , λ2 och λ3 , ej alla noll,
så att
λ1 v1 + λ2 v 2 + λ3 v 3 = 0.
Uppsättningen v 1 , v 2 och v 3 är linjärt oberoende om
λ1 v1 + λ2 v 2 + λ3 v 3 = 0,
endast för
λ1 = λ2 = λ3 = 0.
Exempel 2.42. Om mängden {v 1 , v 2 , v 3 } är linjärt beroende, så betyder det att en eller
flera vektorer är en linjärkombination i dem andra. Geometriskt betyder det att vektorerna
ligger i samma plan eller parallella med en linje.
Figur 2.43.
v2
v3
v1
v2
v1
v3
Exempel 2.44. Om mängden {v 1 , v 2 , v 3 } är linjärt oberoende, så är ingen vektor en
linjärkombination av dem andra. Geometriskt betyder det att vektorerna spänner upp rummet.
Figur 2.45.
v3
v2
v1
28
2
VEKTORGEOMETRI
1
1
Exempel 2.46. Undersök om mängden {v 1 , v 2 , v 3 }, där v 1 = 0 , v 2 = 1 och
1
0
0
v 3 = 1 är linjärt beroende eller linjärt oberoende.
1
Lösning:
1
1
Exempel 2.47. Undersök om mängden {v 1 , v 2 , v 3 }, där v 1 = 0 , v 2 = 1 och
1
0
2
v 3 = 1 är linjärt beroende eller linjärt oberoende.
1
Lösning:
1
1
0
2
Exempel 2.48. Vektorerna v 1 =
0 , v2 =
1 , v3 =
1
och v 4 =
1 är
1
0
1
1
1
1
linjärt beroende men spänner upp rummet, medan v 1 = 0 och v 2 = 1 är linjärt
1
0
oberoende men spänner ej upp rummet.
2.5
Linjärt oberoende och beroende
29
Exempel 2.49. Ligger vektorerna u, v och w i samma plan om
1
1
0
a) u = 0 ,
v = 1 ,
och w = 1
1
0
1
b)
1
u = 0 ,
1
1
v = 1 ,
0
3
w = −4
1
och
Lösning: a) Vektorerna u, v och w ligger i samma plan om mängden {u, v, w} är linjärt
beroende. Eftersom
1
1
0
0
λ1 u + λ2 v + λ3 w = 0 ⇔ λ1
0
+ λ2
1
+ λ3
1
=
0
1
0
1
0
endast för λ1 = λ2 = λ3 = 0, så är mängden {u, v, w} linjärt oberoende och ligger därmed
inte i samma plan.
b) Vi undersöker linjärt beroende och får att
1
1
3
0
λ1 u + λ2 v + λ3 w = 0 ⇔ λ1 0 + λ2 1 + λ3 −4 = 0
1
0
1
0
har lösningen λ1 = −2, λ3 = 4, λ1 = 1. Detta betyder att mängden {u, v, w} är linjärt
beroende och ligger därmed i samma plan.
Figur 2.50.
a)
w
b)
v
w
v
u
u
30
2
2.6.
VEKTORGEOMETRI
Bas
Definition 2.51. Mängden {e1 , e2 } är en bas för vektorerna i planet om den är linjärt
oberoende. Om
u = xe1 + ye2 ,
säger vi att u har koordinaterna (x, y) i basen {e1 , e2 }.
1
0
Exempel 2.52. Vi har tidigare definierat vektorerna
,
som en standardbas
0
1
x
för planet. Detta eftersom varje vektor
i planet är en linjärkombination av dessa:
y
x
y
=x
1
0
+y
0
1
.
Vi gör en motsvarande definition i rummet.
Definition 2.53. Mängden {e1 , e2 , e3 } är en bas för vektorerna i rummet om den är
linjärt oberoende. Om
u = xe1 + ye2 + ze3 ,
säger vi att u har koordinaterna (x, y, z) i basen {e1 , e2 , e3 }.
1
0
0
Exempel 2.54. Vi säger att vektorerna 0 , 1 och 0 är en standardbas
0
0
1
x
för rummet, ty varje godtycklig vektor y i rummet är en linjärkobination av dessa:
z
x
1
0
0
y = x 0 + y 1 + z 0 .
z
0
0
1
2.6
Bas
31
1
1
Exempel 2.55. Enligt Exempel 2.46, så är vektorerna v 1 = 0 , v 2 = 1 , och
1
0
0
v 3 = 1 linjärt oberoende. Därmed är de bas för rummet. Låt oss bestmma koordina1
2
terna för vektorn u =
2 i basen {v 1 , v 2 , v 3 }. Vi behöver alltså bestämma talen x, y
2
och z så att
1
1
0
2
u = xe1 + ye2 + ze3 ⇔ x 0 + y 1 + z 1 = 2 .
1
0
1
2
2
Löser vi ekvationssytemet får vi x = y = z = 1. Vektorn u = 2 har alltså koordina2
1
terna 1 i basen {v 1 , v 2 , v 3 }.
1
Figur 2.56.
u = v1+v2+v3
v3
v3
v2
v2
v1
32
2
VEKTORGEOMETRI
−2
Exempel 2.57. Visa att vektorn w = −1 ligger i samma plan som spänns upp av
2
1
1
u = 1 och v = 2 . Ange också koordinaterna för w i basen {u, v}.
5
1
Lösning:
2.6
Bas
Exempel 2.58. Låt {e1 , e2 } vara en bas. Visa att
f1 =
e 1 + e2
f 2 = −e1 + e2
också är en bas och bestäm koordinaterna för u = e1 + 3e2 i denna bas.
Lösning:
Figur 2.59.
33
(2.4)
