Lars Madej
lars.madej@edu.uu.se
Förhållande
Skala
Längd-, area- och volymskala
Likformighet
Kongruens
Vi kan prata om ett förhållande 1:7
◦ T.ex. blanda saft: 1 del saft, 7 delar vatten
◦ Saften är alltså en åttondel av hela vätskan
När vi istället säger skala 1:7 betyder detta
att något är förminskat 7 ggr.
◦ Det vill säga bilden är en sjundedel av originalet
Förhållande och skala skrivs alltså på samma
sätt, men innebär olika saker
Förhållandet mellan blå och röd linje är 1:3,
vilket innebär att röd linje är 3 ggr så stor
som den blå linjen.
Vi kan också säga att förhållandet mellan röd
och blå linje är 3:1
Nedan är den blå linjen ovan uppskalad och
har blivit 4 gånger så lång, dvs skala 4:1
Skrivsätt
◦ 1:100 innebär en förminskning 100 gånger
◦ 3:1 innebär en förstoring 3 gånger
Vi kan även till exempel skriva
◦ 3:2 vilken innebär en förstoring 3/2 ggr
◦ 4:15 vilket innebär en förminskning 15/4 ggr
Vanligast är dock att vi har ena siffran 1som i
det översta exemplet
Det är viktigt att kunna skrivsättet!
◦ Det vill säga, vad betyder:
1:100 respektive
3:1
Kan vi skrivsättet så kan vi lista ut vilken
beräkning vi ska göra!
◦ Ställ alltid frågan: ska jag få ett mindre eller större
värde?
◦ Mindre – dela med skalan (vi ska göra objektet X
ggr mindre)
◦ Större – multiplicera med skalan (vi ska göra
objektet Y ggr större)
En leksaksbil är gjord i skala 1:100 och är 4,5
cm lång. Hur lång är bilen i verkligheten?
Lösning
◦ 1:100 innebär att leksaksbilen är en förminskning
av den riktiga bilen
◦ Alltså är leksaksbilen 100 ggr mindre än den riktiga
bilen
◦ Alltså är den riktiga bilen 100 ggr större än
leksaksbilen
◦ Svar: 4,5𝑐𝑚 ∙ 100 = 450𝑐𝑚 = 4,5𝑚
I en bok om insekter
finns information om
kackerlackor:
◦ ”En kackerlacka kan,
beroende på art, vara
från några millimeter
upp till 12 cm stor”
En art är avbildad i
skala 5:1 och är på
bilden 3 cm stor. Hur
stor är denna
kackerlacka på
riktigt?
En annan art är
avbildad i skala 1:3
och är även den 3 cm
på bilden. Hur stor är
denna kackerlacka på
riktigt?
När vi talar om skala menar vi vanligtvis
längdskala
◦ Det vill säga hur många gånger längre/kortare
något har blivit
Vad får detta för effekt på area respektive
volym?
Det fungerar på motsvarande sätt för
volymer!
Skala 1:10 innebär att alla sidor har blivit 10
ggr kortare
En kub med sidan 10cm har arean
◦ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 1000𝑐𝑚3
En kub med sidan 1cm har arean
◦ 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1𝑐𝑚3
Alltså har volymen blivit 1000 gånger mindre
◦ 1000 = 103
Areaskalan = Längdskalan2
Volymskalan = Längdskalan3
Detta känner vi igen från enheterna!
Om två objekt har exakt samma form (men
inte nödvändigtvis samma längder) säger vi
att objekten är likformiga
◦ Objekten kan ses som förstoring/förminskning av
varandra
◦ De kan vara speglade eller roterade
Två objekt är kongruenta om de har exakt
samma form och längd
◦ De kan vara speglade eller roterade
SSS: Sida-Sida-Sida
◦ Om två trianglar har tre par av lika långa sidor
- då är trianglarna kongruenta
SVS: Sida-Vinkel-Sida
◦ Om två trianglar ett par av lika stora vinklar och två
par av lika långa till vinkeln intilliggande sidor
– då är trianglarna kongruenta
VSV: Vinkel-Sida-Vinkel
◦ Om två trianglar har två par av lika stora vinklar och
där sidan liggande mellan dessa vinklar är lika lång
i båda trianglarna
– då är trianglarna kongruenta
Om två vinklar i en triangel är lika stora så är
triangeln likbent
◦ Blå linjen är en bisektris
Samma form, men (eventuellt) olika längd
Vi kan räkna som om det vore
skala/förhållande!
◦ (Det är ju faktiskt det)
Exempel s. 38-42 i Bråting, Sollervall, Stadler
